ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2sumeq2dv Unicode version

Theorem 2sumeq2dv 11371
Description: Equality deduction for double sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
2sumeq2dv.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
2sumeq2dv  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  D
)
Distinct variable groups:    j, k, A    B, k    ph, j, k
Allowed substitution hints:    B( j)    C( j, k)    D( j, k)

Proof of Theorem 2sumeq2dv
StepHypRef Expression
1 2sumeq2dv.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  =  D )
213expa 1203 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  =  D )
32sumeq2dv 11368 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  B  D
)
43sumeq2dv 11368 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   sum_csu 11353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-recs 6302  df-frec 6388  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-fz 10004  df-seqfrec 10440  df-sumdc 11354
This theorem is referenced by:  hash2iun1dif1  11480
  Copyright terms: Public domain W3C validator