Theorem hash2iun1dif1 12121

Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hash2iun1dif1.a	|- ( ph -> A e. Fin )
hash2iun1dif1.b	|- B = ( A \ { x } )
hash2iun1dif1.c	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> C e. Fin )
hash2iun1dif1.da	|- ( ph -> Disj x e. A U_ y e. B C )
hash2iun1dif1.db	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> Disj y e. B C )
hash2iun1dif1.1	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> (♯ ` C ) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
hash2iun1dif1	|- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B   ph, x, y

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem hash2iun1dif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2iun1dif1.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
2		hash2iun1dif1.b	. . . 4 |- B = ( A \ { x } )
3	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A e. Fin )
4		snfig 7032	. . . . . 6 |- ( x e. A -> { x } e. Fin )
5	4	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { x } e. Fin )
6		snssi 3822	. . . . . 6 |- ( x e. A -> { x } C_ A )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { x } C_ A )
8		diffifi 7126	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ { x } e. Fin /\ { x } C_ A ) -> ( A \ { x } ) e. Fin )
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A \ { x } ) e. Fin )
10	2, 9	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
11		hash2iun1dif1.c	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> C e. Fin )
12		hash2iun1dif1.da	. . 3 |- ( ph -> Disj x e. A U_ y e. B C )
13		hash2iun1dif1.db	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Disj y e. B C )
14	1, 10, 11, 12, 13	hash2iun 12120	. 2 |- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = sum_ x e. A sum_ y e. B (♯ ` C ) )
15		hash2iun1dif1.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> (♯ ` C ) = 1 )
16	15	2sumeq2dv 12011	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B (♯ ` C ) = sum_ x e. A sum_ y e. B 1 )
17		1cnd 8255	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
18		fsumconst 12095	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
19	10, 17, 18	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
20	19	sumeq2dv 12008	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B 1 = sum_ x e. A ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
21	2	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( A \ { x } ) )
22	21	fveq2d 5652	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` B ) = (♯ ` ( A \ { x } ) ) )
23		hashdifsn 11146	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A ) -> (♯ ` ( A \ { x } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
24	1, 23	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` ( A \ { x } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
25	22, 24	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` B ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
26	25	oveq1d 6043	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( (♯ ` B ) x. 1 ) = ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) )
27	26	sumeq2dv 12008	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A ( (♯ ` B ) x. 1 ) = sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) )
28		hashcl 11106	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. NN0 )
30	29	nn0cnd 9518	. . . . . . 7 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. CC )
31		peano2cnm 8504	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` A ) e. CC -> ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC )
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC )
33	32	mulridd 8256	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
34	33	sumeq2ad 12009	. . . 4 |- ( ph -> sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) )
35		fsumconst 12095	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC ) -> sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
36	1, 32, 35	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
37	34, 36	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
38	20, 27, 37	3eqtrd 2268	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
39	14, 16, 38	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   \ cdif 3198   C_ wss 3201   {csn 3673   U_ciun 3975  Disj wdisj 4069   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   CCcc 8090   1c1 8093   x. cmul 8097   - cmin 8409   NN0cn0 9461  ♯chash 11100   sum_csu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by: (None)