Theorem fnmpoi 8008

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3053	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8007	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   × cxp 5617   Fn wfn 6481   ∈ cmpo 7354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928

This theorem is referenced by:  dmmpo  8009  fnoa  8429  fnom  8430  fnoe  8431  fnmap  8763  fnpm  8764  addpqnq  10836  mulpqnq  10839  mpoaddf  11107  mpomulf  11108  elq  12850  cnref1o  12885  ccatfn  14481  qnnen  16124  restfn  17330  prdsdsfn  17371  imasdsfn  17420  imasvscafn  17443  homffn  17601  comfffn  17612  comffn  17613  isoval  17674  cofucl  17797  fnfuc  17857  natffn  17861  catcisolem  18019  estrchomfn  18043  funcestrcsetclem4  18051  funcsetcestrclem4  18066  fnxpc  18084  1stfcl  18105  2ndfcl  18106  prfcl  18111  evlfcl  18130  curf1cl  18136  curfcl  18140  hofcl  18167  yonedalem3  18188  yonedainv  18189  plusffn  18559  mulgfval  18984  mulgfvalALT  18985  mulgfn  18987  gimfn  19175  sylow2blem2  19535  rnghmfn  20359  rhmfn  20416  rnghmsscmap2  20546  rnghmsscmap  20547  rhmsscmap2  20575  rhmsscmap  20576  srhmsubc  20597  rhmsubclem1  20602  fldc  20701  fldhmsubc  20702  scaffn  20818  lmimfn  20962  ipffn  21590  mplsubrglem  21942  tx1stc  23566  tx2ndc  23567  hmeofn  23673  efmndtmd  24017  qustgplem  24037  nmoffn  24627  rrxmfval  25334  mbfimaopnlem  25584  i1fadd  25624  i1fmul  25625  subsfn  27967  ex-fpar  30444  smatrcl  33830  txomap  33868  qtophaus  33870  pstmxmet  33931  dya2icoseg  34311  dya2iocrfn  34313  fncvm  35322  mpomulnzcnf  36364  cntotbnd  37857  grimfn  48004  grlimfn  48104  rngchomffvalALTV  48403  rngchomrnghmresALTV  48404  rhmsubcALTVlem1  48406  funcringcsetcALTV2lem4  48418  funcringcsetclem4ALTV  48441  srhmsubcALTV  48450  fldcALTV  48457  fldhmsubcALTV  48458  rrx2xpref1o  48844  sectfn  49155  discsubclem  49189  oppffn  49250  swapf2fn  49394  fucofn2  49450  fucoppc  49536  functhinclem1  49570  lanfn  49735  ranfn  49736