MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubs4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsubs4d 27916
Description: Law for double surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
subsubs4d.1 (𝜑𝐴 No )
subsubs4d.2 (𝜑𝐵 No )
subsubs4d.3 (𝜑𝐶 No )
Assertion
Ref Expression
subsubs4d (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)))

Proof of Theorem subsubs4d
StepHypRef Expression
1 subsubs4d.1 . . 3 (𝜑𝐴 No )
2 subsubs4d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 No )
32negscld 27864 . . 3 (𝜑 → ( -us𝐵) ∈ No )
4 subsubs4d.3 . . . 4 (𝜑𝐶 No )
54negscld 27864 . . 3 (𝜑 → ( -us𝐶) ∈ No )
61, 3, 5addsassd 27838 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us𝐵)) +s ( -us𝐶)) = (𝐴 +s (( -us𝐵) +s ( -us𝐶))))
71, 2subsvald 27886 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us𝐵)))
87oveq1d 7416 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 +s ( -us𝐵)) -s 𝐶))
91, 3addscld 27812 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 +s ( -us𝐵)) ∈ No )
109, 4subsvald 27886 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 +s ( -us𝐵)) -s 𝐶) = ((𝐴 +s ( -us𝐵)) +s ( -us𝐶)))
118, 10eqtrd 2764 . 2 (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 +s ( -us𝐵)) +s ( -us𝐶)))
122, 4addscld 27812 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
131, 12subsvald 27886 . . 3 (𝜑 → (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)) = (𝐴 +s ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶))))
14 negsdi 27877 . . . . 5 ((𝐵 No 𝐶 No ) → ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶)) = (( -us𝐵) +s ( -us𝐶)))
152, 4, 14syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶)) = (( -us𝐵) +s ( -us𝐶)))
1615oveq2d 7417 . . 3 (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘(𝐵 +s 𝐶))) = (𝐴 +s (( -us𝐵) +s ( -us𝐶))))
1713, 16eqtrd 2764 . 2 (𝜑 → (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)) = (𝐴 +s (( -us𝐵) +s ( -us𝐶))))
186, 11, 173eqtr4d 2774 1 (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) -s 𝐶) = (𝐴 -s (𝐵 +s 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6533  (class class class)co 7401   No csur 27488   +s cadds 27791   -us cnegs 27847   -s csubs 27848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8660  df-no 27491  df-slt 27492  df-bday 27493  df-sle 27593  df-sslt 27629  df-scut 27631  df-0s 27672  df-made 27689  df-old 27690  df-left 27692  df-right 27693  df-norec 27770  df-norec2 27781  df-adds 27792  df-negs 27849  df-subs 27850
This theorem is referenced by:  addsdilem3  27968  addsdilem4  27969  mulsasslem3  27980  mulsunif2lem  27984
  Copyright terms: Public domain W3C validator