Theorem fnmpoi 7750

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3119	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 7749	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   × cxp 5517   Fn wfn 6319   ∈ cmpo 7137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672

This theorem is referenced by:  dmmpo  7751  fnoa  8116  fnom  8117  fnoe  8118  fnmap  8396  fnpm  8397  addpqnq  10349  mulpqnq  10352  elq  12338  cnref1o  12372  ccatfn  13915  qnnen  15558  restfn  16690  prdsdsfn  16730  imasdsfn  16779  imasvscafn  16802  homffn  16955  comfffn  16966  comffn  16967  isoval  17027  cofucl  17150  fnfuc  17207  natffn  17211  catcisolem  17358  estrchomfn  17377  funcestrcsetclem4  17385  funcsetcestrclem4  17400  fnxpc  17418  1stfcl  17439  2ndfcl  17440  prfcl  17445  evlfcl  17464  curf1cl  17470  curfcl  17474  hofcl  17501  yonedalem3  17522  yonedainv  17523  plusffn  17853  mulgfval  18218  mulgfvalALT  18219  mulgfn  18221  gimfn  18393  sylow2blem2  18738  scaffn  19648  lmimfn  19791  ipffn  20340  mplsubrglem  20677  tx1stc  22255  tx2ndc  22256  hmeofn  22362  efmndtmd  22706  qustgplem  22726  nmoffn  23317  rrxmfval  24010  mbfimaopnlem  24259  i1fadd  24299  i1fmul  24300  ex-fpar  28247  smatrcl  31149  txomap  31187  qtophaus  31189  pstmxmet  31250  dya2icoseg  31645  dya2iocrfn  31647  fncvm  32617  cntotbnd  35234  rnghmfn  44514  rhmfn  44542  rnghmsscmap2  44597  rnghmsscmap  44598  rngchomffvalALTV  44619  rngchomrnghmresALTV  44620  rhmsscmap2  44643  rhmsscmap  44644  funcringcsetcALTV2lem4  44663  funcringcsetclem4ALTV  44686  srhmsubc  44700  fldc  44707  fldhmsubc  44708  rhmsubclem1  44710  srhmsubcALTV  44718  fldcALTV  44725  fldhmsubcALTV  44726  rhmsubcALTVlem1  44728  rrx2xpref1o  45132