Theorem sumeq2dv 12158

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 12157	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   sum_csu 12143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6581  df-frec 6667  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-fz 10428  df-seqfrec 10905  df-sumdc 12144

This theorem is used by:  sumeq2sdv  12160  2sumeq2dv  12161  sumeq12dv  12162  sumeq12rdv  12163  sumfct  12164  fsumf1o  12181  fisumss  12183  fsumsplit  12198  isummulc1  12218  isumdivapc  12219  isumge0  12221  sumsplitdc  12223  fsum2dlemstep  12225  fsumshftm  12236  fisum0diag2  12238  fsummulc1  12240  fsumdivapc  12241  fsumneg  12242  fsumsub  12243  fsum2mul  12244  telfsumo2  12258  fsumparts  12261  hashiun  12269  hash2iun  12270  hash2iun1dif1  12271  binomlem  12274  binom1p  12276  isum1p  12283  arisum  12289  trireciplem  12291  geosergap  12297  geo2sum  12305  mertenslemi1  12326  mertenslem2  12327  mertensabs  12328  efval2  12456  efaddlem  12465  fsumdvds  12633  phisum  13047  pcfac  13157  elply2  15978  elplyd  15984  plyaddlem1  15990  plymullem1  15991  plycjlemc  16003  plyrecj  16006  dvply1  16008  birthdaylem2  16243  sgmval2  16270  fsumdvdsmul  16302  sgmppw  16303  1sgmprm  16305  perfectlem2  16317  pcbcctr  16320  bposlem2  16329  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  cvgcmp2nlemabs  17304  redcwlpolemeq1  17328  nconstwlpolem0  17337