Theorem fnmpoi 8070

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3082	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8069	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   × cxp 5649   Fn wfn 6526   ∈ cmpo 7414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991

This theorem is used by:  dmmpo  8071  fnoa  8500  fnom  8501  fnoe  8502  fnmap  8837  fnpm  8838  addpqnq  11004  mulpqnq  11007  mpoaddf  11275  mpomulf  11276  elq  13058  cnref1o  13094  ccatfn  14697  qnnen  16361  restfn  17575  prdsdsfn  17616  imasdsfn  17666  imasvscafn  17689  homffn  17847  comfffn  17858  comffn  17859  isoval  17920  cofucl  18043  fnfuc  18103  natffn  18107  catcisolem  18265  estrchomfn  18289  funcestrcsetclem4  18297  funcsetcestrclem4  18312  fnxpc  18330  1stfcl  18351  2ndfcl  18352  prfcl  18357  evlfcl  18376  curf1cl  18382  curfcl  18386  hofcl  18413  yonedalem3  18434  yonedainv  18435  plusffn  18805  mulgfval  19259  mulgfvalALT  19260  mulgfn  19262  gimfn  19455  sylow2blem2  19815  rnghmfn  20649  rhmfn  20716  rimfn  20717  rnghmsscmap2  20861  rnghmsscmap  20862  rhmsscmap2  20890  rhmsscmap  20891  srhmsubc  20912  rhmsubclem1  20917  fldc  21021  fldhmsubc  21022  scaffn  21138  lmimfn  21281  ipffn  21937  mplsubrglem  22291  tx1stc  23949  tx2ndc  23950  hmeofn  24056  efmndtmd  24400  qustgplem  24420  nmoffn  25010  rrxmfval  25707  mbfimaopnlem  25956  i1fadd  25996  i1fmul  25997  subsfn  28392  ex-fpar  31045  smatrcl  34410  txomap  34448  qtophaus  34450  pstmxmet  34511  dya2icoseg  34892  dya2iocrfn  34894  fncvm  35991  mpomulnzcnf  37058  cntotbnd  38698  grimfn  48921  grlimfn  49021  rngchomffvalALTV  49319  rngchomrnghmresALTV  49320  rhmsubcALTVlem1  49322  funcringcsetcALTV2lem4  49334  funcringcsetclem4ALTV  49357  srhmsubcALTV  49366  fldcALTV  49373  fldhmsubcALTV  49374  rrx2xpref1o  49774  sectfn  50081  discsubclem  50115  oppffn  50176  swapf2fn  50320  fucofn2  50376  fucoppc  50462  functhinclem1  50496  lanfn  50661  ranfn  50662