Theorem tposco 8044

Description: Transposition of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposco	⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ tpos 𝐺)

Proof of Theorem tposco

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 6158	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})) = (𝐹 ∘ (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
2		dftpos4 8032	. 2 ⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
3		dftpos4 8032	. . 3 ⊢ tpos 𝐺 = (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
4	3	coeq2i 5758	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ tpos 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
5	1, 2, 4	3eqtr4i 2776	1 ⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ tpos 𝐺)

Syntax hints:   = wceq 1539  Vcvv 3422   ∪ cun 3881  ∅c0 4253  {csn 4558  ∪ cuni 4836   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579   ∘ ccom 5584  tpos ctpos 8012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-fv 6426  df-tpos 8013

This theorem is referenced by: (None)