Theorem xpsn 7113

Description: The Cartesian product of two singletons is the singleton consisting in the associated ordered pair. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpsn.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpsn	⊢ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Proof of Theorem xpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsn.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpsn.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpsng 7111	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  {csn 4589  ⟨cop 4595   × cxp 5636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518

This theorem is referenced by:  dfmpt  7116  fpar  8095  mapsnconst  8865  ixpsnf1o  8911  dju1dif  10126  infdju1  10143  s1co  14799  mat1f1o  22365  txdis  23519  pt1hmeo  23693  utop2nei  24138  utop3cls  24139  imasdsf1olem  24261  ex-xp  30365  elrgspnlem4  33196  poimirlem3  37617  poimirlem4  37618  poimirlem9  37623  poimirlem28  37642  grposnOLD  37876  dib0  41158  imaf1hom  49097  setc1ocofval  49483  diag1f1olem  49522