Theorem sumeq2dv 12115

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 12114	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   sum_csu 12100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-recs 6569  df-frec 6655  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394  df-seqfrec 10866  df-sumdc 12101

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  12117  2sumeq2dv  12118  sumeq12dv  12119  sumeq12rdv  12120  sumfct  12121  fsumf1o  12138  fisumss  12140  fsumsplit  12155  isummulc1  12175  isumdivapc  12176  isumge0  12178  sumsplitdc  12180  fsum2dlemstep  12182  fsumshftm  12193  fisum0diag2  12195  fsummulc1  12197  fsumdivapc  12198  fsumneg  12199  fsumsub  12200  fsum2mul  12201  telfsumo2  12215  fsumparts  12218  hashiun  12226  hash2iun  12227  hash2iun1dif1  12228  binomlem  12231  binom1p  12233  isum1p  12240  arisum  12246  trireciplem  12248  geosergap  12254  geo2sum  12262  mertenslemi1  12283  mertenslem2  12284  mertensabs  12285  efval2  12413  efaddlem  12422  fsumdvds  12590  phisum  13000  pcfac  13110  elply2  15762  elplyd  15768  plyaddlem1  15774  plymullem1  15775  plycjlemc  15787  plyrecj  15790  dvply1  15792  sgmval2  16015  fsumdvdsmul  16022  sgmppw  16023  1sgmprm  16025  perfectlem2  16031  lgsquadlem1  16113  lgsquadlem2  16114  cvgcmp2nlemabs  16989  redcwlpolemeq1  17012  nconstwlpolem0  17021