Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ehl2eudisval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudisval0 47721
Description: The Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudisval0.e 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
ehl2eudisval0.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
ehl2eudisval0.0 0 = ({1, 2} Γ— {0})
Assertion
Ref Expression
ehl2eudisval0 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval0
StepHypRef Expression
1 prex 5428 . . . 4 {1, 2} ∈ V
2 ehl2eudisval0.0 . . . . 5 0 = ({1, 2} Γ— {0})
3 ehl2eudisval0.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
42, 3rrx0el 25313 . . . 4 ({1, 2} ∈ V β†’ 0 ∈ 𝑋)
51, 4mp1i 13 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 0 ∈ 𝑋)
6 ehl2eudisval0.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
7 ehl2eudisval0.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
86, 3, 7ehl2eudisval 25338 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜((((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2))))
95, 8mpdan 686 . 2 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜((((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2))))
10 1ex 11232 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
11 2ex 12311 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
12 c0ex 11230 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
13 xpprsng 7143 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ({1, 2} Γ— {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩})
1410, 11, 12, 13mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 ({1, 2} Γ— {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
152, 14eqtri 2755 . . . . . . . . . 10 0 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
1615fveq1i 6892 . . . . . . . . 9 ( 0 β€˜1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1)
17 1ne2 12442 . . . . . . . . . 10 1 β‰  2
1810, 12fvpr1 7196 . . . . . . . . . 10 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1) = 0)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1) = 0
2016, 19eqtri 2755 . . . . . . . 8 ( 0 β€˜1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ( 0 β€˜1) = 0)
2221oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1)) = ((πΉβ€˜1) βˆ’ 0))
23 eqid 2727 . . . . . . . . 9 {1, 2} = {1, 2}
2423, 3rrx2pxel 47707 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
2524recnd 11264 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜1) ∈ β„‚)
2625subid1d 11582 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜1) βˆ’ 0) = (πΉβ€˜1))
2722, 26eqtrd 2767 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1)) = (πΉβ€˜1))
2827oveq1d 7429 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) = ((πΉβ€˜1)↑2))
2915fveq1i 6892 . . . . . . . 8 ( 0 β€˜2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2)
3011, 12fvpr2 7198 . . . . . . . . 9 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2) = 0)
3117, 30mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2) = 0)
3229, 31eqtrid 2779 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ( 0 β€˜2) = 0)
3332oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2)) = ((πΉβ€˜2) βˆ’ 0))
3423, 3rrx2pyel 47708 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ)
3534recnd 11264 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜2) ∈ β„‚)
3635subid1d 11582 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜2) βˆ’ 0) = (πΉβ€˜2))
3733, 36eqtrd 2767 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2)) = (πΉβ€˜2))
3837oveq1d 7429 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2) = ((πΉβ€˜2)↑2))
3928, 38oveq12d 7432 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2)) = (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
4039fveq2d 6895 . 2 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (βˆšβ€˜((((πΉβ€˜1) βˆ’ ( 0 β€˜1))↑2) + (((πΉβ€˜2) βˆ’ ( 0 β€˜2))↑2))) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
419, 40eqtrd 2767 1 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  Vcvv 3469  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   βˆ’ cmin 11466  2c2 12289  β†‘cexp 14050  βˆšcsqrt 15204  distcds 17233  π”Όhilcehl 25299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-field 20616  df-staf 20714  df-srng 20715  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-cnfld 21267  df-refld 21524  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-nm 24478  df-tng 24480  df-tcph 25084  df-rrx 25300  df-ehl 25301
This theorem is referenced by:  ehl2eudis0lt  47722  itscnhlinecirc02plem3  47780
  Copyright terms: Public domain W3C validator