Theorem sumeq2dv 11712

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2579	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 11711	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   sum_csu 11697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-seqfrec 10595  df-sumdc 11698

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  11714  2sumeq2dv  11715  sumeq12dv  11716  sumeq12rdv  11717  sumfct  11718  fsumf1o  11734  fisumss  11736  fsumsplit  11751  isummulc1  11771  isumdivapc  11772  isumge0  11774  sumsplitdc  11776  fsum2dlemstep  11778  fsumshftm  11789  fisum0diag2  11791  fsummulc1  11793  fsumdivapc  11794  fsumneg  11795  fsumsub  11796  fsum2mul  11797  telfsumo2  11811  fsumparts  11814  hashiun  11822  hash2iun  11823  hash2iun1dif1  11824  binomlem  11827  binom1p  11829  isum1p  11836  arisum  11842  trireciplem  11844  geosergap  11850  geo2sum  11858  mertenslemi1  11879  mertenslem2  11880  mertensabs  11881  efval2  12009  efaddlem  12018  fsumdvds  12186  phisum  12596  pcfac  12706  elply2  15240  elplyd  15246  plyaddlem1  15252  plymullem1  15253  plycjlemc  15265  plyrecj  15268  dvply1  15270  sgmval2  15489  fsumdvdsmul  15496  sgmppw  15497  1sgmprm  15499  perfectlem2  15505  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  cvgcmp2nlemabs  16008  redcwlpolemeq1  16030  nconstwlpolem0  16039