ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hash2iun1dif1 Unicode version

Theorem hash2iun1dif1 11189
Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hash2iun1dif1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hash2iun1dif1.b  |-  B  =  ( A  \  {
x } )
hash2iun1dif1.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  C  e.  Fin )
hash2iun1dif1.da  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  U_ y  e.  B  C )
hash2iun1dif1.db  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  -> Disj  y  e.  B  C )
hash2iun1dif1.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( `  C
)  =  1 )
Assertion
Ref Expression
hash2iun1dif1  |-  ( ph  ->  ( `  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y   
y, B    ph, x, y
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y)

Proof of Theorem hash2iun1dif1
StepHypRef Expression
1 hash2iun1dif1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 hash2iun1dif1.b . . . 4  |-  B  =  ( A  \  {
x } )
31adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
4 snfig 6674 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  e.  Fin )
54adantl 273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  Fin )
6 snssi 3632 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  C_  A )
76adantl 273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
8 diffifi 6754 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { x }  e.  Fin  /\ 
{ x }  C_  A )  ->  ( A  \  { x }
)  e.  Fin )
93, 5, 7, 8syl3anc 1199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A  \  { x }
)  e.  Fin )
102, 9eqeltrid 2202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
11 hash2iun1dif1.c . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  C  e.  Fin )
12 hash2iun1dif1.da . . 3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  U_ y  e.  B  C )
13 hash2iun1dif1.db . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  -> Disj  y  e.  B  C )
141, 10, 11, 12, 13hash2iun 11188 . 2  |-  ( ph  ->  ( `  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C )  = 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  ( `  C ) )
15 hash2iun1dif1.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( `  C
)  =  1 )
16152sumeq2dv 11080 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  ( `  C )  =  sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  1 )
17 1cnd 7746 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  1  e.  CC )
18 fsumconst 11163 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ y  e.  B 
1  =  ( ( `  B )  x.  1 ) )
1910, 17, 18syl2anc 406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ y  e.  B  1  =  ( ( `  B )  x.  1 ) )
2019sumeq2dv 11077 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  1  =  sum_ x  e.  A  ( ( `  B )  x.  1 ) )
212a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( A  \  { x } ) )
2221fveq2d 5391 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `  B )  =  ( `  ( A  \  {
x } ) ) )
23 hashdifsn 10505 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  e.  A )  ->  ( `  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( `  A )  -  1 ) )
241, 23sylan 279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `  ( A  \  {
x } ) )  =  ( ( `  A
)  -  1 ) )
2522, 24eqtrd 2148 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `  B )  =  ( ( `  A )  -  1 ) )
2625oveq1d 5755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( `  B )  x.  1 )  =  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 ) )
2726sumeq2dv 11077 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( `  B )  x.  1 )  =  sum_ x  e.  A  ( ( ( `  A )  -  1 )  x.  1 ) )
28 hashcl 10467 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
291, 28syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
3029nn0cnd 8983 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `  A )  e.  CC )
31 peano2cnm 7992 . . . . . . 7  |-  ( ( `  A )  e.  CC  ->  ( ( `  A
)  -  1 )  e.  CC )
3230, 31syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `  A
)  -  1 )  e.  CC )
3332mulid1d 7747 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 )  =  ( ( `  A
)  -  1 ) )
3433sumeq2ad 11078 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 )  = 
sum_ x  e.  A  ( ( `  A )  -  1 ) )
35 fsumconst 11163 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ( `  A )  -  1 )  e.  CC )  ->  sum_ x  e.  A  ( ( `  A )  -  1 )  =  ( ( `  A )  x.  (
( `  A )  - 
1 ) ) )
361, 32, 35syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( `  A )  -  1 )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
3734, 36eqtrd 2148 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
3820, 27, 373eqtrd 2152 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  1  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
3914, 16, 383eqtrd 2152 1  |-  ( ph  ->  ( `  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463    \ cdif 3036    C_ wss 3039   {csn 3495   U_ciun 3781  Disj wdisj 3874   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   Fincfn 6600   CCcc 7582   1c1 7585    x. cmul 7589    - cmin 7897   NN0cn0 8928  ♯chash 10461   sum_csu 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-disj 3875  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator