Theorem negsubsdi2d 27960

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
negsubsdi2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
negsubsdi2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
negsubsdi2d	⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 -s 𝐵)) = (𝐵 -s 𝐴))

Proof of Theorem negsubsdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubsdi2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		negsubsdi2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	2	negscld 27919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
4		negsdi 27932	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -us ‘𝐵) ∈ No ) → ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐵))))
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐵))))
6		negnegs 27926	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐵)) = 𝐵)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘( -us ‘𝐵)) = 𝐵)
8	7	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐵))) = (( -us ‘𝐴) +s 𝐵))
9	1	negscld 27919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
10	9, 2	addscomd 27850	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) +s 𝐵) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐴)))
11	5, 8, 10	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐴)))
12	1, 2	subsvald 27941	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
13	12	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 -s 𝐵)) = ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))))
14	2, 1	subsvald 27941	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐴)))
15	11, 13, 14	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 -s 𝐵)) = (𝐵 -s 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   No csur 27527   +_s cadds 27842   -u_s cnegs 27901   -_s csubs 27902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-1o 8411  df-2o 8412  df-nadd 8607  df-no 27530  df-slt 27531  df-bday 27532  df-sle 27633  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-0s 27712  df-made 27731  df-old 27732  df-left 27734  df-right 27735  df-norec 27821  df-norec2 27832  df-adds 27843  df-negs 27903  df-subs 27904

This theorem is referenced by:  sltsubsub2bd  27964  subsubs2d  27975  precsexlem9  28093  znegscl  28256  elzn0s  28262  zscut  28271  zseo  28284