Theorem uhgriedg0edg0 29592

Description: A hypergraph has no edges iff its edge function is empty. (Contributed by AV, 21-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgriedg0edg0	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem uhgriedg0edg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	uhgrfun 29531	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 3	edg0iedg0 29520	. 2 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
5	2, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  iEdgciedg 29462  Edgcedg 29512  UHGraphcuhgr 29521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-edg 29513  df-uhgr 29523

This theorem is used by:  uhgr0v0e  29706  uhgr0vusgr  29710  lfuhgr1v0e  29722  usgr1vr  29723  usgr1v0e  29794  uhgr0edg0rgr  30041  rgrusgrprc  30057