Theorem negsubsdi2d 28282

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
negsubsdi2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
negsubsdi2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
negsubsdi2d	⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 -s 𝐵)) = (𝐵 -s 𝐴))

Proof of Theorem negsubsdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubsdi2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		negsubsdi2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	2	negscld 28239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
4		negsdi 28252	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -us ‘𝐵) ∈ No ) → ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐵))))
5	1, 3, 4	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐵))))
6		negnegs 28246	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐵)) = 𝐵)
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘( -us ‘𝐵)) = 𝐵)
8	7	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘( -us ‘𝐵))) = (( -us ‘𝐴) +s 𝐵))
9	1	negscld 28239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
10	9, 2	addscomd 28169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) +s 𝐵) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐴)))
11	5, 8, 10	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐴)))
12	1, 2	subsvald 28263	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
13	12	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 -s 𝐵)) = ( -us ‘(𝐴 +s ( -us ‘𝐵))))
14	2, 1	subsvald 28263	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐴)))
15	11, 13, 14	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 -s 𝐵)) = (𝐵 -s 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   No csur 27813   +_s cadds 28161   -u_s cnegs 28221   -_s csubs 28222

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-1o 8449  df-2o 8450  df-nadd 8648  df-no 27816  df-lts 27817  df-bday 27818  df-les 27918  df-slts 27960  df-cuts 27962  df-0s 28009  df-made 28029  df-old 28030  df-left 28032  df-right 28033  df-norec 28140  df-norec2 28151  df-adds 28162  df-negs 28223  df-subs 28224

This theorem is used by:  ltsubsubs2bd  28286  subsubs2d  28297  precsexlem9  28417  abssubs  28452  znegscl  28594  elzn0s  28600  zcuts  28609  zseo  28624