Theorem usgr0 29222

Description: The null graph represented by an empty set is a simple graph. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgr0	⊢ ∅ ∈ USGraph

Proof of Theorem usgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 6851	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2		dm0 5900	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		f1eq2 6770	. . . 4 ⊢ (dom ∅ = ∅ → (∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5	1, 4	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
6		0ex 5277	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
7		vtxval0 29018	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
8	7	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
9		iedgval0 29019	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
10	9	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
11	8, 10	isusgr 29132	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ USGraph ↔ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ USGraph ↔ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13	5, 12	mpbir 231	1 ⊢ ∅ ∈ USGraph

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  {csn 4601  dom cdm 5654  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531  2c2 12295  ♯chash 14348  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  USGraphcusgr 29128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-dec 12709  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-edgf 28968  df-vtx 28977  df-iedg 28978  df-usgr 29130

This theorem is referenced by:  cusgr0  29405  frgr0  30246