Theorem fnmpoi 8055

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3084	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8054	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   × cxp 5649   Fn wfn 6520   ∈ cmpo 7402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975

This theorem is referenced by:  dmmpo  8056  fnoa  8481  fnom  8482  fnoe  8483  fnmap  8818  fnpm  8819  addpqnq  10911  mulpqnq  10914  mpoaddf  11182  mpomulf  11183  elq  12962  cnref1o  12997  ccatfn  14597  qnnen  16257  restfn  17465  prdsdsfn  17506  imasdsfn  17556  imasvscafn  17579  homffn  17737  comfffn  17748  comffn  17749  isoval  17810  cofucl  17933  fnfuc  17993  natffn  17997  catcisolem  18155  estrchomfn  18179  funcestrcsetclem4  18187  funcsetcestrclem4  18202  fnxpc  18220  1stfcl  18241  2ndfcl  18242  prfcl  18247  evlfcl  18266  curf1cl  18272  curfcl  18276  hofcl  18303  yonedalem3  18324  yonedainv  18325  plusffn  18695  mulgfval  19123  mulgfvalALT  19124  mulgfn  19126  gimfn  19319  sylow2blem2  19679  rnghmfn  20509  rhmfn  20569  rnghmsscmap2  20702  rnghmsscmap  20703  rhmsscmap2  20731  rhmsscmap  20732  srhmsubc  20753  rhmsubclem1  20758  fldc  20853  fldhmsubc  20854  scaffn  20970  lmimfn  21113  ipffn  21758  mplsubrglem  22110  tx1stc  23764  tx2ndc  23765  hmeofn  23871  efmndtmd  24215  qustgplem  24235  nmoffn  24825  rrxmfval  25522  mbfimaopnlem  25771  i1fadd  25811  i1fmul  25812  subsfn  28171  ex-fpar  30718  smatrcl  34098  txomap  34136  qtophaus  34138  pstmxmet  34199  dya2icoseg  34579  dya2iocrfn  34581  fncvm  35615  mpomulnzcnf  36667  cntotbnd  38302  grimfn  48500  grlimfn  48600  rngchomffvalALTV  48899  rngchomrnghmresALTV  48900  rhmsubcALTVlem1  48902  funcringcsetcALTV2lem4  48914  funcringcsetclem4ALTV  48937  srhmsubcALTV  48946  fldcALTV  48953  fldhmsubcALTV  48954  rrx2xpref1o  49350  sectfn  49659  discsubclem  49693  oppffn  49754  swapf2fn  49898  fucofn2  49954  fucoppc  50040  functhinclem1  50074  lanfn  50239  ranfn  50240