Theorem fnmpoi 8012

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3049	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8011	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438   × cxp 5621   Fn wfn 6481   ∈ cmpo 7355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932

This theorem is referenced by:  dmmpo  8013  fnoa  8433  fnom  8434  fnoe  8435  fnmap  8767  fnpm  8768  addpqnq  10851  mulpqnq  10854  mpoaddf  11122  mpomulf  11123  elq  12869  cnref1o  12904  ccatfn  14497  qnnen  16140  restfn  17346  prdsdsfn  17387  imasdsfn  17436  imasvscafn  17459  homffn  17617  comfffn  17628  comffn  17629  isoval  17690  cofucl  17813  fnfuc  17873  natffn  17877  catcisolem  18035  estrchomfn  18059  funcestrcsetclem4  18067  funcsetcestrclem4  18082  fnxpc  18100  1stfcl  18121  2ndfcl  18122  prfcl  18127  evlfcl  18146  curf1cl  18152  curfcl  18156  hofcl  18183  yonedalem3  18204  yonedainv  18205  plusffn  18541  mulgfval  18966  mulgfvalALT  18967  mulgfn  18969  gimfn  19158  sylow2blem2  19518  rnghmfn  20342  rhmfn  20402  rnghmsscmap2  20532  rnghmsscmap  20533  rhmsscmap2  20561  rhmsscmap  20562  srhmsubc  20583  rhmsubclem1  20588  fldc  20687  fldhmsubc  20688  scaffn  20804  lmimfn  20948  ipffn  21576  mplsubrglem  21929  tx1stc  23553  tx2ndc  23554  hmeofn  23660  efmndtmd  24004  qustgplem  24024  nmoffn  24615  rrxmfval  25322  mbfimaopnlem  25572  i1fadd  25612  i1fmul  25613  subsfn  27953  ex-fpar  30424  smatrcl  33762  txomap  33800  qtophaus  33802  pstmxmet  33863  dya2icoseg  34244  dya2iocrfn  34246  fncvm  35229  mpomulnzcnf  36272  cntotbnd  37775  grimfn  47864  grlimfn  47964  rngchomffvalALTV  48263  rngchomrnghmresALTV  48264  rhmsubcALTVlem1  48266  funcringcsetcALTV2lem4  48278  funcringcsetclem4ALTV  48301  srhmsubcALTV  48310  fldcALTV  48317  fldhmsubcALTV  48318  rrx2xpref1o  48704  sectfn  49015  discsubclem  49049  oppffn  49110  swapf2fn  49254  fucofn2  49310  fucoppc  49396  functhinclem1  49430  lanfn  49595  ranfn  49596