Theorem sumeq2dv 11949

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2605	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 11948	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   sum_csu 11934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-recs 6474  df-frec 6560  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-fz 10247  df-seqfrec 10714  df-sumdc 11935

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  11951  2sumeq2dv  11952  sumeq12dv  11953  sumeq12rdv  11954  sumfct  11955  fsumf1o  11972  fisumss  11974  fsumsplit  11989  isummulc1  12009  isumdivapc  12010  isumge0  12012  sumsplitdc  12014  fsum2dlemstep  12016  fsumshftm  12027  fisum0diag2  12029  fsummulc1  12031  fsumdivapc  12032  fsumneg  12033  fsumsub  12034  fsum2mul  12035  telfsumo2  12049  fsumparts  12052  hashiun  12060  hash2iun  12061  hash2iun1dif1  12062  binomlem  12065  binom1p  12067  isum1p  12074  arisum  12080  trireciplem  12082  geosergap  12088  geo2sum  12096  mertenslemi1  12117  mertenslem2  12118  mertensabs  12119  efval2  12247  efaddlem  12256  fsumdvds  12424  phisum  12834  pcfac  12944  elply2  15486  elplyd  15492  plyaddlem1  15498  plymullem1  15499  plycjlemc  15511  plyrecj  15514  dvply1  15516  sgmval2  15735  fsumdvdsmul  15742  sgmppw  15743  1sgmprm  15745  perfectlem2  15751  lgsquadlem1  15833  lgsquadlem2  15834  cvgcmp2nlemabs  16695  redcwlpolemeq1  16718  nconstwlpolem0  16727