Theorem uhgriedg0edg0 28996

Description: A hypergraph has no edges iff its edge function is empty. (Contributed by AV, 21-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgriedg0edg0	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem uhgriedg0edg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	uhgrfun 28935	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
3		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 3	edg0iedg0 28924	. 2 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4323  Fun wfun 6541  ‘cfv 6547  iEdgciedg 28866  Edgcedg 28916  UHGraphcuhgr 28925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5428  ax-un 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-edg 28917  df-uhgr 28927

This theorem is referenced by:  uhgr0v0e  29107  uhgr0vusgr  29111  lfuhgr1v0e  29123  usgr1vr  29124  usgr1v0e  29195  uhgr0edg0rgr  29443  rgrusgrprc  29459