Theorem fnmpoi 8076

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3087	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8075	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458   × cxp 5664   Fn wfn 6538   ∈ cmpo 7425

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996

This theorem is used by:  dmmpo  8077  fnoa  8502  fnom  8503  fnoe  8504  fnmap  8839  fnpm  8840  addpqnq  10941  mulpqnq  10944  mpoaddf  11212  mpomulf  11213  elq  12992  cnref1o  13027  ccatfn  14629  qnnen  16294  restfn  17502  prdsdsfn  17543  imasdsfn  17593  imasvscafn  17616  homffn  17774  comfffn  17785  comffn  17786  isoval  17847  cofucl  17970  fnfuc  18030  natffn  18034  catcisolem  18192  estrchomfn  18216  funcestrcsetclem4  18224  funcsetcestrclem4  18239  fnxpc  18257  1stfcl  18278  2ndfcl  18279  prfcl  18284  evlfcl  18303  curf1cl  18309  curfcl  18313  hofcl  18340  yonedalem3  18361  yonedainv  18362  plusffn  18732  mulgfval  19166  mulgfvalALT  19167  mulgfn  19169  gimfn  19362  sylow2blem2  19722  rnghmfn  20554  rhmfn  20621  rimfn  20622  rnghmsscmap2  20765  rnghmsscmap  20766  rhmsscmap2  20794  rhmsscmap  20795  srhmsubc  20816  rhmsubclem1  20821  fldc  20924  fldhmsubc  20925  scaffn  21041  lmimfn  21184  ipffn  21838  mplsubrglem  22190  tx1stc  23844  tx2ndc  23845  hmeofn  23951  efmndtmd  24295  qustgplem  24315  nmoffn  24905  rrxmfval  25602  mbfimaopnlem  25851  i1fadd  25891  i1fmul  25892  subsfn  28254  ex-fpar  30850  smatrcl  34217  txomap  34255  qtophaus  34257  pstmxmet  34318  dya2icoseg  34699  dya2iocrfn  34701  fncvm  35770  mpomulnzcnf  36852  cntotbnd  38488  grimfn  48685  grlimfn  48785  rngchomffvalALTV  49084  rngchomrnghmresALTV  49085  rhmsubcALTVlem1  49087  funcringcsetcALTV2lem4  49099  funcringcsetclem4ALTV  49122  srhmsubcALTV  49131  fldcALTV  49138  fldhmsubcALTV  49139  rrx2xpref1o  49539  sectfn  49848  discsubclem  49882  oppffn  49943  swapf2fn  50087  fucofn2  50143  fucoppc  50229  functhinclem1  50263  lanfn  50428  ranfn  50429