Theorem eqrel 4846

Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Revised by Scott Fenton, 14-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqrel	⊢ (A = B ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem eqrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 4845	. . 3 ⊢ (A ⊆ B ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B))
2		ssrel 4845	. . 3 ⊢ (B ⊆ A ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ B → ⟨x, y⟩ ∈ A))
3	1, 2	anbi12i 678	. 2 ⊢ ((A ⊆ B ∧ B ⊆ A) ↔ (∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B) ∧ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ B → ⟨x, y⟩ ∈ A)))
4		eqss 3288	. 2 ⊢ (A = B ↔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A))
5		2albiim 1612	. 2 ⊢ (∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B) ↔ (∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A → ⟨x, y⟩ ∈ B) ∧ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ B → ⟨x, y⟩ ∈ A)))
6	3, 4, 5	3bitr4i 268	1 ⊢ (A = B ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ⊆ wss 3258  ⟨cop 4562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569

This theorem is referenced by:  eqrelriv  4851  eqrelrdv  4853  dmeq0  4923  eqfnfv  5393