Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ehl2eudisval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudisval0 45180
 Description: The Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudisval0.e 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0 0 = ({1, 2} × {0})
Assertion
Ref Expression
ehl2eudisval0 (𝐹𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval0
StepHypRef Expression
1 prex 5299 . . . 4 {1, 2} ∈ V
2 ehl2eudisval0.0 . . . . 5 0 = ({1, 2} × {0})
3 ehl2eudisval0.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
42, 3rrx0el 24012 . . . 4 ({1, 2} ∈ V → 0𝑋)
51, 4mp1i 13 . . 3 (𝐹𝑋0𝑋)
6 ehl2eudisval0.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hil‘2)
7 ehl2eudisval0.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐸)
86, 3, 7ehl2eudisval 24037 . . 3 ((𝐹𝑋0𝑋) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
95, 8mpdan 686 . 2 (𝐹𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))))
10 1ex 10629 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
11 2ex 11705 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
12 c0ex 10627 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
13 xpprsng 6880 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩})
1410, 11, 12, 13mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 ({1, 2} × {0}) = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
152, 14eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 0 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}
1615fveq1i 6647 . . . . . . . . 9 ( 0 ‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1)
17 1ne2 11836 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
1810, 12fvpr1 6930 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0
2016, 19eqtri 2821 . . . . . . . 8 ( 0 ‘1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → ( 0 ‘1) = 0)
2221oveq2d 7152 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = ((𝐹‘1) − 0))
23 eqid 2798 . . . . . . . . 9 {1, 2} = {1, 2}
2423, 3rrx2pxel 45166 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
2524recnd 10661 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
2625subid1d 10978 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘1) − 0) = (𝐹‘1))
2722, 26eqtrd 2833 . . . . 5 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘1) − ( 0 ‘1)) = (𝐹‘1))
2827oveq1d 7151 . . . 4 (𝐹𝑋 → (((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
2915fveq1i 6647 . . . . . . . 8 ( 0 ‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2)
3011, 12fvpr2 6931 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
3117, 30mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
3229, 31syl5eq 2845 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → ( 0 ‘2) = 0)
3332oveq2d 7152 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = ((𝐹‘2) − 0))
3423, 3rrx2pyel 45167 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
3534recnd 10661 . . . . . . 7 (𝐹𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℂ)
3635subid1d 10978 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘2) − 0) = (𝐹‘2))
3733, 36eqtrd 2833 . . . . 5 (𝐹𝑋 → ((𝐹‘2) − ( 0 ‘2)) = (𝐹‘2))
3837oveq1d 7151 . . . 4 (𝐹𝑋 → (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2) = ((𝐹‘2)↑2))
3928, 38oveq12d 7154 . . 3 (𝐹𝑋 → ((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
4039fveq2d 6650 . 2 (𝐹𝑋 → (√‘((((𝐹‘1) − ( 0 ‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − ( 0 ‘2))↑2))) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
419, 40eqtrd 2833 1 (𝐹𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cop 4531   × cxp 5518  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↑m cmap 8392  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   − cmin 10862  2c2 11683  ↑cexp 13428  √csqrt 14587  distcds 16569  𝔼hilcehl 23998 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19501  df-field 19502  df-subrg 19530  df-staf 19613  df-srng 19614  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-cnfld 20096  df-refld 20299  df-dsmm 20426  df-frlm 20441  df-nm 23199  df-tng 23201  df-tcph 23784  df-rrx 23999  df-ehl 24000 This theorem is referenced by:  ehl2eudis0lt  45181  itscnhlinecirc02plem3  45239
 Copyright terms: Public domain W3C validator