MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsn 6553
Description: The Cartesian product of two singletons. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsn.1 𝐴 ∈ V
xpsn.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
xpsn ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Proof of Theorem xpsn
StepHypRef Expression
1 xpsn.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 xpsn.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 xpsng 6552 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
41, 2, 3mp2an 672 1 ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  {csn 4317  cop 4323   × cxp 5248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037
This theorem is referenced by:  dfmpt  6556  fpar  7436  mapsnconst  8061  ixpsnf1o  8106  cda1dif  9204  infcda1  9221  s1co  13788  xpsc0  16428  xpsc1  16429  mat1f1o  20502  txdis  21656  pt1hmeo  21830  utop2nei  22274  utop3cls  22275  imasdsf1olem  22398  ex-xp  27635  poimirlem3  33744  poimirlem4  33745  poimirlem9  33750  poimirlem28  33769  grposnOLD  34011  dib0  36972
  Copyright terms: Public domain W3C validator