Theorem fnmpoi 8024

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3057	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8023	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   × cxp 5630   Fn wfn 6495   ∈ cmpo 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944

This theorem is referenced by:  dmmpo  8025  fnoa  8445  fnom  8446  fnoe  8447  fnmap  8782  fnpm  8783  addpqnq  10861  mulpqnq  10864  mpoaddf  11132  mpomulf  11133  elq  12875  cnref1o  12910  ccatfn  14507  qnnen  16150  restfn  17356  prdsdsfn  17397  imasdsfn  17447  imasvscafn  17470  homffn  17628  comfffn  17639  comffn  17640  isoval  17701  cofucl  17824  fnfuc  17884  natffn  17888  catcisolem  18046  estrchomfn  18070  funcestrcsetclem4  18078  funcsetcestrclem4  18093  fnxpc  18111  1stfcl  18132  2ndfcl  18133  prfcl  18138  evlfcl  18157  curf1cl  18163  curfcl  18167  hofcl  18194  yonedalem3  18215  yonedainv  18216  plusffn  18586  mulgfval  19011  mulgfvalALT  19012  mulgfn  19014  gimfn  19202  sylow2blem2  19562  rnghmfn  20387  rhmfn  20444  rnghmsscmap2  20574  rnghmsscmap  20575  rhmsscmap2  20603  rhmsscmap  20604  srhmsubc  20625  rhmsubclem1  20630  fldc  20729  fldhmsubc  20730  scaffn  20846  lmimfn  20990  ipffn  21618  mplsubrglem  21971  tx1stc  23606  tx2ndc  23607  hmeofn  23713  efmndtmd  24057  qustgplem  24077  nmoffn  24667  rrxmfval  25374  mbfimaopnlem  25624  i1fadd  25664  i1fmul  25665  subsfn  28032  ex-fpar  30549  smatrcl  33973  txomap  34011  qtophaus  34013  pstmxmet  34074  dya2icoseg  34454  dya2iocrfn  34456  fncvm  35470  mpomulnzcnf  36512  cntotbnd  38044  grimfn  48236  grlimfn  48336  rngchomffvalALTV  48635  rngchomrnghmresALTV  48636  rhmsubcALTVlem1  48638  funcringcsetcALTV2lem4  48650  funcringcsetclem4ALTV  48673  srhmsubcALTV  48682  fldcALTV  48689  fldhmsubcALTV  48690  rrx2xpref1o  49075  sectfn  49385  discsubclem  49419  oppffn  49480  swapf2fn  49624  fucofn2  49680  fucoppc  49766  functhinclem1  49800  lanfn  49965  ranfn  49966