Theorem tpos0 8043

Description: Transposition of the empty set. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpos0	⊢ tpos ∅ = ∅

Proof of Theorem tpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 5698	. . . 4 ⊢ Rel ∅
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ∅ = ∅
3		fn0 6548	. . . . 5 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
4	2, 3	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ∅ Fn ∅
5		tposfn2 8035	. . . 4 ⊢ (Rel ∅ → (∅ Fn ∅ → tpos ∅ Fn ◡∅))
6	1, 4, 5	mp2 9	. . 3 ⊢ tpos ∅ Fn ◡∅
7		cnv0 6033	. . . 4 ⊢ ◡∅ = ∅
8	7	fneq2i 6515	. . 3 ⊢ (tpos ∅ Fn ◡∅ ↔ tpos ∅ Fn ∅)
9	6, 8	mpbi 229	. 2 ⊢ tpos ∅ Fn ∅
10		fn0 6548	. 2 ⊢ (tpos ∅ Fn ∅ ↔ tpos ∅ = ∅)
11	9, 10	mpbi 229	1 ⊢ tpos ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1539  ∅c0 4253  ^◡ccnv 5579  Rel wrel 5585   Fn wfn 6413  tpos ctpos 8012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-fv 6426  df-tpos 8013

This theorem is referenced by:  oppchomfval  17340  oppchomfvalOLD  17341  oppgplusfval  18867  opprmulfval  19779