Theorem subsubs2d 28038

Description: Law for double surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsubs4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subsubs4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
subsubs4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subsubs2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 -s (𝐵 -s 𝐶)) = (𝐴 +s (𝐶 -s 𝐵)))

Proof of Theorem subsubs2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsubs4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		subsubs4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		subsubs4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4	2, 3	subscld 28006	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐶) ∈ No )
5	1, 4	subsvald 28004	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s (𝐵 -s 𝐶)) = (𝐴 +s ( -us ‘(𝐵 -s 𝐶))))
6	2, 3	negsubsdi2d 28023	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐵 -s 𝐶)) = (𝐶 -s 𝐵))
7	6	oveq2d 7370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘(𝐵 -s 𝐶))) = (𝐴 +s (𝐶 -s 𝐵)))
8	5, 7	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s (𝐵 -s 𝐶)) = (𝐴 +s (𝐶 -s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   No csur 27581   +_s cadds 27905   -u_s cnegs 27964   -_s csubs 27965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-1o 8393  df-2o 8394  df-nadd 8589  df-no 27584  df-slt 27585  df-bday 27586  df-sle 27687  df-sslt 27724  df-scut 27726  df-0s 27771  df-made 27791  df-old 27792  df-left 27794  df-right 27795  df-norec 27884  df-norec2 27895  df-adds 27906  df-negs 27966  df-subs 27967

This theorem is referenced by:  nncansd  28039  mulsunif2lem  28111  n0subs  28292  zmulscld  28324