Theorem linds2eq 33409

Description: Deduce equality of elements in an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
linds2eq.1	⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
linds2eq.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
linds2eq.3	⊢ + = (+g‘𝑊)
linds2eq.4	⊢ 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
linds2eq.5	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
linds2eq.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
linds2eq.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
linds2eq.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
linds2eq.9	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
linds2eq.10	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐹)
linds2eq.11	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
linds2eq.12	⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
linds2eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))

Proof of Theorem linds2eq

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2		linds2eq.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
4	1	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐿 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
5	3, 4	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑋))
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		linds2eq.2	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		linds2eq.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11		linds2eq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑊 ∈ LVec)
13		linds2eq.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐹)
15		linds2eq.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐹)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐿 ∈ 𝐹)
17		linds2eq.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
18	6	linds1 21830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
20		linds2eq.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	19, 20	sseldd 3984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
23	10	0nellinds 33398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
24	11, 17, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
25		nelne2 3040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
26	20, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
28	6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 22, 27	lvecvscan2 21114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑋) ↔ 𝐾 = 𝐿))
29	5, 28	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐾 = 𝐿)
30	1, 29	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))
31	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐹)
33		opex 5469	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V)
35		opex 5469	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V)
37		animorrl 983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)))
38		opthneg 5486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))))
39	38	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩)
40	31, 32, 37, 39	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩)
41		animorrl 983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 ))
42		opthneg 5486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 )))
43	42	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 )) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)
44	31, 32, 41, 43	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)
45	40, 44	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩))
46		linds2eq.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
48		fvexd 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ V)
49		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
50		fprg 7175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐹 ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ V) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)})
51	31, 47, 32, 48, 49, 50	syl221anc 1383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)})
52		prfi 9363	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
54		linds2eq.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
55	54	fvexi 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 ∈ V)
57	51, 53, 56	fdmfifsupp 9415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 )
58		lveclmod 21105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
59	11, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
60		lmodcmn 20908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑊 ∈ CMnd)
63	59	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑊 ∈ LMod)
64	8	lmodring 20866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
65		ringgrp 20235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
66	59, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
67		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
68	9, 67	grpinvcl 19005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ 𝐹) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
69	66, 15, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
70	13, 69	prssd 4822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)} ⊆ 𝐹)
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)} ⊆ 𝐹)
72	51, 71	fssd 6753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶𝐹)
73		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 = 𝑋)
74	73	orcd 874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌))
75		elprg 4648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
76	75	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
77	31, 74, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
78	72, 77	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) ∈ 𝐹)
79	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
80	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
81	63, 78, 79, 80	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
82		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 = 𝑌)
83	82	olcd 875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌))
84		elprg 4648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌)))
85	84	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
86	47, 83, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
87	72, 86	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) ∈ 𝐹)
88	19, 46	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
90	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
91	63, 87, 89, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
92		linds2eq.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝑊)
93		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋))
94		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
95	93, 94	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋))
96		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌))
97		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → 𝑏 = 𝑌)
98	96, 97	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌))
99	6, 92, 95, 98	gsumpr 19973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)))
100	62, 31, 47, 49, 81, 91, 99	syl132anc 1390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)))
101		fvpr1g 7210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) = 𝐾)
102	31, 32, 49, 101	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) = 𝐾)
103	102	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) = (𝐾 · 𝑋))
104	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
105		fvpr2g 7211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) = ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))
106	47, 104, 49, 105	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) = ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))
107	106	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) = (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌))
108	103, 107	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)))
109	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
110	59, 13, 21, 109	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
111	2, 110	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
112		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
113		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
114	6, 92, 112, 113	grpsubval 19003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))))
115	110, 111, 114	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))))
116		lmodgrp 20865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
117	59, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
118	6, 10, 113	grpsubeq0 19044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌)))
119	117, 110, 111, 118	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌)))
120	2, 119	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
121	6, 8, 7, 112, 9, 67, 59, 88, 15	lmodvsneg 20904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌)) = (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌))
122	121	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))) = ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)))
123	115, 120, 122	3eqtr3rd 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
124	123	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
125	100, 108, 124	3eqtrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊))
126		breq1 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ))
127		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏))
128	127	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑎‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))
129	128	mpteq2dv 5244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏)))
130	129	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))))
131	130	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊) ↔ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)))
132	126, 131	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) ↔ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊))))
133		eqeq1 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
134	132, 133	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })) ↔ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))))
135	20, 46	prssd 4822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
136	135, 19	sstrd 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊))
137		lindsss 21844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊))
138	59, 17, 135, 137	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊))
139	6, 9, 8, 7, 10, 54	islinds5 33395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))))
140	139	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
141	59, 136, 138, 140	syl21anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
142	141	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
143	9	fvexi 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ V
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐹 ∈ V)
145	138	elexd 3504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
146	145	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
147	144, 146	elmapd 8880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌}) ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶𝐹))
148	72, 147	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌}))
149	134, 142, 148	rspcdva 3623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
150	57, 125, 149	mp2and 699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))
151		xpprsng 7160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
152	31, 47, 56, 151	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
153	150, 152	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
154		opthprneg 4865	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩} ↔ (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩)))
155	154	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)) ∧ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩}) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩))
156	34, 36, 45, 153, 155	syl1111anc 841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩))
157	156	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩)
158		opthg 5482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝐾 = 0 )))
159	158	simplbda 499	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩) → 𝐾 = 0 )
160	31, 32, 157, 159	syl21anc 838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 = 0 )
161		linds2eq.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
162	161	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 ≠ 0 )
163	160, 162	pm2.21ddne 3026	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))
164	30, 163	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  -_gcsg 18953  CMndccmn 19798  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  LVecclvec 21101  LIndSclinds 21825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803  df-lindf 21826  df-linds 21827

This theorem is referenced by:  fedgmul  33682