Theorem subsvald 28456

Description: The value of surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
subsvald.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
subsvald	⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))

Proof of Theorem subsvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsvald.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		subsvald.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3		subsval 28455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Nocsur 28006   +_s cadds 28354   -_scnegs 28414   −_s csubs 28415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-subs 28417

This theorem is used by:  ltsubs2  28472  negsubsdi2d  28475  addsubsassd  28476  addsubsd  28477  ltsubsubsbd  28478  subsubs4d  28489  subsubs2d  28490  subscan1d  28498  subscan2d  28499  zsubscld  28791  elzn0s  28793  zcuts  28802  zseo  28817  recut  28889  renegscl  28893