Theorem usgr0 29446

Description: The null graph represented by an empty set is a simple graph. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgr0	⊢ ∅ ∈ USGraph

Proof of Theorem usgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 6842	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2		dm0 5898	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		f1eq2 6758	. . . 4 ⊢ (dom ∅ = ∅ → (∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5	1, 4	mpbir 233	. 2 ⊢ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
6		0ex 5259	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
7		vtxval0 29242	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
8	7	eqcomi 2773	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
9		iedgval0 29243	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
10	9	eqcomi 2773	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
11	8, 10	isusgr 29356	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ USGraph ↔ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ USGraph ↔ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13	5, 12	mpbir 233	1 ⊢ ∅ ∈ USGraph

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {crab 3416  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  dom cdm 5649  –1-1→wf1 6520  ‘cfv 6523  2c2 12274  ♯chash 14345  Vtxcvtx 29199  iEdgciedg 29200  USGraphcusgr 29352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-dec 12691  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-edgf 29192  df-vtx 29201  df-iedg 29202  df-usgr 29354

This theorem is referenced by:  cusgr0  29629  frgr0  30469