Theorem sltsubsubbd 28114

Description: Equivalence for the surreal less-than relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 6-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsubsubbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltsubsubbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltsubsubbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltsubsubbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
sltsubsubbd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))

Proof of Theorem sltsubsubbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubsubbd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltsubsubbd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		npcans 28106	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
5		sltsubsubbd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6		npcans 28106	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
8	4, 7	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵))
9	5, 2	addscomd 28001	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐵))
10	9	oveq1d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
11		sltsubsubbd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
12	5, 11	subsvald 28092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐷)))
13	12	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐶))
14	11	negscld 28070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐷) ∈ No )
15	5, 14, 2	adds32d 28041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)))
16	13, 15	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)))
17	2, 11	subsvald 28092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐷)))
18	17	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐵))
19	2, 14, 5	adds32d 28041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
20	18, 19	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
21	10, 16, 20	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵))
22	8, 21	breq12d 5155	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) ↔ ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵)))
23	1, 2	subscld 28094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) ∈ No )
24	5, 11	subscld 28094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) ∈ No )
25	23, 24, 2	sltadd1d 28032	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶)))
26	1, 5	subscld 28094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
27	2, 11	subscld 28094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) ∈ No )
28	26, 27, 5	sltadd1d 28032	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵)))
29	22, 25, 28	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   No csur 27685   <s cslt 27686   +_s cadds 27993   -u_s cnegs 28052   -_s csubs 28053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-1o 8507  df-2o 8508  df-nadd 8705  df-no 27688  df-slt 27689  df-bday 27690  df-sle 27791  df-sslt 27827  df-scut 27829  df-0s 27870  df-made 27887  df-old 27888  df-left 27890  df-right 27891  df-norec 27972  df-norec2 27983  df-adds 27994  df-negs 28054  df-subs 28055

This theorem is referenced by:  sltsubsub3bd  28116  slesubsub3bd  28119  mulsproplem6  28148  mulsproplem7  28149  mulsproplem8  28150