Theorem fnmpoi 8081

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3081	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8080	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   × cxp 5648   Fn wfn 6533   ∈ cmpo 7422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002

This theorem is used by:  dmmpo  8082  fnoa  8519  fnom  8520  fnoe  8521  fnmap  8856  fnpm  8857  addpqnq  11026  mulpqnq  11029  mpoaddf  11297  mpomulf  11298  elq  13080  cnref1o  13116  ccatfn  14720  qnnen  16386  restfn  17600  prdsdsfn  17641  imasdsfn  17691  imasvscafn  17714  homffn  17872  comfffn  17883  comffn  17884  isoval  17945  cofucl  18068  fnfuc  18128  natffn  18132  catcisolem  18290  estrchomfn  18314  funcestrcsetclem4  18322  funcsetcestrclem4  18337  fnxpc  18355  1stfcl  18376  2ndfcl  18377  prfcl  18382  evlfcl  18401  curf1cl  18407  curfcl  18411  hofcl  18438  yonedalem3  18459  yonedainv  18460  plusffn  18830  mulgfval  19284  mulgfvalALT  19285  mulgfn  19287  gimfn  19480  sylow2blem2  19840  rnghmfn  20674  rhmfn  20741  rimfn  20742  rnghmsscmap2  20886  rnghmsscmap  20887  rhmsscmap2  20915  rhmsscmap  20916  srhmsubc  20937  rhmsubclem1  20942  fldc  21046  fldhmsubc  21047  scaffn  21163  lmimfn  21306  ipffn  21962  mplsubrglem  22316  tx1stc  23974  tx2ndc  23975  hmeofn  24081  efmndtmd  24425  qustgplem  24445  nmoffn  25035  rrxmfval  25732  mbfimaopnlem  25981  i1fadd  26021  i1fmul  26022  subsfn  28415  ex-fpar  31068  smatrcl  34474  txomap  34512  qtophaus  34514  pstmxmet  34575  dya2icoseg  34955  dya2iocrfn  34957  fncvm  36108  mpomulnzcnf  37180  cntotbnd  38823  grimfn  49070  grlimfn  49170  rngchomffvalALTV  49468  rngchomrnghmresALTV  49469  rhmsubcALTVlem1  49471  funcringcsetcALTV2lem4  49483  funcringcsetclem4ALTV  49506  srhmsubcALTV  49515  fldcALTV  49522  fldhmsubcALTV  49523  fnmpompt  50074  sectfn  50236  discsubclem  50270  oppffn  50333  swapf2fn  50483  fucofn2  50539  fucoppc  50638  functhinclem1  50672  lanfn  50885  ranfn  50886