Theorem ehl2eudisval0 49089

Description: The Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudisval0.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0	⊢ 0 = ({1, 2} × {0})

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudisval0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5384	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ V
2		ehl2eudisval0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
3		ehl2eudisval0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
4	2, 3	rrx0el 25369	. . . 4 ⊢ ({1, 2} ∈ V → 0 ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ∈ 𝑋)
6		ehl2eudisval0.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
7		ehl2eudisval0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
8	6, 3, 7	ehl2eudisval 25394	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
9	5, 8	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
10		1ex 11140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
11		2ex 12234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ V
12		c0ex 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
13		xpprsng 7095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩})
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
15	2, 14	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
16	15	fveq1i 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ ( 0 ‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1)
17		1ne2 12360	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
18	10, 12	fvpr1 7148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0
20	16, 19	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ‘1) = 0
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ( 0 ‘1) = 0)
22	21	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝐹‘1) − 0))
23		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ {1, 2} = {1, 2}
24	23, 3	rrx2pxel 49075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11172	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
26	25	subid1d 11493	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘1) − 0) = (𝐹‘1))
27	22, 26	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝐹‘1))
28	27	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
29	15	fveq1i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2)
30	11, 12	fvpr2 7149	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
31	17, 30	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
32	29, 31	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ( 0 ‘2) = 0)
33	32	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝐹‘2) − 0))
34	23, 3	rrx2pyel 49076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11172	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℂ)
36	35	subid1d 11493	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘2) − 0) = (𝐹‘2))
37	33, 36	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝐹‘2))
38	37	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝐹‘2)↑2))
39	28, 38	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
40	39	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
41	9, 40	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  {csn 4582  {cpr 4584  ⟨cop 4588   × cxp 5630  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  2c2 12212  ↑cexp 13996  √csqrt 15168  distcds 17198  𝔼_hilcehl 25355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-subg 19068  df-ghm 19157  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-cring 20186  df-oppr 20288  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-drng 20679  df-field 20680  df-staf 20787  df-srng 20788  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-cnfld 21325  df-refld 21575  df-dsmm 21702  df-frlm 21717  df-nm 24541  df-tng 24543  df-tcph 25140  df-rrx 25356  df-ehl 25357

This theorem is referenced by:  ehl2eudis0lt  49090  itscnhlinecirc02plem3  49148