Theorem subsubs4d 28086

Description: Law for double surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsubs4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subsubs4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
subsubs4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subsubs4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)))

Proof of Theorem subsubs4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsubs4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		subsubs4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	2	negscld 28029	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
4		subsubs4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
5	4	negscld 28029	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐶) ∈ No )
6	1, 3, 5	addsassd 27998	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) +s ( -us ‘𝐶)) = (𝐴 +s (( -us ‘𝐵) +s ( -us ‘𝐶))))
7	1, 2	subsvald 28053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
8	7	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) -s 𝐶))
9	1, 3	addscld 27972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ∈ No )
10	9, 4	subsvald 28053	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) -s 𝐶) = ((𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) +s ( -us ‘𝐶)))
11	8, 10	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) +s ( -us ‘𝐶)))
12	2, 4	addscld 27972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
13	1, 12	subsvald 28053	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)) = (𝐴 +s ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶))))
14		negsdi 28042	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶)) = (( -us ‘𝐵) +s ( -us ‘𝐶)))
15	2, 4, 14	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶)) = (( -us ‘𝐵) +s ( -us ‘𝐶)))
16	15	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶))) = (𝐴 +s (( -us ‘𝐵) +s ( -us ‘𝐶))))
17	13, 16	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)) = (𝐴 +s (( -us ‘𝐵) +s ( -us ‘𝐶))))
18	6, 11, 17	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   No csur 27603   +_s cadds 27951   -u_s cnegs 28011   -_s csubs 28012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-1o 8405  df-2o 8406  df-nadd 8602  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec 27930  df-norec2 27941  df-adds 27952  df-negs 28013  df-subs 28014

This theorem is referenced by:  addsubs4d  28093  addsdilem3  28145  addsdilem4  28146  mulsasslem3  28157  mulsunif2lem  28161  zseo  28414  bdayfinbndlem1  28459