Theorem subsubs4d 28253

Description: Law for double surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsubs4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subsubs4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
subsubs4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subsubs4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)))

Proof of Theorem subsubs4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsubs4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		subsubs4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	2	negscld 28196	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
4		subsubs4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
5	4	negscld 28196	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐶) ∈ No )
6	1, 3, 5	addsassd 28165	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) +s ( -us ‘𝐶)) = (𝐴 +s (( -us ‘𝐵) +s ( -us ‘𝐶))))
7	1, 2	subsvald 28220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
8	7	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) -s 𝐶))
9	1, 3	addscld 28139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ∈ No )
10	9, 4	subsvald 28220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) -s 𝐶) = ((𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) +s ( -us ‘𝐶)))
11	8, 10	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) +s ( -us ‘𝐶)))
12	2, 4	addscld 28139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
13	1, 12	subsvald 28220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)) = (𝐴 +s ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶))))
14		negsdi 28209	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶)) = (( -us ‘𝐵) +s ( -us ‘𝐶)))
15	2, 4, 14	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶)) = (( -us ‘𝐵) +s ( -us ‘𝐶)))
16	15	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶))) = (𝐴 +s (( -us ‘𝐵) +s ( -us ‘𝐶))))
17	13, 16	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)) = (𝐴 +s (( -us ‘𝐵) +s ( -us ‘𝐶))))
18	6, 11, 17	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   No csur 27770   +_s cadds 28118   -u_s cnegs 28178   -_s csubs 28179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-1o 8453  df-2o 8454  df-nadd 8652  df-no 27773  df-lts 27774  df-bday 27775  df-les 27875  df-slts 27917  df-cuts 27919  df-0s 27966  df-made 27986  df-old 27987  df-left 27989  df-right 27990  df-norec 28097  df-norec2 28108  df-adds 28119  df-negs 28180  df-subs 28181

This theorem is referenced by:  addsubs4d  28260  addsdilem3  28312  addsdilem4  28313  mulsasslem3  28324  mulsunif2lem  28328  zseo  28581  bdayfinbndlem1  28626