Theorem sumeq2dv 12134

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 12133	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   sum_csu 12119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-sumdc 12120

This theorem is used by:  sumeq2sdv  12136  2sumeq2dv  12137  sumeq12dv  12138  sumeq12rdv  12139  sumfct  12140  fsumf1o  12157  fisumss  12159  fsumsplit  12174  isummulc1  12194  isumdivapc  12195  isumge0  12197  sumsplitdc  12199  fsum2dlemstep  12201  fsumshftm  12212  fisum0diag2  12214  fsummulc1  12216  fsumdivapc  12217  fsumneg  12218  fsumsub  12219  fsum2mul  12220  telfsumo2  12234  fsumparts  12237  hashiun  12245  hash2iun  12246  hash2iun1dif1  12247  binomlem  12250  binom1p  12252  isum1p  12259  arisum  12265  trireciplem  12267  geosergap  12273  geo2sum  12281  mertenslemi1  12302  mertenslem2  12303  mertensabs  12304  efval2  12432  efaddlem  12441  fsumdvds  12609  phisum  13019  pcfac  13129  elply2  15836  elplyd  15842  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849  plycjlemc  15861  plyrecj  15864  dvply1  15866  birthdaylem2  16088  sgmval2  16098  fsumdvdsmul  16105  sgmppw  16106  1sgmprm  16108  perfectlem2  16114  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  cvgcmp2nlemabs  17081  redcwlpolemeq1  17104  nconstwlpolem0  17113