Theorem sumeq2dv 12057

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 12056	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   sum_csu 12042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-seqfrec 10814  df-sumdc 12043

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  12059  2sumeq2dv  12060  sumeq12dv  12061  sumeq12rdv  12062  sumfct  12063  fsumf1o  12080  fisumss  12082  fsumsplit  12097  isummulc1  12117  isumdivapc  12118  isumge0  12120  sumsplitdc  12122  fsum2dlemstep  12124  fsumshftm  12135  fisum0diag2  12137  fsummulc1  12139  fsumdivapc  12140  fsumneg  12141  fsumsub  12142  fsum2mul  12143  telfsumo2  12157  fsumparts  12160  hashiun  12168  hash2iun  12169  hash2iun1dif1  12170  binomlem  12173  binom1p  12175  isum1p  12182  arisum  12188  trireciplem  12190  geosergap  12196  geo2sum  12204  mertenslemi1  12225  mertenslem2  12226  mertensabs  12227  efval2  12355  efaddlem  12364  fsumdvds  12532  phisum  12942  pcfac  13052  elply2  15617  elplyd  15623  plyaddlem1  15629  plymullem1  15630  plycjlemc  15642  plyrecj  15645  dvply1  15647  sgmval2  15869  fsumdvdsmul  15876  sgmppw  15877  1sgmprm  15879  perfectlem2  15885  lgsquadlem1  15967  lgsquadlem2  15968  cvgcmp2nlemabs  16833  redcwlpolemeq1  16856  nconstwlpolem0  16866