Theorem negsubsdi2d 28466

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
negsubsdi2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
negsubsdi2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
negsubsdi2d	⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 −s 𝐵)) = (𝐵 −s 𝐴))

Proof of Theorem negsubsdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubsdi2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		negsubsdi2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3	2	negscld 28423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐵) ∈ No)
4		negsdi 28436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐵) ∈ No) → ( -s‘(𝐴 +s ( -s‘𝐵))) = (( -s‘𝐴) +s ( -s‘( -s‘𝐵))))
5	1, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 +s ( -s‘𝐵))) = (( -s‘𝐴) +s ( -s‘( -s‘𝐵))))
6		negnegs 28430	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -s‘( -s‘𝐵)) = 𝐵)
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -s‘( -s‘𝐵)) = 𝐵)
8	7	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) +s ( -s‘( -s‘𝐵))) = (( -s‘𝐴) +s 𝐵))
9	1	negscld 28423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐴) ∈ No)
10	9, 2	addscomd 28353	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) +s 𝐵) = (𝐵 +s ( -s‘𝐴)))
11	5, 8, 10	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 +s ( -s‘𝐵))) = (𝐵 +s ( -s‘𝐴)))
12	1, 2	subsvald 28447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))
13	12	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 −s 𝐵)) = ( -s‘(𝐴 +s ( -s‘𝐵))))
14	2, 1	subsvald 28447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −s 𝐴) = (𝐵 +s ( -s‘𝐴)))
15	11, 13, 14	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 −s 𝐵)) = (𝐵 −s 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 27997   +_s cadds 28345   -_scnegs 28405   −_s csubs 28406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-1o 8476  df-2o 8477  df-nadd 8675  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-0s 28193  df-made 28213  df-old 28214  df-left 28216  df-right 28217  df-norec 28324  df-norec2 28335  df-adds 28346  df-negs 28407  df-subs 28408

This theorem is used by:  ltsubsubs2bd  28470  subsubs2d  28481  precsexlem9  28601  abssubs  28636  znegscl  28778  elzn0s  28784  zcuts  28793  zseo  28808