Theorem addsubsd 28093

Description: Law for surreal addition and subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 4-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsubsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsubsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsubsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsubsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐵))

Proof of Theorem addsubsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsubsassd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		addsubsassd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		addsubsassd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4	3	negscld 28048	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐶) ∈ No )
5	1, 2, 4	adds32d 28018	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐶)) = ((𝐴 +s ( -us ‘𝐶)) +s 𝐵))
6	1, 2	addscld 27991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
7	6, 3	subsvald 28072	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐶)))
8	1, 3	subsvald 28072	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐶)))
9	8	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐵) = ((𝐴 +s ( -us ‘𝐶)) +s 𝐵))
10	5, 7, 9	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   No csur 27622   +_s cadds 27970   -u_s cnegs 28030   -_s csubs 28031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-1o 8396  df-2o 8397  df-nadd 8593  df-no 27625  df-lts 27626  df-bday 27627  df-les 27728  df-slts 27769  df-cuts 27771  df-0s 27818  df-made 27838  df-old 27839  df-left 27841  df-right 27842  df-norec 27949  df-norec2 27960  df-adds 27971  df-negs 28032  df-subs 28033

This theorem is referenced by:  addsubs4d  28112  mulsproplem5  28131  mulsproplem6  28132  mulsproplem7  28133  mulsproplem8  28134  sltmuls1  28158  sltmuls2  28159  mulsuniflem  28160  addsdilem3  28164  addsdilem4  28165  mulsasslem3  28176  mulsunif2lem  28180  zseo  28433  pw2cut2  28473  bdayfinbndlem1  28478  readdscl  28510