Theorem uhgriedg0edg0 29455

Description: A hypergraph has no edges iff its edge function is empty. (Contributed by AV, 21-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgriedg0edg0	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem uhgriedg0edg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	uhgrfun 29394	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 3	edg0iedg0 29383	. 2 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
5	2, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4287  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  iEdgciedg 29325  Edgcedg 29375  UHGraphcuhgr 29384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-edg 29376  df-uhgr 29386

This theorem is referenced by:  uhgr0v0e  29566  uhgr0vusgr  29570  lfuhgr1v0e  29582  usgr1vr  29583  usgr1v0e  29654  uhgr0edg0rgr  29901  rgrusgrprc  29917