Theorem usgr0 29049

Description: The null graph represented by an empty set is a simple graph. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgr0	⊢ ∅ ∈ USGraph

Proof of Theorem usgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 6866	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2		dm0 5917	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		f1eq2 6783	. . . 4 ⊢ (dom ∅ = ∅ → (∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5	1, 4	mpbir 230	. 2 ⊢ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
6		0ex 5301	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
7		vtxval0 28845	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
8	7	eqcomi 2737	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
9		iedgval0 28846	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
10	9	eqcomi 2737	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
11	8, 10	isusgr 28959	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ USGraph ↔ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ USGraph ↔ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13	5, 12	mpbir 230	1 ⊢ ∅ ∈ USGraph

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3428  Vcvv 3470   ∖ cdif 3942  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598  {csn 4624  dom cdm 5672  –1-1→wf1 6539  ‘cfv 6542  2c2 12291  ♯chash 14315  Vtxcvtx 28802  iEdgciedg 28803  USGraphcusgr 28955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-dec 12702  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-edgf 28793  df-vtx 28804  df-iedg 28805  df-usgr 28957

This theorem is referenced by:  cusgr0  29232  frgr0  30068