Theorem subsvald 27965

Description: The value of surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subsvald.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subsvald	⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))

Proof of Theorem subsvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsvald.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		subsvald.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		subsval 27964	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   No csur 27551   +_s cadds 27866   -u_s cnegs 27925   -_s csubs 27926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-subs 27928

This theorem is referenced by:  sltsub2  27981  negsubsdi2d  27984  addsubsassd  27985  addsubsd  27986  sltsubsubbd  27987  subsubs4d  27998  subsubs2d  27999  subscan1d  28006  subscan2d  28007  zsubscld  28284  elzn0s  28286  zscut  28295  zseo  28308  recut  28347  renegscl  28349