Theorem linds2eq 33352

Description: Deduce equality of elements in an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
linds2eq.1	⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
linds2eq.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
linds2eq.3	⊢ + = (+g‘𝑊)
linds2eq.4	⊢ 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
linds2eq.5	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
linds2eq.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
linds2eq.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
linds2eq.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
linds2eq.9	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
linds2eq.10	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐹)
linds2eq.11	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
linds2eq.12	⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
linds2eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))

Proof of Theorem linds2eq

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2		linds2eq.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
4	1	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐿 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
5	3, 4	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑋))
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		linds2eq.2	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		linds2eq.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11		linds2eq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑊 ∈ LVec)
13		linds2eq.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐹)
15		linds2eq.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐹)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐿 ∈ 𝐹)
17		linds2eq.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
18	6	linds1 21719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
20		linds2eq.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	19, 20	sseldd 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
23	10	0nellinds 33341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
24	11, 17, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
25		nelne2 3023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
26	20, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
28	6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 22, 27	lvecvscan2 21022	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑋) ↔ 𝐾 = 𝐿))
29	5, 28	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐾 = 𝐿)
30	1, 29	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))
31	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐹)
33		opex 5424	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V)
35		opex 5424	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V)
37		animorrl 982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)))
38		opthneg 5441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))))
39	38	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩)
40	31, 32, 37, 39	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩)
41		animorrl 982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 ))
42		opthneg 5441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 )))
43	42	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 )) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)
44	31, 32, 41, 43	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)
45	40, 44	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩))
46		linds2eq.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
48		fvexd 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ V)
49		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
50		fprg 7127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐹 ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ V) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)})
51	31, 47, 32, 48, 49, 50	syl221anc 1383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)})
52		prfi 9274	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
54		linds2eq.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
55	54	fvexi 6872	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 ∈ V)
57	51, 53, 56	fdmfifsupp 9326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 )
58		lveclmod 21013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
59	11, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
60		lmodcmn 20816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑊 ∈ CMnd)
63	59	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑊 ∈ LMod)
64	8	lmodring 20774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
65		ringgrp 20147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
66	59, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
67		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
68	9, 67	grpinvcl 18919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ 𝐹) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
69	66, 15, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
70	13, 69	prssd 4786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)} ⊆ 𝐹)
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)} ⊆ 𝐹)
72	51, 71	fssd 6705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶𝐹)
73		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 = 𝑋)
74	73	orcd 873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌))
75		elprg 4612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
76	75	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
77	31, 74, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
78	72, 77	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) ∈ 𝐹)
79	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
80	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
81	63, 78, 79, 80	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
82		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 = 𝑌)
83	82	olcd 874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌))
84		elprg 4612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌)))
85	84	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
86	47, 83, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
87	72, 86	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) ∈ 𝐹)
88	19, 46	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
90	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
91	63, 87, 89, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
92		linds2eq.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝑊)
93		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋))
94		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
95	93, 94	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋))
96		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌))
97		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → 𝑏 = 𝑌)
98	96, 97	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌))
99	6, 92, 95, 98	gsumpr 19885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)))
100	62, 31, 47, 49, 81, 91, 99	syl132anc 1390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)))
101		fvpr1g 7164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) = 𝐾)
102	31, 32, 49, 101	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) = 𝐾)
103	102	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) = (𝐾 · 𝑋))
104	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
105		fvpr2g 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) = ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))
106	47, 104, 49, 105	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) = ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))
107	106	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) = (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌))
108	103, 107	oveq12d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)))
109	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
110	59, 13, 21, 109	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
111	2, 110	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
112		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
113		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
114	6, 92, 112, 113	grpsubval 18917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))))
115	110, 111, 114	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))))
116		lmodgrp 20773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
117	59, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
118	6, 10, 113	grpsubeq0 18958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌)))
119	117, 110, 111, 118	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌)))
120	2, 119	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
121	6, 8, 7, 112, 9, 67, 59, 88, 15	lmodvsneg 20812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌)) = (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌))
122	121	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))) = ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)))
123	115, 120, 122	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
124	123	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
125	100, 108, 124	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊))
126		breq1 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ))
127		fveq1 6857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏))
128	127	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑎‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))
129	128	mpteq2dv 5201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏)))
130	129	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))))
131	130	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊) ↔ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)))
132	126, 131	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) ↔ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊))))
133		eqeq1 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
134	132, 133	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })) ↔ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))))
135	20, 46	prssd 4786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
136	135, 19	sstrd 3957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊))
137		lindsss 21733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊))
138	59, 17, 135, 137	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊))
139	6, 9, 8, 7, 10, 54	islinds5 33338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))))
140	139	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
141	59, 136, 138, 140	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
142	141	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
143	9	fvexi 6872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ V
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐹 ∈ V)
145	138	elexd 3471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
146	145	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
147	144, 146	elmapd 8813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌}) ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶𝐹))
148	72, 147	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌}))
149	134, 142, 148	rspcdva 3589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
150	57, 125, 149	mp2and 699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))
151		xpprsng 7112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
152	31, 47, 56, 151	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
153	150, 152	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
154		opthprneg 4829	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩} ↔ (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩)))
155	154	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)) ∧ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩}) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩))
156	34, 36, 45, 153, 155	syl1111anc 840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩))
157	156	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩)
158		opthg 5437	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝐾 = 0 )))
159	158	simplbda 499	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩) → 𝐾 = 0 )
160	31, 32, 157, 159	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 = 0 )
161		linds2eq.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
162	161	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 ≠ 0 )
163	160, 162	pm2.21ddne 3009	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))
164	30, 163	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  -_gcsg 18867  CMndccmn 19710  Ringcrg 20142  LModclmod 20766  LVecclvec 21009  LIndSclinds 21714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-nzr 20422  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lmhm 20929  df-lbs 20982  df-lvec 21010  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-uvc 21692  df-lindf 21715  df-linds 21716

This theorem is referenced by:  fedgmul  33627