Theorem 2strstr1g 12434

Description: A constructed two-slot structure. Version of 2strstrg 12431 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2str1.b	|- ( Base ` ndx ) < N
2str1.n	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
2strstr1g	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )

Proof of Theorem 2strstr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.g	. . . 4 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2		eqid 2164	. . . . . . . 8 |- Slot N = Slot N
3		2str1.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
4	2, 3	ndxarg 12354	. . . . . . 7 |- (Slot N ` ndx ) = N
5	4	eqcomi 2168	. . . . . 6 |- N = (Slot N ` ndx )
6	5	opeq1i 3755	. . . . 5 |- <. N , .+ >. = <. (Slot N ` ndx ) , .+ >.
7	6	preq2i 3651	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (Slot N ` ndx ) , .+ >. }
8	1, 7	eqtri 2185	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (Slot N ` ndx ) , .+ >. }
9		basendx 12385	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) = 1
10		2str1.b	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) < N
11	9, 10	eqbrtrri 3999	. . 3 |- 1 < N
12	8, 2, 11, 3	2strstrg 12431	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. 1 , N >. )
13	9	opeq1i 3755	. 2 |- <. ( Base ` ndx ) , N >. = <. 1 , N >.
14	12, 13	breqtrrdi 4018	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   {cpr 3571   <.cop 3573   class class class wbr 3976   ` cfv 5182   1c1 7745   < clt 7924   NNcn 8848   Struct cstr 12327   ndxcnx 12328  Slot cslot 12330   Basecbs 12331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-fz 9936  df-struct 12333  df-ndx 12334  df-slot 12335  df-base 12337

This theorem is referenced by:  2strbas1g  12435  2strop1g  12436