Theorem tpos0 8206

Description: Transposition of the empty set. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpos0	⊢ tpos ∅ = ∅

Proof of Theorem tpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 5755	. . . 4 ⊢ Rel ∅
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ∅ = ∅
3		fn0 6629	. . . . 5 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
4	2, 3	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ∅ Fn ∅
5		tposfn2 8198	. . . 4 ⊢ (Rel ∅ → (∅ Fn ∅ → tpos ∅ Fn ◡∅))
6	1, 4, 5	mp2 9	. . 3 ⊢ tpos ∅ Fn ◡∅
7		cnv0 6103	. . . 4 ⊢ ◡∅ = ∅
8	7	fneq2i 6596	. . 3 ⊢ (tpos ∅ Fn ◡∅ ↔ tpos ∅ Fn ∅)
9	6, 8	mpbi 230	. 2 ⊢ tpos ∅ Fn ∅
10		fn0 6629	. 2 ⊢ (tpos ∅ Fn ∅ ↔ tpos ∅ = ∅)
11	9, 10	mpbi 230	1 ⊢ tpos ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4273  ^◡ccnv 5630  Rel wrel 5636   Fn wfn 6493  tpos ctpos 8175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-fv 6506  df-tpos 8176

This theorem is referenced by:  oppchomfval  17680  oppgplusfval  19323  opprmulfval  20319  termolmd  50145