Theorem negsubsdi2d 28094

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
negsubsdi2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
negsubsdi2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
negsubsdi2d	⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 -s 𝐵)) = (𝐵 -s 𝐴))

Proof of Theorem negsubsdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubsdi2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		negsubsdi2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	2	negscld 28051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
4		negsdi 28064	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -us ‘𝐵) ∈ No ) → ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐵))))
5	1, 3, 4	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐵))))
6		negnegs 28058	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐵)) = 𝐵)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘( -us ‘𝐵)) = 𝐵)
8	7	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐵))) = (( -us ‘𝐴) +s 𝐵))
9	1	negscld 28051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
10	9, 2	addscomd 27981	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) +s 𝐵) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐴)))
11	5, 8, 10	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐴)))
12	1, 2	subsvald 28075	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
13	12	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 -s 𝐵)) = ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))))
14	2, 1	subsvald 28075	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐴)))
15	11, 13, 14	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 -s 𝐵)) = (𝐵 -s 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   No csur 27625   +_s cadds 27973   -u_s cnegs 28033   -_s csubs 28034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27628  df-lts 27629  df-bday 27630  df-les 27731  df-slts 27772  df-cuts 27774  df-0s 27821  df-made 27841  df-old 27842  df-left 27844  df-right 27845  df-norec 27952  df-norec2 27963  df-adds 27974  df-negs 28035  df-subs 28036

This theorem is referenced by:  ltsubsubs2bd  28098  subsubs2d  28109  precsexlem9  28229  abssubs  28264  znegscl  28406  elzn0s  28412  zcuts  28421  zseo  28436