Theorem uhgriedg0edg0 28387

Description: A hypergraph has no edges iff its edge function is empty. (Contributed by AV, 21-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgriedg0edg0	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem uhgriedg0edg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	uhgrfun 28326	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 3	edg0iedg0 28315	. 2 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4323  Fun wfun 6538  ‘cfv 6544  iEdgciedg 28257  Edgcedg 28307  UHGraphcuhgr 28316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-edg 28308  df-uhgr 28318

This theorem is referenced by:  uhgr0v0e  28495  uhgr0vusgr  28499  lfuhgr1v0e  28511  usgr1vr  28512  usgr1v0e  28583  uhgr0edg0rgr  28830  rgrusgrprc  28846