Theorem fnmpoi 8023

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3056	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8022	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   × cxp 5629   Fn wfn 6493   ∈ cmpo 7369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943

This theorem is referenced by:  dmmpo  8024  fnoa  8443  fnom  8444  fnoe  8445  fnmap  8780  fnpm  8781  addpqnq  10861  mulpqnq  10864  mpoaddf  11132  mpomulf  11133  elq  12900  cnref1o  12935  ccatfn  14534  qnnen  16180  restfn  17387  prdsdsfn  17428  imasdsfn  17478  imasvscafn  17501  homffn  17659  comfffn  17670  comffn  17671  isoval  17732  cofucl  17855  fnfuc  17915  natffn  17919  catcisolem  18077  estrchomfn  18101  funcestrcsetclem4  18109  funcsetcestrclem4  18124  fnxpc  18142  1stfcl  18163  2ndfcl  18164  prfcl  18169  evlfcl  18188  curf1cl  18194  curfcl  18198  hofcl  18225  yonedalem3  18246  yonedainv  18247  plusffn  18617  mulgfval  19045  mulgfvalALT  19046  mulgfn  19048  gimfn  19236  sylow2blem2  19596  rnghmfn  20419  rhmfn  20476  rnghmsscmap2  20606  rnghmsscmap  20607  rhmsscmap2  20635  rhmsscmap  20636  srhmsubc  20657  rhmsubclem1  20662  fldc  20761  fldhmsubc  20762  scaffn  20878  lmimfn  21021  ipffn  21631  mplsubrglem  21982  tx1stc  23615  tx2ndc  23616  hmeofn  23722  efmndtmd  24066  qustgplem  24086  nmoffn  24676  rrxmfval  25373  mbfimaopnlem  25622  i1fadd  25662  i1fmul  25663  subsfn  28016  ex-fpar  30532  smatrcl  33940  txomap  33978  qtophaus  33980  pstmxmet  34041  dya2icoseg  34421  dya2iocrfn  34423  fncvm  35439  mpomulnzcnf  36481  cntotbnd  38117  grimfn  48355  grlimfn  48455  rngchomffvalALTV  48754  rngchomrnghmresALTV  48755  rhmsubcALTVlem1  48757  funcringcsetcALTV2lem4  48769  funcringcsetclem4ALTV  48792  srhmsubcALTV  48801  fldcALTV  48808  fldhmsubcALTV  48809  rrx2xpref1o  49194  sectfn  49504  discsubclem  49538  oppffn  49599  swapf2fn  49743  fucofn2  49799  fucoppc  49885  functhinclem1  49919  lanfn  50084  ranfn  50085