Theorem subsvald 28305

Description: The value of surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subsvald.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subsvald	⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))

Proof of Theorem subsvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsvald.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		subsvald.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		subsval 28304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   No csur 27855   +_s cadds 28203   -u_s cnegs 28263   -_s csubs 28264

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-subs 28266

This theorem is used by:  ltsubs2  28321  negsubsdi2d  28324  addsubsassd  28325  addsubsd  28326  ltsubsubsbd  28327  subsubs4d  28338  subsubs2d  28339  subscan1d  28347  subscan2d  28348  zsubscld  28640  elzn0s  28642  zcuts  28651  zseo  28666  recut  28738  renegscl  28742