Theorem usgr0 29188

Description: The null graph represented by an empty set is a simple graph. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgr0	⊢ ∅ ∈ USGraph

Proof of Theorem usgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 6797	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2		dm0 5863	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		f1eq2 6716	. . . 4 ⊢ (dom ∅ = ∅ → (∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∅:∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5	1, 4	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
6		0ex 5246	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
7		vtxval0 28984	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
8	7	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
9		iedgval0 28985	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
10	9	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
11	8, 10	isusgr 29098	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ USGraph ↔ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ USGraph ↔ ∅:dom ∅–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13	5, 12	mpbir 231	1 ⊢ ∅ ∈ USGraph

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3394  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  dom cdm 5619  –1-1→wf1 6479  ‘cfv 6482  2c2 12183  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28941  iEdgciedg 28942  USGraphcusgr 29094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-dec 12592  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-edgf 28934  df-vtx 28943  df-iedg 28944  df-usgr 29096

This theorem is referenced by:  cusgr0  29371  frgr0  30209