ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2sumeq2dv Unicode version

Theorem 2sumeq2dv 11501
Description: Equality deduction for double sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
2sumeq2dv.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
2sumeq2dv  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  D
)
Distinct variable groups:    j, k, A    B, k    ph, j, k
Allowed substitution hints:    B( j)    C( j, k)    D( j, k)

Proof of Theorem 2sumeq2dv
StepHypRef Expression
1 2sumeq2dv.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  =  D )
213expa 1205 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  =  D )
32sumeq2dv 11498 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  B  D
)
43sumeq2dv 11498 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2164   sum_csu 11483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-recs 6349  df-frec 6435  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-seqfrec 10509  df-sumdc 11484
This theorem is referenced by:  hash2iun1dif1  11610
  Copyright terms: Public domain W3C validator