Theorem sltsub2 27533

Description: Subtraction from both sides of surreal less-than. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sltsub2	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐴)))

Proof of Theorem sltsub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 27499	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
2	1	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
3		negscl 27499	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
4	3	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
5		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐶 ∈ No )
6	2, 4, 5	sltadd2d 27469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴) ↔ (𝐶 +s ( -us ‘𝐵)) <s (𝐶 +s ( -us ‘𝐴))))
7		sltneg 27508	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴)))
8	7	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴)))
9		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
10	5, 9	subsvald 27522	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐶 -s 𝐵) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐵)))
11		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐴 ∈ No )
12	5, 11	subsvald 27522	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐶 -s 𝐴) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐴)))
13	10, 12	breq12d 5160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐶 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐴) ↔ (𝐶 +s ( -us ‘𝐵)) <s (𝐶 +s ( -us ‘𝐴))))
14	6, 8, 13	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   No csur 27132   <s cslt 27133   +_s cadds 27432   -u_s cnegs 27483   -_s csubs 27484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-1o 8462  df-2o 8463  df-nadd 8661  df-no 27135  df-slt 27136  df-bday 27137  df-sle 27237  df-sslt 27272  df-scut 27274  df-0s 27314  df-made 27331  df-old 27332  df-left 27334  df-right 27335  df-norec 27411  df-norec2 27422  df-adds 27433  df-negs 27485  df-subs 27486

This theorem is referenced by:  sltsub2d  27535