Theorem degenmgmopdm 19127

Description: The domain of the operation of a degenerate magma. (Contributed by AV, 18-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
degenmgm.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
degenmgmopdm	⊢ dom (+g‘𝑀) = ({1o} × {∅, 1o, 2o})

Proof of Theorem degenmgmopdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8479	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
2	1, 1, 1	dmtpop 6218	. 2 ⊢ dom {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩} = {⟨1o, 1o⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨1o, ∅⟩}
3		tpex 7760	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩} ∈ V
4		degenmgm.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩}⟩}
5	4	grpplusg 17454	. . . . 5 ⊢ ({⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩} ∈ V → {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩} = (+g‘𝑀))
6	3, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩} = (+g‘𝑀)
7	6	eqcomi 2770	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩}
8	7	dmeqi 5886	. 2 ⊢ dom (+g‘𝑀) = dom {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩}
9		0ex 5261	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
10		2oex 8481	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
11		xpsntpg 7142	. . . 4 ⊢ (((1o ∈ V ∧ ∅ ∈ V) ∧ (1o ∈ V ∧ 2o ∈ V)) → ({1o} × {∅, 1o, 2o}) = {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 1o⟩, ⟨1o, 2o⟩})
12	1, 9, 1, 10, 11	mp4an 706	. . 3 ⊢ ({1o} × {∅, 1o, 2o}) = {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 1o⟩, ⟨1o, 2o⟩}
13		tprot 4710	. . 3 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 1o⟩, ⟨1o, 2o⟩} = {⟨1o, 1o⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨1o, ∅⟩}
14	12, 13	eqtri 2784	. 2 ⊢ ({1o} × {∅, 1o, 2o}) = {⟨1o, 1o⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨1o, ∅⟩}
15	2, 8, 14	3eqtr4i 2794	1 ⊢ dom (+g‘𝑀) = ({1o} × {∅, 1o, 2o})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4590   × cxp 5649  dom cdm 5651  ‘cfv 6537  1_oc1o 8462  2_oc2o 8463  ndxcnx 17364  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434

This theorem is used by:  degenmgmnfn  19129