Theorem sumeq2dv 11533

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 11532	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   sum_csu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-seqfrec 10540  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  11535  2sumeq2dv  11536  sumeq12dv  11537  sumeq12rdv  11538  sumfct  11539  fsumf1o  11555  fisumss  11557  fsumsplit  11572  isummulc1  11592  isumdivapc  11593  isumge0  11595  sumsplitdc  11597  fsum2dlemstep  11599  fsumshftm  11610  fisum0diag2  11612  fsummulc1  11614  fsumdivapc  11615  fsumneg  11616  fsumsub  11617  fsum2mul  11618  telfsumo2  11632  fsumparts  11635  hashiun  11643  hash2iun  11644  hash2iun1dif1  11645  binomlem  11648  binom1p  11650  isum1p  11657  arisum  11663  trireciplem  11665  geosergap  11671  geo2sum  11679  mertenslemi1  11700  mertenslem2  11701  mertensabs  11702  efval2  11830  efaddlem  11839  fsumdvds  12007  phisum  12409  pcfac  12519  elply2  14971  elplyd  14977  plyaddlem1  14983  plymullem1  14984  plycjlemc  14996  plyrecj  14999  dvply1  15001  sgmval2  15220  fsumdvdsmul  15227  sgmppw  15228  1sgmprm  15230  perfectlem2  15236  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  cvgcmp2nlemabs  15676  redcwlpolemeq1  15698  nconstwlpolem0  15707