Theorem sltsubsubbd 28052

Description: Equivalence for the surreal less-than relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 6-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsubsubbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltsubsubbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltsubsubbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltsubsubbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
sltsubsubbd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))

Proof of Theorem sltsubsubbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubsubbd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltsubsubbd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		npcans 28044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
5		sltsubsubbd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6		npcans 28044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
8	4, 7	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵))
9	5, 2	addscomd 27937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐵))
10	9	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
11		sltsubsubbd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
12	5, 11	subsvald 28030	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐷)))
13	12	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐶))
14	11	negscld 28006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐷) ∈ No )
15	5, 14, 2	adds32d 27977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)))
16	13, 15	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)))
17	2, 11	subsvald 28030	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐷)))
18	17	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐵))
19	2, 14, 5	adds32d 27977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
20	18, 19	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
21	10, 16, 20	3eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵))
22	8, 21	breq12d 5109	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) ↔ ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵)))
23	1, 2	subscld 28032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) ∈ No )
24	5, 11	subscld 28032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) ∈ No )
25	23, 24, 2	sltadd1d 27968	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶)))
26	1, 5	subscld 28032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
27	2, 11	subscld 28032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) ∈ No )
28	26, 27, 5	sltadd1d 27968	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵)))
29	22, 25, 28	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   No csur 27605   <s cslt 27606   +_s cadds 27929   -u_s cnegs 27988   -_s csubs 27989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-nadd 8592  df-no 27608  df-slt 27609  df-bday 27610  df-sle 27711  df-sslt 27748  df-scut 27750  df-0s 27795  df-made 27815  df-old 27816  df-left 27818  df-right 27819  df-norec 27908  df-norec2 27919  df-adds 27930  df-negs 27990  df-subs 27991

This theorem is referenced by:  sltsubsub3bd  28054  slesubsub3bd  28057  mulsproplem6  28090  mulsproplem7  28091  mulsproplem8  28092