MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnmpoi 7763
Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fmpo.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
fnmpoi.2 𝐶 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fnmpoi 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi
StepHypRef Expression
1 fnmpoi.2 . . 3 𝐶 ∈ V
21rgen2w 3146 . 2 𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 ∈ V
3 fmpo.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
43fnmpo 7762 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
52, 4ax-mp 5 1 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  Vcvv 3480   × cxp 5540   Fn wfn 6338  cmpo 7151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-fv 6351  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685
This theorem is referenced by:  dmmpo  7764  fnoa  8129  fnom  8130  fnoe  8131  fnmap  8409  fnpm  8410  addpqnq  10358  mulpqnq  10361  elq  12347  cnref1o  12381  ccatfn  13924  qnnen  15566  restfn  16698  prdsdsfn  16738  imasdsfn  16787  imasvscafn  16810  homffn  16963  comfffn  16974  comffn  16975  isoval  17035  cofucl  17158  fnfuc  17215  natffn  17219  catcisolem  17366  estrchomfn  17385  funcestrcsetclem4  17393  funcsetcestrclem4  17408  fnxpc  17426  1stfcl  17447  2ndfcl  17448  prfcl  17453  evlfcl  17472  curf1cl  17478  curfcl  17482  hofcl  17509  yonedalem3  17530  yonedainv  17531  plusffn  17861  mulgfval  18226  mulgfvalALT  18227  mulgfn  18229  gimfn  18401  sylow2blem2  18746  scaffn  19655  lmimfn  19798  mplsubrglem  20219  ipffn  20795  tx1stc  22258  tx2ndc  22259  hmeofn  22365  efmndtmd  22709  qustgplem  22729  nmoffn  23320  rrxmfval  24013  mbfimaopnlem  24262  i1fadd  24302  i1fmul  24303  ex-fpar  28250  smatrcl  31121  txomap  31158  qtophaus  31160  pstmxmet  31197  dya2icoseg  31592  dya2iocrfn  31594  fncvm  32561  cntotbnd  35179  rnghmfn  44440  rhmfn  44468  rnghmsscmap2  44523  rnghmsscmap  44524  rngchomffvalALTV  44545  rngchomrnghmresALTV  44546  rhmsscmap2  44569  rhmsscmap  44570  funcringcsetcALTV2lem4  44589  funcringcsetclem4ALTV  44612  srhmsubc  44626  fldc  44633  fldhmsubc  44634  rhmsubclem1  44636  srhmsubcALTV  44644  fldcALTV  44651  fldhmsubcALTV  44652  rhmsubcALTVlem1  44654  rrx2xpref1o  45058
  Copyright terms: Public domain W3C validator