Theorem 2strstr1g 12954

Description: A constructed two-slot structure. Version of 2strstrg 12951 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2str1.b	|- ( Base ` ndx ) < N
2str1.n	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
2strstr1g	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )

Proof of Theorem 2strstr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.g	. . . 4 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2		eqid 2205	. . . . . . . 8 |- Slot N = Slot N
3		2str1.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
4	2, 3	ndxarg 12855	. . . . . . 7 |- (Slot N ` ndx ) = N
5	4	eqcomi 2209	. . . . . 6 |- N = (Slot N ` ndx )
6	5	opeq1i 3822	. . . . 5 |- <. N , .+ >. = <. (Slot N ` ndx ) , .+ >.
7	6	preq2i 3714	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (Slot N ` ndx ) , .+ >. }
8	1, 7	eqtri 2226	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (Slot N ` ndx ) , .+ >. }
9		basendx 12887	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) = 1
10		2str1.b	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) < N
11	9, 10	eqbrtrri 4067	. . 3 |- 1 < N
12	8, 2, 11, 3	2strstrg 12951	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. 1 , N >. )
13	9	opeq1i 3822	. 2 |- <. ( Base ` ndx ) , N >. = <. 1 , N >.
14	12, 13	breqtrrdi 4086	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cpr 3634   <.cop 3636   class class class wbr 4044   ` cfv 5271   1c1 7926   < clt 8107   NNcn 9036   Struct cstr 12828   ndxcnx 12829  Slot cslot 12831   Basecbs 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-struct 12834  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838

This theorem is referenced by:  2strbas1g  12955  2strop1g  12956