Theorem uhgr0vusgr 28488

Description: The null graph, with no vertices, represented by a hypergraph, is a simple graph. (Contributed by AV, 5-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0vusgr	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem uhgr0vusgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	uhgr0v0e 28484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (Edg‘𝐺) = ∅)
5		uhgriedg0edg0 28376	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
7	4, 6	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
8	1, 7	usgr0e 28482	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4321  ‘cfv 6540  Vtxcvtx 28245  iEdgciedg 28246  Edgcedg 28296  UHGraphcuhgr 28305  USGraphcusgr 28398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fv 6548  df-edg 28297  df-uhgr 28307  df-usgr 28400

This theorem is referenced by: (None)