Theorem fnmpoi 8005

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3049	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8004	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436   × cxp 5617   Fn wfn 6477   ∈ cmpo 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925

This theorem is referenced by:  dmmpo  8006  fnoa  8426  fnom  8427  fnoe  8428  fnmap  8760  fnpm  8761  addpqnq  10832  mulpqnq  10835  mpoaddf  11103  mpomulf  11104  elq  12851  cnref1o  12886  ccatfn  14479  qnnen  16122  restfn  17328  prdsdsfn  17369  imasdsfn  17418  imasvscafn  17441  homffn  17599  comfffn  17610  comffn  17611  isoval  17672  cofucl  17795  fnfuc  17855  natffn  17859  catcisolem  18017  estrchomfn  18041  funcestrcsetclem4  18049  funcsetcestrclem4  18064  fnxpc  18082  1stfcl  18103  2ndfcl  18104  prfcl  18109  evlfcl  18128  curf1cl  18134  curfcl  18138  hofcl  18165  yonedalem3  18186  yonedainv  18187  plusffn  18523  mulgfval  18948  mulgfvalALT  18949  mulgfn  18951  gimfn  19140  sylow2blem2  19500  rnghmfn  20324  rhmfn  20384  rnghmsscmap2  20514  rnghmsscmap  20515  rhmsscmap2  20543  rhmsscmap  20544  srhmsubc  20565  rhmsubclem1  20570  fldc  20669  fldhmsubc  20670  scaffn  20786  lmimfn  20930  ipffn  21558  mplsubrglem  21911  tx1stc  23535  tx2ndc  23536  hmeofn  23642  efmndtmd  23986  qustgplem  24006  nmoffn  24597  rrxmfval  25304  mbfimaopnlem  25554  i1fadd  25594  i1fmul  25595  subsfn  27937  ex-fpar  30410  smatrcl  33779  txomap  33817  qtophaus  33819  pstmxmet  33880  dya2icoseg  34261  dya2iocrfn  34263  fncvm  35250  mpomulnzcnf  36293  cntotbnd  37796  grimfn  47883  grlimfn  47983  rngchomffvalALTV  48282  rngchomrnghmresALTV  48283  rhmsubcALTVlem1  48285  funcringcsetcALTV2lem4  48297  funcringcsetclem4ALTV  48320  srhmsubcALTV  48329  fldcALTV  48336  fldhmsubcALTV  48337  rrx2xpref1o  48723  sectfn  49034  discsubclem  49068  oppffn  49129  swapf2fn  49273  fucofn2  49329  fucoppc  49415  functhinclem1  49449  lanfn  49614  ranfn  49615