Theorem xpsn 7116

Description: The Cartesian product of two singletons is the singleton consisting in the associated ordered pair. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpsn.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpsn	⊢ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Proof of Theorem xpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsn.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpsn.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpsng 7114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  {csn 4592  ⟨cop 4598   × cxp 5639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521

This theorem is referenced by:  dfmpt  7119  fpar  8098  mapsnconst  8868  ixpsnf1o  8914  dju1dif  10133  infdju1  10150  s1co  14806  mat1f1o  22372  txdis  23526  pt1hmeo  23700  utop2nei  24145  utop3cls  24146  imasdsf1olem  24268  ex-xp  30372  elrgspnlem4  33203  poimirlem3  37624  poimirlem4  37625  poimirlem9  37630  poimirlem28  37649  grposnOLD  37883  dib0  41165  imaf1hom  49101  setc1ocofval  49487  diag1f1olem  49526