Theorem negsubsdi2d 28493

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
negsubsdi2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
negsubsdi2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
negsubsdi2d	⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 −s 𝐵)) = (𝐵 −s 𝐴))

Proof of Theorem negsubsdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubsdi2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		negsubsdi2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3	2	negscld 28450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐵) ∈ No)
4		negsdi 28463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐵) ∈ No) → ( -s‘(𝐴 +s ( -s‘𝐵))) = (( -s‘𝐴) +s ( -s‘( -s‘𝐵))))
5	1, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 +s ( -s‘𝐵))) = (( -s‘𝐴) +s ( -s‘( -s‘𝐵))))
6		negnegs 28457	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -s‘( -s‘𝐵)) = 𝐵)
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -s‘( -s‘𝐵)) = 𝐵)
8	7	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) +s ( -s‘( -s‘𝐵))) = (( -s‘𝐴) +s 𝐵))
9	1	negscld 28450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐴) ∈ No)
10	9, 2	addscomd 28380	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) +s 𝐵) = (𝐵 +s ( -s‘𝐴)))
11	5, 8, 10	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 +s ( -s‘𝐵))) = (𝐵 +s ( -s‘𝐴)))
12	1, 2	subsvald 28474	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))
13	12	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 −s 𝐵)) = ( -s‘(𝐴 +s ( -s‘𝐵))))
14	2, 1	subsvald 28474	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −s 𝐴) = (𝐵 +s ( -s‘𝐴)))
15	11, 13, 14	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ( -s‘(𝐴 −s 𝐵)) = (𝐵 −s 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Nocsur 28024   +_s cadds 28372   -_scnegs 28432   −_s csubs 28433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-1o 8501  df-2o 8502  df-nadd 8700  df-no 28027  df-lts 28028  df-bday 28029  df-les 28129  df-slts 28171  df-cuts 28173  df-0s 28220  df-made 28240  df-old 28241  df-left 28243  df-right 28244  df-norec 28351  df-norec2 28362  df-adds 28373  df-negs 28434  df-subs 28435

This theorem is used by:  ltsubsubs2bd  28497  subsubs2d  28508  precsexlem9  28628  abssubs  28663  znegscl  28805  elzn0s  28811  zcuts  28820  zseo  28835