Theorem fnmpoi 8068

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3084	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8067	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   × cxp 5661   Fn wfn 6533   ∈ cmpo 7414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988

This theorem is referenced by:  dmmpo  8069  fnoa  8494  fnom  8495  fnoe  8496  fnmap  8831  fnpm  8832  addpqnq  10924  mulpqnq  10927  mpoaddf  11195  mpomulf  11196  elq  12975  cnref1o  13010  ccatfn  14611  qnnen  16270  restfn  17478  prdsdsfn  17519  imasdsfn  17569  imasvscafn  17592  homffn  17750  comfffn  17761  comffn  17762  isoval  17823  cofucl  17946  fnfuc  18006  natffn  18010  catcisolem  18168  estrchomfn  18192  funcestrcsetclem4  18200  funcsetcestrclem4  18215  fnxpc  18233  1stfcl  18254  2ndfcl  18255  prfcl  18260  evlfcl  18279  curf1cl  18285  curfcl  18289  hofcl  18316  yonedalem3  18337  yonedainv  18338  plusffn  18708  mulgfval  19136  mulgfvalALT  19137  mulgfn  19139  gimfn  19332  sylow2blem2  19692  rnghmfn  20522  rhmfn  20582  rnghmsscmap2  20715  rnghmsscmap  20716  rhmsscmap2  20744  rhmsscmap  20745  srhmsubc  20766  rhmsubclem1  20771  fldc  20868  fldhmsubc  20869  scaffn  20985  lmimfn  21128  ipffn  21782  mplsubrglem  22134  tx1stc  23788  tx2ndc  23789  hmeofn  23895  efmndtmd  24239  qustgplem  24259  nmoffn  24849  rrxmfval  25546  mbfimaopnlem  25795  i1fadd  25835  i1fmul  25836  subsfn  28198  ex-fpar  30794  smatrcl  34167  txomap  34205  qtophaus  34207  pstmxmet  34268  dya2icoseg  34648  dya2iocrfn  34650  fncvm  35730  mpomulnzcnf  36792  cntotbnd  38428  grimfn  48627  grlimfn  48727  rngchomffvalALTV  49026  rngchomrnghmresALTV  49027  rhmsubcALTVlem1  49029  funcringcsetcALTV2lem4  49041  funcringcsetclem4ALTV  49064  srhmsubcALTV  49073  fldcALTV  49080  fldhmsubcALTV  49081  rrx2xpref1o  49481  sectfn  49790  discsubclem  49824  oppffn  49885  swapf2fn  50029  fucofn2  50085  fucoppc  50171  functhinclem1  50205  lanfn  50370  ranfn  50371