Theorem subsvald 28504

Description: The value of surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
subsvald.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
subsvald	⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))

Proof of Theorem subsvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsvald.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		subsvald.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3		subsval 28503	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Nocsur 28054   +_s cadds 28402   -_scnegs 28462   −_s csubs 28463

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-subs 28465

This theorem is used by:  ltsubs2  28520  negsubsdi2d  28523  addsubsassd  28524  addsubsd  28525  ltsubsubsbd  28526  subsubs4d  28537  subsubs2d  28538  subscan1d  28546  subscan2d  28547  zsubscld  28839  elzn0s  28841  zcuts  28850  zseo  28865  recut  28937  renegscl  28941