Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ehl2eudisval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudisval0 48575
Description: The Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudisval0.e 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0 0 = ({1, 2} × {0})
Assertion
Ref Expression
ehl2eudisval0 (𝐹𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval0
StepHypRef Expression
1 prex 5443 . . . 4 {1, 2} ∈ V
2 ehl2eudisval0.0 . . . . 5 0 = ({1, 2} × {0})
3 ehl2eudisval0.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
42, 3rrx0el 25446 . . . 4 ({1, 2} ∈ V → 0𝑋)
51, 4mp1i 13 . . 3 (𝐹𝑋0𝑋)
6 ehl2eudisval0.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hil‘2)
7 ehl2eudisval0.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐸)
86, 3, 7ehl2eudisval 25471 . . 3 ((𝐹𝑋0𝑋) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
95, 8mpdan 687 . 2 (𝐹𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
10 1ex 11255 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
11 2ex 12341 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
12 c0ex 11253 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
13 xpprsng 7160 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩})
1410, 11, 12, 13mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
152, 14eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 0 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
1615fveq1i 6908 . . . . . . . . 9 ( 0 ‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1)
17 1ne2 12472 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
1810, 12fvpr1 7212 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0
2016, 19eqtri 2763 . . . . . . . 8 ( 0 ‘1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → ( 0 ‘1) = 0)
2221oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝐹‘1) − 0))
23 eqid 2735 . . . . . . . . 9 {1, 2} = {1, 2}
2423, 3rrx2pxel 48561 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
2524recnd 11287 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
2625subid1d 11607 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘1) − 0) = (𝐹‘1))
2722, 26eqtrd 2775 . . . . 5 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝐹‘1))
2827oveq1d 7446 . . . 4 (𝐹𝑋 → (((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
2915fveq1i 6908 . . . . . . . 8 ( 0 ‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2)
3011, 12fvpr2 7213 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
3117, 30mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
3229, 31eqtrid 2787 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → ( 0 ‘2) = 0)
3332oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝐹‘2) − 0))
3423, 3rrx2pyel 48562 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
3534recnd 11287 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℂ)
3635subid1d 11607 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘2) − 0) = (𝐹‘2))
3733, 36eqtrd 2775 . . . . 5 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝐹‘2))
3837oveq1d 7446 . . . 4 (𝐹𝑋 → (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝐹‘2)↑2))
3928, 38oveq12d 7449 . . 3 (𝐹𝑋 → ((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
4039fveq2d 6911 . 2 (𝐹𝑋 → (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
419, 40eqtrd 2775 1 (𝐹𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  2c2 12319  cexp 14099  csqrt 15269  distcds 17307  𝔼hilcehl 25432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-nm 24611  df-tng 24613  df-tcph 25217  df-rrx 25433  df-ehl 25434
This theorem is referenced by:  ehl2eudis0lt  48576  itscnhlinecirc02plem3  48634
  Copyright terms: Public domain W3C validator