Theorem tposco 8187

Description: Transposition of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposco	⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ tpos 𝐺)

Proof of Theorem tposco

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 6213	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})) = (𝐹 ∘ (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
2		dftpos4 8175	. 2 ⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
3		dftpos4 8175	. . 3 ⊢ tpos 𝐺 = (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
4	3	coeq2i 5799	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ tpos 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
5	1, 2, 4	3eqtr4i 2764	1 ⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ tpos 𝐺)

Syntax hints:   = wceq 1541  Vcvv 3436   ∪ cun 3895  ∅c0 4280  {csn 4573  ∪ cuni 4856   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612  ^◡ccnv 5613   ∘ ccom 5618  tpos ctpos 8155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-fv 6489  df-tpos 8156

This theorem is referenced by: (None)