Theorem sumeq2dv 11929

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2605	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 11928	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   sum_csu 11914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-seqfrec 10710  df-sumdc 11915

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  11931  2sumeq2dv  11932  sumeq12dv  11933  sumeq12rdv  11934  sumfct  11935  fsumf1o  11952  fisumss  11954  fsumsplit  11969  isummulc1  11989  isumdivapc  11990  isumge0  11992  sumsplitdc  11994  fsum2dlemstep  11996  fsumshftm  12007  fisum0diag2  12009  fsummulc1  12011  fsumdivapc  12012  fsumneg  12013  fsumsub  12014  fsum2mul  12015  telfsumo2  12029  fsumparts  12032  hashiun  12040  hash2iun  12041  hash2iun1dif1  12042  binomlem  12045  binom1p  12047  isum1p  12054  arisum  12060  trireciplem  12062  geosergap  12068  geo2sum  12076  mertenslemi1  12097  mertenslem2  12098  mertensabs  12099  efval2  12227  efaddlem  12236  fsumdvds  12404  phisum  12814  pcfac  12924  elply2  15461  elplyd  15467  plyaddlem1  15473  plymullem1  15474  plycjlemc  15486  plyrecj  15489  dvply1  15491  sgmval2  15710  fsumdvdsmul  15717  sgmppw  15718  1sgmprm  15720  perfectlem2  15726  lgsquadlem1  15808  lgsquadlem2  15809  cvgcmp2nlemabs  16639  redcwlpolemeq1  16661  nconstwlpolem0  16670