Theorem fnmpoi 8049

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3049	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8048	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   × cxp 5636   Fn wfn 6506   ∈ cmpo 7389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969

This theorem is referenced by:  dmmpo  8050  fnoa  8472  fnom  8473  fnoe  8474  fnmap  8806  fnpm  8807  addpqnq  10891  mulpqnq  10894  mpoaddf  11162  mpomulf  11163  elq  12909  cnref1o  12944  ccatfn  14537  qnnen  16181  restfn  17387  prdsdsfn  17428  imasdsfn  17477  imasvscafn  17500  homffn  17654  comfffn  17665  comffn  17666  isoval  17727  cofucl  17850  fnfuc  17910  natffn  17914  catcisolem  18072  estrchomfn  18096  funcestrcsetclem4  18104  funcsetcestrclem4  18119  fnxpc  18137  1stfcl  18158  2ndfcl  18159  prfcl  18164  evlfcl  18183  curf1cl  18189  curfcl  18193  hofcl  18220  yonedalem3  18241  yonedainv  18242  plusffn  18576  mulgfval  19001  mulgfvalALT  19002  mulgfn  19004  gimfn  19193  sylow2blem2  19551  rnghmfn  20348  rhmfn  20408  rnghmsscmap2  20538  rnghmsscmap  20539  rhmsscmap2  20567  rhmsscmap  20568  srhmsubc  20589  rhmsubclem1  20594  fldc  20693  fldhmsubc  20694  scaffn  20789  lmimfn  20933  ipffn  21560  mplsubrglem  21913  tx1stc  23537  tx2ndc  23538  hmeofn  23644  efmndtmd  23988  qustgplem  24008  nmoffn  24599  rrxmfval  25306  mbfimaopnlem  25556  i1fadd  25596  i1fmul  25597  subsfn  27930  ex-fpar  30391  smatrcl  33786  txomap  33824  qtophaus  33826  pstmxmet  33887  dya2icoseg  34268  dya2iocrfn  34270  fncvm  35244  mpomulnzcnf  36287  cntotbnd  37790  grimfn  47879  grlimfn  47978  rngchomffvalALTV  48266  rngchomrnghmresALTV  48267  rhmsubcALTVlem1  48269  funcringcsetcALTV2lem4  48281  funcringcsetclem4ALTV  48304  srhmsubcALTV  48313  fldcALTV  48320  fldhmsubcALTV  48321  rrx2xpref1o  48707  sectfn  49018  discsubclem  49052  oppffn  49113  swapf2fn  49257  fucofn2  49313  fucoppc  49399  functhinclem1  49433  lanfn  49598  ranfn  49599