Theorem linds2eq 33464

Description: Deduce equality of elements in an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
linds2eq.1	⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
linds2eq.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
linds2eq.3	⊢ + = (+g‘𝑊)
linds2eq.4	⊢ 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
linds2eq.5	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
linds2eq.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
linds2eq.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
linds2eq.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
linds2eq.9	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
linds2eq.10	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐹)
linds2eq.11	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
linds2eq.12	⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
linds2eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))

Proof of Theorem linds2eq

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2		linds2eq.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
3	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
4	1	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐿 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
5	3, 4	eqtr4d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑋))
6		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		linds2eq.2	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		linds2eq.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11		linds2eq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑊 ∈ LVec)
13		linds2eq.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐹)
15		linds2eq.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐹)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐿 ∈ 𝐹)
17		linds2eq.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
18	6	linds1 21785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
20		linds2eq.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	19, 20	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
23	10	0nellinds 33453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
24	11, 17, 23	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
25		nelne2 3032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
26	20, 24, 25	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
27	26	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
28	6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 22, 27	lvecvscan2 21105	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑋) ↔ 𝐾 = 𝐿))
29	5, 28	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐾 = 𝐿)
30	1, 29	jca 516	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))
31	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐹)
33		opex 5403	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V)
35		opex 5403	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V)
37		animorrl 988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)))
38		opthneg 5421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))))
39	38	biimpar 478	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩)
40	31, 32, 37, 39	syl21anc 843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩)
41		animorrl 988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 ))
42		opthneg 5421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 )))
43	42	biimpar 478	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 )) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)
44	31, 32, 41, 43	syl21anc 843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)
45	40, 44	jca 516	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩))
46		linds2eq.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
48		fvexd 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ V)
49		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
50		fprg 7098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐹 ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ V) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)})
51	31, 47, 32, 48, 49, 50	syl221anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)})
52		prfi 9224	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
54		linds2eq.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
55	54	fvexi 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 ∈ V)
57	51, 53, 56	fdmfifsupp 9278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 )
58		lveclmod 21096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
59	11, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
60		lmodcmn 20900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑊 ∈ CMnd)
63	59	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑊 ∈ LMod)
64	8	lmodring 20858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
65		ringgrp 20210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
66	59, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
67		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
68	9, 67	grpinvcl 18954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ 𝐹) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
69	66, 15, 68	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
70	13, 69	prssd 4753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)} ⊆ 𝐹)
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)} ⊆ 𝐹)
72	51, 71	fssd 6672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶𝐹)
73		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 = 𝑋)
74	73	orcd 879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌))
75		elprg 4578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
76	75	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
77	31, 74, 76	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
78	72, 77	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) ∈ 𝐹)
79	21	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
80	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
81	63, 78, 79, 80	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
82		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 = 𝑌)
83	82	olcd 880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌))
84		elprg 4578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌)))
85	84	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
86	47, 83, 85	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
87	72, 86	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) ∈ 𝐹)
88	19, 46	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
90	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
91	63, 87, 89, 90	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
92		linds2eq.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝑊)
93		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋))
94		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
95	93, 94	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋))
96		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌))
97		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → 𝑏 = 𝑌)
98	96, 97	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌))
99	6, 92, 95, 98	gsumpr 19921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)))
100	62, 31, 47, 49, 81, 91, 99	syl132anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)))
101		fvpr1g 7134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) = 𝐾)
102	31, 32, 49, 101	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) = 𝐾)
103	102	oveq1d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) = (𝐾 · 𝑋))
104	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
105		fvpr2g 7135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) = ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))
106	47, 104, 49, 105	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) = ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))
107	106	oveq1d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) = (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌))
108	103, 107	oveq12d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)))
109	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
110	59, 13, 21, 109	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
111	2, 110	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
112		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
113		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
114	6, 92, 112, 113	grpsubval 18952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))))
115	110, 111, 114	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))))
116		lmodgrp 20857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
117	59, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
118	6, 10, 113	grpsubeq0 18993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌)))
119	117, 110, 111, 118	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌)))
120	2, 119	mpbird 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
121	6, 8, 7, 112, 9, 67, 59, 88, 15	lmodvsneg 20896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌)) = (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌))
122	121	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))) = ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)))
123	115, 120, 122	3eqtr3rd 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
124	123	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
125	100, 108, 124	3eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊))
126		breq1 5075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ))
127		fveq1 6826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏))
128	127	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑎‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))
129	128	mpteq2dv 5166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏)))
130	129	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))))
131	130	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊) ↔ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)))
132	126, 131	anbi12d 638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) ↔ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊))))
133		eqeq1 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
134	132, 133	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })) ↔ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))))
135	20, 46	prssd 4753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
136	135, 19	sstrd 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊))
137		lindsss 21799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊))
138	59, 17, 135, 137	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊))
139	6, 9, 8, 7, 10, 54	islinds5 33450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))))
140	139	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
141	59, 136, 138, 140	syl21anc 843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
142	141	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
143	9	fvexi 6841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ V
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐹 ∈ V)
145	138	elexd 3454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
147	144, 146	elmapd 8777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌}) ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶𝐹))
148	72, 147	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌}))
149	134, 142, 148	rspcdva 3561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
150	57, 125, 149	mp2and 705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))
151		xpprsng 7082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
152	31, 47, 56, 151	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
153	150, 152	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
154		opthprneg 4796	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩} ↔ (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩)))
155	154	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)) ∧ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩}) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩))
156	34, 36, 45, 153, 155	syl1111anc 846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩))
157	156	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩)
158		opthg 5417	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝐾 = 0 )))
159	158	simplbda 500	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩) → 𝐾 = 0 )
160	31, 32, 157, 159	syl21anc 843	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 = 0 )
161		linds2eq.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
162	161	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 ≠ 0 )
163	160, 162	pm2.21ddne 3018	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))
164	30, 163	pm2.61dane 3021	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  {csn 4555  {cpr 4557  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  -_gcsg 18902  CMndccmn 19746  Ringcrg 20205  LModclmod 20850  LVecclvec 21092  LIndSclinds 21780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-nzr 20485  df-subrg 20542  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lmhm 21012  df-lbs 21065  df-lvec 21093  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-uvc 21758  df-lindf 21781  df-linds 21782

This theorem is referenced by:  fedgmul  33815