Theorem addsubsd 28286

Description: Law for surreal addition and subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 4-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsubsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsubsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsubsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsubsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐵))

Proof of Theorem addsubsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsubsassd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		addsubsassd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		addsubsassd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4	3	negscld 28241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐶) ∈ No )
5	1, 2, 4	adds32d 28211	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐶)) = ((𝐴 +s ( -us ‘𝐶)) +s 𝐵))
6	1, 2	addscld 28184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
7	6, 3	subsvald 28265	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐶)))
8	1, 3	subsvald 28265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐶)))
9	8	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐵) = ((𝐴 +s ( -us ‘𝐶)) +s 𝐵))
10	5, 7, 9	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   No csur 27815   +_s cadds 28163   -u_s cnegs 28223   -_s csubs 28224

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-1o 8451  df-2o 8452  df-nadd 8650  df-no 27818  df-lts 27819  df-bday 27820  df-les 27920  df-slts 27962  df-cuts 27964  df-0s 28011  df-made 28031  df-old 28032  df-left 28034  df-right 28035  df-norec 28142  df-norec2 28153  df-adds 28164  df-negs 28225  df-subs 28226

This theorem is used by:  addsubs4d  28305  mulsproplem5  28324  mulsproplem6  28325  mulsproplem7  28326  mulsproplem8  28327  sltmuls1  28351  sltmuls2  28352  mulsuniflem  28353  addsdilem3  28357  addsdilem4  28358  mulsasslem3  28369  mulsunif2lem  28373  zseo  28626  pw2cut2  28666  bdayfinbndlem1  28671  readdscl  28703