Theorem fnmpoi 8014

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3060	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8013	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  Vcvv 3433   × cxp 5618   Fn wfn 6483   ∈ cmpo 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-fv 6496  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-1st 7933  df-2nd 7934

This theorem is referenced by:  dmmpo  8015  fnoa  8437  fnom  8438  fnoe  8439  fnmap  8774  fnpm  8775  addpqnq  10857  mulpqnq  10860  mpoaddf  11128  mpomulf  11129  elq  12895  cnref1o  12930  ccatfn  14529  qnnen  16175  restfn  17382  prdsdsfn  17423  imasdsfn  17473  imasvscafn  17496  homffn  17654  comfffn  17665  comffn  17666  isoval  17727  cofucl  17850  fnfuc  17910  natffn  17914  catcisolem  18072  estrchomfn  18096  funcestrcsetclem4  18104  funcsetcestrclem4  18119  fnxpc  18137  1stfcl  18158  2ndfcl  18159  prfcl  18164  evlfcl  18183  curf1cl  18189  curfcl  18193  hofcl  18220  yonedalem3  18241  yonedainv  18242  plusffn  18612  mulgfval  19040  mulgfvalALT  19041  mulgfn  19043  gimfn  19230  sylow2blem2  19590  rnghmfn  20413  rhmfn  20473  rnghmsscmap2  20604  rnghmsscmap  20605  rhmsscmap2  20633  rhmsscmap  20634  srhmsubc  20655  rhmsubclem1  20660  fldc  20759  fldhmsubc  20760  scaffn  20876  lmimfn  21019  ipffn  21629  mplsubrglem  21981  tx1stc  23636  tx2ndc  23637  hmeofn  23743  efmndtmd  24087  qustgplem  24107  nmoffn  24697  rrxmfval  25394  mbfimaopnlem  25643  i1fadd  25683  i1fmul  25684  subsfn  28036  ex-fpar  30552  smatrcl  33990  txomap  34028  qtophaus  34030  pstmxmet  34091  dya2icoseg  34471  dya2iocrfn  34473  fncvm  35498  mpomulnzcnf  36540  cntotbnd  38176  grimfn  48382  grlimfn  48482  rngchomffvalALTV  48781  rngchomrnghmresALTV  48782  rhmsubcALTVlem1  48784  funcringcsetcALTV2lem4  48796  funcringcsetclem4ALTV  48819  srhmsubcALTV  48828  fldcALTV  48835  fldhmsubcALTV  48836  rrx2xpref1o  49221  sectfn  49531  discsubclem  49565  oppffn  49626  swapf2fn  49770  fucofn2  49826  fucoppc  49912  functhinclem1  49946  lanfn  50111  ranfn  50112