Theorem tpos0 8199

Description: Transposition of the empty set. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpos0	⊢ tpos ∅ = ∅

Proof of Theorem tpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 5748	. . . 4 ⊢ Rel ∅
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∅ = ∅
3		fn0 6623	. . . . 5 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
4	2, 3	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ∅ Fn ∅
5		tposfn2 8191	. . . 4 ⊢ (Rel ∅ → (∅ Fn ∅ → tpos ∅ Fn ◡∅))
6	1, 4, 5	mp2 9	. . 3 ⊢ tpos ∅ Fn ◡∅
7		cnv0 6097	. . . 4 ⊢ ◡∅ = ∅
8	7	fneq2i 6590	. . 3 ⊢ (tpos ∅ Fn ◡∅ ↔ tpos ∅ Fn ∅)
9	6, 8	mpbi 230	. 2 ⊢ tpos ∅ Fn ∅
10		fn0 6623	. 2 ⊢ (tpos ∅ Fn ∅ ↔ tpos ∅ = ∅)
11	9, 10	mpbi 230	1 ⊢ tpos ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4274  ^◡ccnv 5623  Rel wrel 5629   Fn wfn 6487  tpos ctpos 8168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-fv 6500  df-tpos 8169

This theorem is referenced by:  oppchomfval  17671  oppgplusfval  19314  opprmulfval  20310  termolmd  50157