Theorem eqrelriv 4851

Description: Inference from extensionality principle for relations. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Scott Fenton, 16-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqrelriv.1	⊢ (⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B)

Assertion

Ref	Expression
eqrelriv	⊢ A = B

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem eqrelriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrel 4846	. 2 ⊢ (A = B ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B))
2		eqrelriv.1	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B)
3	2	ax-gen 1546	. 2 ⊢ ∀y(⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B)
4	1, 3	mpgbir 1550	1 ⊢ A = B

Syntax hints:   ↔ wb 176  ∀wal 1540   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569

This theorem is referenced by:  eqbrriv  4852  opabid2  4862  inopab  4863  dfres2  5003  cnvopab  5031  cnv0  5032  cnvdif  5035  cnvsn  5074  dfco2  5081  coiun  5091  co02  5093  dfcnv2  5101  cnviin  5119  txpcofun  5804  xpassen  6058  csucex  6260