Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ehl2eudisval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudisval0 46897
Description: The Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudisval0.e 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
ehl2eudisval0.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
ehl2eudisval0.0 0 = ({1, 2} Γ— {0})
Assertion
Ref Expression
ehl2eudisval0 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval0
StepHypRef Expression
1 prex 5390 . . . 4 {1, 2} ∈ V
2 ehl2eudisval0.0 . . . . 5 0 = ({1, 2} Γ— {0})
3 ehl2eudisval0.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
42, 3rrx0el 24778 . . . 4 ({1, 2} ∈ V β†’ 0 ∈ 𝑋)
51, 4mp1i 13 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 0 ∈ 𝑋)
6 ehl2eudisval0.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
7 ehl2eudisval0.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
86, 3, 7ehl2eudisval 24803 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜((((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2))))
95, 8mpdan 686 . 2 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜((((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2))))
10 1ex 11156 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
11 2ex 12235 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
12 c0ex 11154 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
13 xpprsng 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ({1, 2} Γ— {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩})
1410, 11, 12, 13mp3an 1462 . . . . . . . . . . 11 ({1, 2} Γ— {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
152, 14eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 0 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
1615fveq1i 6844 . . . . . . . . 9 ( 0 β€˜1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1)
17 1ne2 12366 . . . . . . . . . 10 1 β‰  2
1810, 12fvpr1 7140 . . . . . . . . . 10 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1) = 0)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1) = 0
2016, 19eqtri 2761 . . . . . . . 8 ( 0 β€˜1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ( 0 β€˜1) = 0)
2221oveq2d 7374 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1)) = ((πΉβ€˜1) βˆ’ 0))
23 eqid 2733 . . . . . . . . 9 {1, 2} = {1, 2}
2423, 3rrx2pxel 46883 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
2524recnd 11188 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜1) ∈ β„‚)
2625subid1d 11506 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜1) βˆ’ 0) = (πΉβ€˜1))
2722, 26eqtrd 2773 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1)) = (πΉβ€˜1))
2827oveq1d 7373 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) = ((πΉβ€˜1)↑2))
2915fveq1i 6844 . . . . . . . 8 ( 0 β€˜2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2)
3011, 12fvpr2 7142 . . . . . . . . 9 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2) = 0)
3117, 30mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2) = 0)
3229, 31eqtrid 2785 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ( 0 β€˜2) = 0)
3332oveq2d 7374 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2)) = ((πΉβ€˜2) βˆ’ 0))
3423, 3rrx2pyel 46884 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ)
3534recnd 11188 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜2) ∈ β„‚)
3635subid1d 11506 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜2) βˆ’ 0) = (πΉβ€˜2))
3733, 36eqtrd 2773 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2)) = (πΉβ€˜2))
3837oveq1d 7373 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2) = ((πΉβ€˜2)↑2))
3928, 38oveq12d 7376 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
4039fveq2d 6847 . 2 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (βˆšβ€˜((((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2))) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
419, 40eqtrd 2773 1 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   βˆ’ cmin 11390  2c2 12213  β†‘cexp 13973  βˆšcsqrt 15124  distcds 17147  π”Όhilcehl 24764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-rnghom 20153  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-staf 20318  df-srng 20319  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-cnfld 20813  df-refld 21025  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-nm 23954  df-tng 23956  df-tcph 24549  df-rrx 24765  df-ehl 24766
This theorem is referenced by:  ehl2eudis0lt  46898  itscnhlinecirc02plem3  46956
  Copyright terms: Public domain W3C validator