Theorem sltsubsubbd 28128

Description: Equivalence for the surreal less-than relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 6-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsubsubbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltsubsubbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltsubsubbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltsubsubbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
sltsubsubbd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))

Proof of Theorem sltsubsubbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubsubbd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltsubsubbd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		npcans 28120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
5		sltsubsubbd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6		npcans 28120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
8	4, 7	eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵))
9	5, 2	addscomd 28015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐵))
10	9	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
11		sltsubsubbd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
12	5, 11	subsvald 28106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐷)))
13	12	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐶))
14	11	negscld 28084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐷) ∈ No )
15	5, 14, 2	adds32d 28055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)))
16	13, 15	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)))
17	2, 11	subsvald 28106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐷)))
18	17	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐵))
19	2, 14, 5	adds32d 28055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
20	18, 19	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
21	10, 16, 20	3eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵))
22	8, 21	breq12d 5161	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) ↔ ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵)))
23	1, 2	subscld 28108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) ∈ No )
24	5, 11	subscld 28108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) ∈ No )
25	23, 24, 2	sltadd1d 28046	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶)))
26	1, 5	subscld 28108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
27	2, 11	subscld 28108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) ∈ No )
28	26, 27, 5	sltadd1d 28046	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵)))
29	22, 25, 28	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   No csur 27699   <s cslt 27700   +_s cadds 28007   -u_s cnegs 28066   -_s csubs 28067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-1o 8505  df-2o 8506  df-nadd 8703  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-norec 27986  df-norec2 27997  df-adds 28008  df-negs 28068  df-subs 28069

This theorem is referenced by:  sltsubsub3bd  28130  slesubsub3bd  28133  mulsproplem6  28162  mulsproplem7  28163  mulsproplem8  28164