Theorem 2strstr1g 12574

Description: A constructed two-slot structure. Version of 2strstrg 12571 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2str1.b	|- ( Base ` ndx ) < N
2str1.n	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
2strstr1g	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )

Proof of Theorem 2strstr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.g	. . . 4 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. }
2		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- Slot N = Slot N
3		2str1.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
4	2, 3	ndxarg 12479	. . . . . . 7 |- (Slot N ` ndx ) = N
5	4	eqcomi 2181	. . . . . 6 |- N = (Slot N ` ndx )
6	5	opeq1i 3781	. . . . 5 |- <. N , .+ >. = <. (Slot N ` ndx ) , .+ >.
7	6	preq2i 3673	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. N , .+ >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (Slot N ` ndx ) , .+ >. }
8	1, 7	eqtri 2198	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (Slot N ` ndx ) , .+ >. }
9		basendx 12511	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) = 1
10		2str1.b	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) < N
11	9, 10	eqbrtrri 4026	. . 3 |- 1 < N
12	8, 2, 11, 3	2strstrg 12571	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. 1 , N >. )
13	9	opeq1i 3781	. 2 |- <. ( Base ` ndx ) , N >. = <. 1 , N >.
14	12, 13	breqtrrdi 4045	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , N >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cpr 3593   <.cop 3595   class class class wbr 4003   ` cfv 5216   1c1 7811   < clt 7990   NNcn 8917   Struct cstr 12452   ndxcnx 12453  Slot cslot 12455   Basecbs 12456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007  df-struct 12458  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462

This theorem is referenced by:  2strbas1g  12575  2strop1g  12576