Theorem linds2eq 33694

Description: Deduce equality of elements in an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
linds2eq.1	⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
linds2eq.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
linds2eq.3	⊢ + = (+g‘𝑊)
linds2eq.4	⊢ 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
linds2eq.5	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
linds2eq.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
linds2eq.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
linds2eq.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
linds2eq.9	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
linds2eq.10	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐹)
linds2eq.11	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
linds2eq.12	⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
linds2eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))

Proof of Theorem linds2eq

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2		linds2eq.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
3	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
4	1	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐿 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
5	3, 4	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑋))
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		linds2eq.2	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		linds2eq.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11		linds2eq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
12	11	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑊 ∈ LVec)
13		linds2eq.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐹)
15		linds2eq.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐹)
16	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐿 ∈ 𝐹)
17		linds2eq.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
18	6	linds1 21960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
19	17, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
20		linds2eq.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	19, 20	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
23	10	0nellinds 33685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
24	11, 17, 23	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
25		nelne2 3056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
26	20, 24, 25	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
27	26	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
28	6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 22, 27	lvecvscan2 21236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑋) ↔ 𝐾 = 𝐿))
29	5, 28	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐾 = 𝐿)
30	1, 29	jca 520	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))
31	20	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐹)
33		opex 5445	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V)
35		opex 5445	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V)
37		animorrl 996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)))
38		opthneg 5463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))))
39	38	biimpar 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩)
40	31, 32, 37, 39	syl21anc 850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩)
41		animorrl 996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 ))
42		opthneg 5463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 )))
43	42	biimpar 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 )) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)
44	31, 32, 41, 43	syl21anc 850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)
45	40, 44	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩))
46		linds2eq.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
47	46	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
48		fvexd 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ V)
49		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
50		fprg 7152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐹 ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ V) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)})
51	31, 47, 32, 48, 49, 50	syl221anc 1408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)})
52		prfi 9279	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
54		linds2eq.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
55	54	fvexi 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 ∈ V)
57	51, 53, 56	fdmfifsupp 9331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 )
58		lveclmod 21227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
59	11, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
60		lmodcmn 21031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
61	59, 60	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
62	61	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑊 ∈ CMnd)
63	59	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑊 ∈ LMod)
64	8	lmodring 20989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
65		ringgrp 20315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
66	59, 64, 65	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
67		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
68	9, 67	grpinvcl 19049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ 𝐹) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
69	66, 15, 68	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
70	13, 69	prssd 4788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)} ⊆ 𝐹)
71	70	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)} ⊆ 𝐹)
72	51, 71	fssd 6723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶𝐹)
73		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 = 𝑋)
74	73	orcd 886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌))
75		elprg 4612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
76	75	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
77	31, 74, 76	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
78	72, 77	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) ∈ 𝐹)
79	21	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
80	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
81	63, 78, 79, 80	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
82		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 = 𝑌)
83	82	olcd 887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌))
84		elprg 4612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌)))
85	84	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
86	47, 83, 85	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
87	72, 86	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) ∈ 𝐹)
88	19, 46	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
89	88	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
90	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
91	63, 87, 89, 90	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
92		linds2eq.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝑊)
93		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋))
94		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
95	93, 94	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋))
96		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌))
97		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → 𝑏 = 𝑌)
98	96, 97	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌))
99	6, 92, 95, 98	gsumpr 20020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)))
100	62, 31, 47, 49, 81, 91, 99	syl132anc 1415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)))
101		fvpr1g 7188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) = 𝐾)
102	31, 32, 49, 101	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) = 𝐾)
103	102	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) = (𝐾 · 𝑋))
104	69	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
105		fvpr2g 7189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) = ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))
106	47, 104, 49, 105	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) = ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))
107	106	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) = (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌))
108	103, 107	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)))
109	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
110	59, 13, 21, 109	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
111	2, 110	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
112		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
113		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
114	6, 92, 112, 113	grpsubval 19047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))))
115	110, 111, 114	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))))
116		lmodgrp 20988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
117	59, 116	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
118	6, 10, 113	grpsubeq0 19087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌)))
119	117, 110, 111, 118	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌)))
120	2, 119	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
121	6, 8, 7, 112, 9, 67, 59, 88, 15	lmodvsneg 21027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌)) = (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌))
122	121	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))) = ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)))
123	115, 120, 122	3eqtr3rd 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
124	123	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
125	100, 108, 124	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊))
126		breq1 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ))
127		fveq1 6880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏))
128	127	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑎‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))
129	128	mpteq2dv 5205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏)))
130	129	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))))
131	130	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊) ↔ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)))
132	126, 131	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) ↔ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊))))
133		eqeq1 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
134	132, 133	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })) ↔ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))))
135	20, 46	prssd 4788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
136	135, 19	sstrd 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊))
137		lindsss 21974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊))
138	59, 17, 135, 137	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊))
139	6, 9, 8, 7, 10, 54	islinds5 33682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))))
140	139	biimpa 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
141	59, 136, 138, 140	syl21anc 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
142	141	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
143	9	fvexi 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ V
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐹 ∈ V)
145	138	elexd 3478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
146	145	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
147	144, 146	elmapd 8833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌}) ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶𝐹))
148	72, 147	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌}))
149	134, 142, 148	rspcdva 3582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
150	57, 125, 149	mp2and 711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))
151		xpprsng 7136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
152	31, 47, 56, 151	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
153	150, 152	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
154		opthprneg 4830	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩} ↔ (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩)))
155	154	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)) ∧ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩}) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩))
156	34, 36, 45, 153, 155	syl1111anc 853	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩))
157	156	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩)
158		opthg 5459	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝐾 = 0 )))
159	158	simplbda 504	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩) → 𝐾 = 0 )
160	31, 32, 157, 159	syl21anc 850	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 = 0 )
161		linds2eq.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
162	161	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 ≠ 0 )
163	160, 162	pm2.21ddne 3042	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))
164	30, 163	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9317  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  0_gc0g 17487   Σ_g cgsu 17488  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996  -_gcsg 18997  CMndccmn 19845  Ringcrg 20310  LModclmod 20981  LVecclvec 21223  LIndSclinds 21955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-nzr 20610  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lmhm 21143  df-lbs 21196  df-lvec 21224  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-dsmm 21882  df-frlm 21897  df-uvc 21933  df-lindf 21956  df-linds 21957

This theorem is referenced by:  fedgmul  34021