Theorem linds2eq 33374

Description: Deduce equality of elements in an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
linds2eq.1	⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
linds2eq.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
linds2eq.3	⊢ + = (+g‘𝑊)
linds2eq.4	⊢ 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
linds2eq.5	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
linds2eq.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
linds2eq.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
linds2eq.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
linds2eq.9	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
linds2eq.10	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐹)
linds2eq.11	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
linds2eq.12	⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
linds2eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))

Proof of Theorem linds2eq

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2		linds2eq.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
4	1	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐿 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌))
5	3, 4	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑋))
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		linds2eq.2	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		linds2eq.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11		linds2eq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑊 ∈ LVec)
13		linds2eq.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐹)
15		linds2eq.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐹)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐿 ∈ 𝐹)
17		linds2eq.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
18	6	linds1 21853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
20		linds2eq.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	19, 20	sseldd 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
23	10	0nellinds 33363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
24	11, 17, 23	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
25		nelne2 3046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
26	20, 24, 25	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
28	6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 22, 27	lvecvscan2 21137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑋) ↔ 𝐾 = 𝐿))
29	5, 28	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐾 = 𝐿)
30	1, 29	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))
31	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐹)
33		opex 5484	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V)
35		opex 5484	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V)
37		animorrl 981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)))
38		opthneg 5501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))))
39	38	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩)
40	31, 32, 37, 39	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩)
41		animorrl 981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 ))
42		opthneg 5501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩ ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 )))
43	42	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∨ 𝐾 ≠ 0 )) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)
44	31, 32, 41, 43	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)
45	40, 44	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩))
46		linds2eq.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
48		fvexd 6935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ V)
49		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
50		fprg 7189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐹 ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ V) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)})
51	31, 47, 32, 48, 49, 50	syl221anc 1381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)})
52		prfi 9391	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
54		linds2eq.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
55	54	fvexi 6934	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 ∈ V)
57	51, 53, 56	fdmfifsupp 9444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 )
58		lveclmod 21128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
59	11, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
60		lmodcmn 20930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑊 ∈ CMnd)
63	59	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑊 ∈ LMod)
64	8	lmodring 20888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
65		ringgrp 20265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
66	59, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
67		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
68	9, 67	grpinvcl 19027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ 𝐹) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
69	66, 15, 68	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
70	13, 69	prssd 4847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)} ⊆ 𝐹)
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝐾, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)} ⊆ 𝐹)
72	51, 71	fssd 6764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶𝐹)
73		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 = 𝑋)
74	73	orcd 872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌))
75		elprg 4670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
76	75	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
77	31, 74, 76	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
78	72, 77	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) ∈ 𝐹)
79	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
80	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
81	63, 78, 79, 80	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
82		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 = 𝑌)
83	82	olcd 873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌))
84		elprg 4670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌)))
85	84	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 = 𝑋 ∨ 𝑌 = 𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
86	47, 83, 85	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
87	72, 86	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) ∈ 𝐹)
88	19, 46	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
90	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
91	63, 87, 89, 90	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
92		linds2eq.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝑊)
93		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋))
94		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
95	93, 94	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋))
96		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌))
97		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → 𝑏 = 𝑌)
98	96, 97	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌))
99	6, 92, 95, 98	gsumpr 19997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)))
100	62, 31, 47, 49, 81, 91, 99	syl132anc 1388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)))
101		fvpr1g 7224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) = 𝐾)
102	31, 32, 49, 101	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) = 𝐾)
103	102	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) = (𝐾 · 𝑋))
104	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹)
105		fvpr2g 7225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) = ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))
106	47, 104, 49, 105	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) = ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿))
107	106	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌) = (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌))
108	103, 107	oveq12d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑋) · 𝑋) + (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑌) · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)))
109	6, 8, 7, 9	lmodvscl 20898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
110	59, 13, 21, 109	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
111	2, 110	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
112		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
113		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
114	6, 92, 112, 113	grpsubval 19025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))))
115	110, 111, 114	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))))
116		lmodgrp 20887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
117	59, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
118	6, 10, 113	grpsubeq0 19066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝐾 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐿 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌)))
119	117, 110, 111, 118	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝐿 · 𝑌)))
120	2, 119	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐿 · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
121	6, 8, 7, 112, 9, 67, 59, 88, 15	lmodvsneg 20926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌)) = (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌))
122	121	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘(𝐿 · 𝑌))) = ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)))
123	115, 120, 122	3eqtr3rd 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
124	123	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐾 · 𝑋) + (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿) · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
125	100, 108, 124	3eqtrd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊))
126		breq1 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ))
127		fveq1 6919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎‘𝑏) = ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏))
128	127	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑎‘𝑏) · 𝑏) = (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))
129	128	mpteq2dv 5268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏)))
130	129	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))))
131	130	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊) ↔ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)))
132	126, 131	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) ↔ ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊))))
133		eqeq1 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
134	132, 133	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} → (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })) ↔ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))))
135	20, 46	prssd 4847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
136	135, 19	sstrd 4019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊))
137		lindsss 21867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊))
138	59, 17, 135, 137	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊))
139	6, 9, 8, 7, 10, 54	islinds5 33360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))))
140	139	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (Base‘𝑊)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
141	59, 136, 138, 140	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
142	141	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ∀𝑎 ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌})((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ ((𝑎‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → 𝑎 = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
143	9	fvexi 6934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ V
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐹 ∈ V)
145	138	elexd 3512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
146	145	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
147	144, 146	elmapd 8898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌}) ↔ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶𝐹))
148	72, 147	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} ∈ (𝐹 ↑m {𝑋, 𝑌}))
149	134, 142, 148	rspcdva 3636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑏 ∈ {𝑋, 𝑌} ↦ (({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩}‘𝑏) · 𝑏))) = (0g‘𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 })))
150	57, 125, 149	mp2and 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = ({𝑋, 𝑌} × { 0 }))
151		xpprsng 7174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
152	31, 47, 56, 151	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({𝑋, 𝑌} × { 0 }) = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
153	150, 152	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩})
154		opthprneg 4889	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)) → ({⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩} ↔ (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩)))
155	154	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝑋, 𝐾⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ ≠ ⟨𝑌, 0 ⟩)) ∧ {⟨𝑋, 𝐾⟩, ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩} = {⟨𝑋, 0 ⟩, ⟨𝑌, 0 ⟩}) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩))
156	34, 36, 45, 153, 155	syl1111anc 839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ∧ ⟨𝑌, ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘𝐿)⟩ = ⟨𝑌, 0 ⟩))
157	156	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩)
158		opthg 5497	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) → (⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝐾 = 0 )))
159	158	simplbda 499	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝐹) ∧ ⟨𝑋, 𝐾⟩ = ⟨𝑋, 0 ⟩) → 𝐾 = 0 )
160	31, 32, 157, 159	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 = 0 )
161		linds2eq.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
162	161	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐾 ≠ 0 )
163	160, 162	pm2.21ddne 3032	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))
164	30, 163	pm2.61dane 3035	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐾 = 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648  {cpr 4650  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  -_gcsg 18975  CMndccmn 19822  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  LVecclvec 21124  LIndSclinds 21848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-nzr 20539  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lmhm 21044  df-lbs 21097  df-lvec 21125  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-uvc 21826  df-lindf 21849  df-linds 21850

This theorem is referenced by:  fedgmul  33644