Theorem fnmpoi 8002

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3052	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8001	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   × cxp 5614   Fn wfn 6476   ∈ cmpo 7348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922

This theorem is referenced by:  dmmpo  8003  fnoa  8423  fnom  8424  fnoe  8425  fnmap  8757  fnpm  8758  addpqnq  10829  mulpqnq  10832  mpoaddf  11100  mpomulf  11101  elq  12848  cnref1o  12883  ccatfn  14479  qnnen  16122  restfn  17328  prdsdsfn  17369  imasdsfn  17418  imasvscafn  17441  homffn  17599  comfffn  17610  comffn  17611  isoval  17672  cofucl  17795  fnfuc  17855  natffn  17859  catcisolem  18017  estrchomfn  18041  funcestrcsetclem4  18049  funcsetcestrclem4  18064  fnxpc  18082  1stfcl  18103  2ndfcl  18104  prfcl  18109  evlfcl  18128  curf1cl  18134  curfcl  18138  hofcl  18165  yonedalem3  18186  yonedainv  18187  plusffn  18557  mulgfval  18982  mulgfvalALT  18983  mulgfn  18985  gimfn  19174  sylow2blem2  19534  rnghmfn  20358  rhmfn  20415  rnghmsscmap2  20545  rnghmsscmap  20546  rhmsscmap2  20574  rhmsscmap  20575  srhmsubc  20596  rhmsubclem1  20601  fldc  20700  fldhmsubc  20701  scaffn  20817  lmimfn  20961  ipffn  21589  mplsubrglem  21942  tx1stc  23566  tx2ndc  23567  hmeofn  23673  efmndtmd  24017  qustgplem  24037  nmoffn  24627  rrxmfval  25334  mbfimaopnlem  25584  i1fadd  25624  i1fmul  25625  subsfn  27967  ex-fpar  30440  smatrcl  33807  txomap  33845  qtophaus  33847  pstmxmet  33908  dya2icoseg  34288  dya2iocrfn  34290  fncvm  35299  mpomulnzcnf  36339  cntotbnd  37842  grimfn  47916  grlimfn  48016  rngchomffvalALTV  48315  rngchomrnghmresALTV  48316  rhmsubcALTVlem1  48318  funcringcsetcALTV2lem4  48330  funcringcsetclem4ALTV  48353  srhmsubcALTV  48362  fldcALTV  48369  fldhmsubcALTV  48370  rrx2xpref1o  48756  sectfn  49067  discsubclem  49101  oppffn  49162  swapf2fn  49306  fucofn2  49362  fucoppc  49448  functhinclem1  49482  lanfn  49647  ranfn  49648