Theorem addsubsd 28469

Description: Law for surreal addition and subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 4-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsubsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
addsubsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
addsubsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
addsubsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) −s 𝐶) = ((𝐴 −s 𝐶) +s 𝐵))

Proof of Theorem addsubsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsubsassd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		addsubsassd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3		addsubsassd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
4	3	negscld 28424	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐶) ∈ No)
5	1, 2, 4	adds32d 28394	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -s‘𝐶)) = ((𝐴 +s ( -s‘𝐶)) +s 𝐵))
6	1, 2	addscld 28367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No)
7	6, 3	subsvald 28448	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) −s 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -s‘𝐶)))
8	1, 3	subsvald 28448	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐶) = (𝐴 +s ( -s‘𝐶)))
9	8	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −s 𝐶) +s 𝐵) = ((𝐴 +s ( -s‘𝐶)) +s 𝐵))
10	5, 7, 9	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) −s 𝐶) = ((𝐴 −s 𝐶) +s 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 27998   +_s cadds 28346   -_scnegs 28406   −_s csubs 28407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-1o 8477  df-2o 8478  df-nadd 8676  df-no 28001  df-lts 28002  df-bday 28003  df-les 28103  df-slts 28145  df-cuts 28147  df-0s 28194  df-made 28214  df-old 28215  df-left 28217  df-right 28218  df-norec 28325  df-norec2 28336  df-adds 28347  df-negs 28408  df-subs 28409

This theorem is used by:  addsubs4d  28488  mulsproplem5  28507  mulsproplem6  28508  mulsproplem7  28509  mulsproplem8  28510  sltmuls1  28534  sltmuls2  28535  mulsuniflem  28536  addsdilem3  28540  addsdilem4  28541  mulsasslem3  28552  mulsunif2lem  28556  zseo  28809  pw2cut2  28849  bdayfinbndlem1  28854  readdscl  28886