Theorem uhgriedg0edg0 29059

Description: A hypergraph has no edges iff its edge function is empty. (Contributed by AV, 21-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgriedg0edg0	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem uhgriedg0edg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	uhgrfun 28998	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 3	edg0iedg0 28987	. 2 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4280  Fun wfun 6470  ‘cfv 6476  iEdgciedg 28929  Edgcedg 28979  UHGraphcuhgr 28988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5367  ax-un 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484  df-edg 28980  df-uhgr 28990

This theorem is referenced by:  uhgr0v0e  29170  uhgr0vusgr  29174  lfuhgr1v0e  29186  usgr1vr  29187  usgr1v0e  29258  uhgr0edg0rgr  29506  rgrusgrprc  29522