Theorem 2strstr1g 12051

Description: A constructed two-slot structure. Version of 2strstrg 12048 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2str1.b	|- ( Base ` ndx ) < N
2str1.n	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
2strstr1g	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )

Proof of Theorem 2strstr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.g	. . . 4 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2		eqid 2137	. . . . . . . 8 |- Slot N = Slot N
3		2str1.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
4	2, 3	ndxarg 11971	. . . . . . 7 |- (Slot N ` ndx ) = N
5	4	eqcomi 2141	. . . . . 6 |- N = (Slot N ` ndx )
6	5	opeq1i 3703	. . . . 5 |- <. N , .+ >. = <. (Slot N ` ndx ) , .+ >.
7	6	preq2i 3599	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (Slot N ` ndx ) , .+ >. }
8	1, 7	eqtri 2158	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (Slot N ` ndx ) , .+ >. }
9		basendx 12002	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) = 1
10		2str1.b	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) < N
11	9, 10	eqbrtrri 3946	. . 3 |- 1 < N
12	8, 2, 11, 3	2strstrg 12048	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. 1 , N >. )
13	9	opeq1i 3703	. 2 |- <. ( Base ` ndx ) , N >. = <. 1 , N >.
14	12, 13	breqtrrdi 3965	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cpr 3523   <.cop 3525   class class class wbr 3924   ` cfv 5118   1c1 7614   < clt 7793   NNcn 8713   Struct cstr 11944   ndxcnx 11945  Slot cslot 11947   Basecbs 11948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-struct 11950  df-ndx 11951  df-slot 11952  df-base 11954

This theorem is referenced by:  2strbas1g  12052  2strop1g  12053