Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ehl2eudisval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudisval0 47984
Description: The Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudisval0.e 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0 0 = ({1, 2} × {0})
Assertion
Ref Expression
ehl2eudisval0 (𝐹𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval0
StepHypRef Expression
1 prex 5434 . . . 4 {1, 2} ∈ V
2 ehl2eudisval0.0 . . . . 5 0 = ({1, 2} × {0})
3 ehl2eudisval0.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
42, 3rrx0el 25370 . . . 4 ({1, 2} ∈ V → 0𝑋)
51, 4mp1i 13 . . 3 (𝐹𝑋0𝑋)
6 ehl2eudisval0.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hil‘2)
7 ehl2eudisval0.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐸)
86, 3, 7ehl2eudisval 25395 . . 3 ((𝐹𝑋0𝑋) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
95, 8mpdan 685 . 2 (𝐹𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
10 1ex 11242 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
11 2ex 12322 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
12 c0ex 11240 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
13 xpprsng 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩})
1410, 11, 12, 13mp3an 1457 . . . . . . . . . . 11 ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
152, 14eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 0 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
1615fveq1i 6897 . . . . . . . . 9 ( 0 ‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1)
17 1ne2 12453 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
1810, 12fvpr1 7202 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0
2016, 19eqtri 2753 . . . . . . . 8 ( 0 ‘1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → ( 0 ‘1) = 0)
2221oveq2d 7435 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝐹‘1) − 0))
23 eqid 2725 . . . . . . . . 9 {1, 2} = {1, 2}
2423, 3rrx2pxel 47970 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
2524recnd 11274 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
2625subid1d 11592 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘1) − 0) = (𝐹‘1))
2722, 26eqtrd 2765 . . . . 5 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝐹‘1))
2827oveq1d 7434 . . . 4 (𝐹𝑋 → (((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
2915fveq1i 6897 . . . . . . . 8 ( 0 ‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2)
3011, 12fvpr2 7204 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
3117, 30mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
3229, 31eqtrid 2777 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → ( 0 ‘2) = 0)
3332oveq2d 7435 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝐹‘2) − 0))
3423, 3rrx2pyel 47971 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
3534recnd 11274 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℂ)
3635subid1d 11592 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘2) − 0) = (𝐹‘2))
3733, 36eqtrd 2765 . . . . 5 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝐹‘2))
3837oveq1d 7434 . . . 4 (𝐹𝑋 → (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝐹‘2)↑2))
3928, 38oveq12d 7437 . . 3 (𝐹𝑋 → ((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
4039fveq2d 6900 . 2 (𝐹𝑋 → (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
419, 40eqtrd 2765 1 (𝐹𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  {csn 4630  {cpr 4632  cop 4636   × cxp 5676  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  cmin 11476  2c2 12300  cexp 14062  csqrt 15216  distcds 17245  𝔼hilcehl 25356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-field 20639  df-staf 20737  df-srng 20738  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-cnfld 21297  df-refld 21554  df-dsmm 21683  df-frlm 21698  df-nm 24535  df-tng 24537  df-tcph 25141  df-rrx 25357  df-ehl 25358
This theorem is referenced by:  ehl2eudis0lt  47985  itscnhlinecirc02plem3  48043
  Copyright terms: Public domain W3C validator