Theorem ehl2eudisval0 48913

Description: The Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudisval0.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0	⊢ 0 = ({1, 2} × {0})

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudisval0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5380	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ V
2		ehl2eudisval0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
3		ehl2eudisval0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
4	2, 3	rrx0el 25352	. . . 4 ⊢ ({1, 2} ∈ V → 0 ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ∈ 𝑋)
6		ehl2eudisval0.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
7		ehl2eudisval0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
8	6, 3, 7	ehl2eudisval 25377	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
9	5, 8	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
10		1ex 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
11		2ex 12220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ V
12		c0ex 11124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
13		xpprsng 7083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩})
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
15	2, 14	eqtri 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
16	15	fveq1i 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ ( 0 ‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1)
17		1ne2 12346	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
18	10, 12	fvpr1 7136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0
20	16, 19	eqtri 2757	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ‘1) = 0
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ( 0 ‘1) = 0)
22	21	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝐹‘1) − 0))
23		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ {1, 2} = {1, 2}
24	23, 3	rrx2pxel 48899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
26	25	subid1d 11479	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘1) − 0) = (𝐹‘1))
27	22, 26	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝐹‘1))
28	27	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
29	15	fveq1i 6833	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2)
30	11, 12	fvpr2 7137	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
31	17, 30	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
32	29, 31	eqtrid 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ( 0 ‘2) = 0)
33	32	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝐹‘2) − 0))
34	23, 3	rrx2pyel 48900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℂ)
36	35	subid1d 11479	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘2) − 0) = (𝐹‘2))
37	33, 36	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝐹‘2))
38	37	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝐹‘2)↑2))
39	28, 38	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
40	39	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
41	9, 40	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438  {csn 4578  {cpr 4580  ⟨cop 4584   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   − cmin 11362  2c2 12198  ↑cexp 13982  √csqrt 15154  distcds 17184  𝔼_hilcehl 25338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-rhm 20406  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-field 20663  df-staf 20770  df-srng 20771  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-cnfld 21308  df-refld 21558  df-dsmm 21685  df-frlm 21700  df-nm 24524  df-tng 24526  df-tcph 25123  df-rrx 25339  df-ehl 25340

This theorem is referenced by:  ehl2eudis0lt  48914  itscnhlinecirc02plem3  48972