Theorem ehl2eudisval0 49533

Description: The Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudisval0.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0	⊢ 0 = ({1, 2} × {0})

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudisval0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5409	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ V
2		ehl2eudisval0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
3		ehl2eudisval0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
4	2, 3	rrx0el 25566	. . . 4 ⊢ ({1, 2} ∈ V → 0 ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ∈ 𝑋)
6		ehl2eudisval0.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
7		ehl2eudisval0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
8	6, 3, 7	ehl2eudisval 25591	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
9	5, 8	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
10		1ex 11207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
11		2ex 12322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ V
12		c0ex 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
13		xpprsng 7136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩})
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
15	2, 14	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
16	15	fveq1i 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ ( 0 ‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1)
17		1ne2 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
18	10, 12	fvpr1 7190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0
20	16, 19	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ‘1) = 0
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ( 0 ‘1) = 0)
22	21	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝐹‘1) − 0))
23		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ {1, 2} = {1, 2}
24	23, 3	rrx2pxel 49519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
26	25	subid1d 11562	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘1) − 0) = (𝐹‘1))
27	22, 26	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝐹‘1))
28	27	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
29	15	fveq1i 6882	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2)
30	11, 12	fvpr2 7191	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
31	17, 30	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
32	29, 31	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ( 0 ‘2) = 0)
33	32	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝐹‘2) − 0))
34	23, 3	rrx2pyel 49520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℂ)
36	35	subid1d 11562	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘2) − 0) = (𝐹‘2))
37	33, 36	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝐹‘2))
38	37	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝐹‘2)↑2))
39	28, 38	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
40	39	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
41	9, 40	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   − cmin 11445  2c2 12299  ↑cexp 14102  √csqrt 15289  distcds 17323  𝔼_hilcehl 25552

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183  ax-mulf 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-sum 15743  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-prds 17504  df-pws 17506  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-ghm 19288  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-dvr 20488  df-rhm 20559  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-drng 20838  df-field 20839  df-staf 20951  df-srng 20952  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-cnfld 21532  df-refld 21764  df-dsmm 21891  df-frlm 21906  df-nm 24748  df-tng 24750  df-tcph 25337  df-rrx 25553  df-ehl 25554

This theorem is used by:  ehl2eudis0lt  49534  itscnhlinecirc02plem3  49592