Theorem sumeq2dv 11895

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 11894	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   sum_csu 11880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-seqfrec 10682  df-sumdc 11881

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  11897  2sumeq2dv  11898  sumeq12dv  11899  sumeq12rdv  11900  sumfct  11901  fsumf1o  11917  fisumss  11919  fsumsplit  11934  isummulc1  11954  isumdivapc  11955  isumge0  11957  sumsplitdc  11959  fsum2dlemstep  11961  fsumshftm  11972  fisum0diag2  11974  fsummulc1  11976  fsumdivapc  11977  fsumneg  11978  fsumsub  11979  fsum2mul  11980  telfsumo2  11994  fsumparts  11997  hashiun  12005  hash2iun  12006  hash2iun1dif1  12007  binomlem  12010  binom1p  12012  isum1p  12019  arisum  12025  trireciplem  12027  geosergap  12033  geo2sum  12041  mertenslemi1  12062  mertenslem2  12063  mertensabs  12064  efval2  12192  efaddlem  12201  fsumdvds  12369  phisum  12779  pcfac  12889  elply2  15425  elplyd  15431  plyaddlem1  15437  plymullem1  15438  plycjlemc  15450  plyrecj  15453  dvply1  15455  sgmval2  15674  fsumdvdsmul  15681  sgmppw  15682  1sgmprm  15684  perfectlem2  15690  lgsquadlem1  15772  lgsquadlem2  15773  cvgcmp2nlemabs  16488  redcwlpolemeq1  16510  nconstwlpolem0  16519