ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2strstr1g Unicode version

Theorem 2strstr1g 12574
Description: A constructed two-slot structure. Version of 2strstrg 12571 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str1.g  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. N ,  .+  >. }
2str1.b  |-  ( Base `  ndx )  <  N
2str1.n  |-  N  e.  NN
Assertion
Ref Expression
2strstr1g  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  G Struct  <. ( Base `  ndx ) ,  N >. )

Proof of Theorem 2strstr1g
StepHypRef Expression
1 2str1.g . . . 4  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. N ,  .+  >. }
2 eqid 2177 . . . . . . . 8  |- Slot  N  = Slot 
N
3 2str1.n . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
42, 3ndxarg 12479 . . . . . . 7  |-  (Slot  N `  ndx )  =  N
54eqcomi 2181 . . . . . 6  |-  N  =  (Slot  N `  ndx )
65opeq1i 3781 . . . . 5  |-  <. N ,  .+  >.  =  <. (Slot  N `  ndx ) , 
.+  >.
76preq2i 3673 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. N ,  .+  >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. (Slot  N `  ndx ) ,  .+  >. }
81, 7eqtri 2198 . . 3  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. (Slot  N `  ndx ) ,  .+  >. }
9 basendx 12511 . . . 4  |-  ( Base `  ndx )  =  1
10 2str1.b . . . 4  |-  ( Base `  ndx )  <  N
119, 10eqbrtrri 4026 . . 3  |-  1  <  N
128, 2, 11, 32strstrg 12571 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  G Struct  <. 1 ,  N >. )
139opeq1i 3781 . 2  |-  <. ( Base `  ndx ) ,  N >.  =  <. 1 ,  N >.
1412, 13breqtrrdi 4045 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  G Struct  <. ( Base `  ndx ) ,  N >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cpr 3593   <.cop 3595   class class class wbr 4003   ` cfv 5216   1c1 7811    < clt 7990   NNcn 8917   Struct cstr 12452   ndxcnx 12453  Slot cslot 12455   Basecbs 12456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007  df-struct 12458  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462
This theorem is referenced by:  2strbas1g  12575  2strop1g  12576
  Copyright terms: Public domain W3C validator