Theorem hash2iun1dif1 12266

Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hash2iun1dif1.a	|- ( ph -> A e. Fin )
hash2iun1dif1.b	|- B = ( A \ { x } )
hash2iun1dif1.c	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> C e. Fin )
hash2iun1dif1.da	|- ( ph -> Disj x e. A U_ y e. B C )
hash2iun1dif1.db	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> Disj y e. B C )
hash2iun1dif1.1	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> (♯ ` C ) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
hash2iun1dif1	|- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B   ph, x, y

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem hash2iun1dif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2iun1dif1.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
2		hash2iun1dif1.b	. . . 4 |- B = ( A \ { x } )
3	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A e. Fin )
4		snfig 7103	. . . . . 6 |- ( x e. A -> { x } e. Fin )
5	4	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { x } e. Fin )
6		snssi 3859	. . . . . 6 |- ( x e. A -> { x } C_ A )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { x } C_ A )
8		diffifi 7198	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ { x } e. Fin /\ { x } C_ A ) -> ( A \ { x } ) e. Fin )
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A \ { x } ) e. Fin )
10	2, 9	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
11		hash2iun1dif1.c	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> C e. Fin )
12		hash2iun1dif1.da	. . 3 |- ( ph -> Disj x e. A U_ y e. B C )
13		hash2iun1dif1.db	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Disj y e. B C )
14	1, 10, 11, 12, 13	hash2iun 12265	. 2 |- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = sum_ x e. A sum_ y e. B (♯ ` C ) )
15		hash2iun1dif1.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> (♯ ` C ) = 1 )
16	15	2sumeq2dv 12156	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B (♯ ` C ) = sum_ x e. A sum_ y e. B 1 )
17		1cnd 8343	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
18		fsumconst 12240	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
19	10, 17, 18	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
20	19	sumeq2dv 12153	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B 1 = sum_ x e. A ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
21	2	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( A \ { x } ) )
22	21	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` B ) = (♯ ` ( A \ { x } ) ) )
23		hashdifsn 11276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A ) -> (♯ ` ( A \ { x } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
24	1, 23	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` ( A \ { x } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
25	22, 24	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` B ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
26	25	oveq1d 6100	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( (♯ ` B ) x. 1 ) = ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) )
27	26	sumeq2dv 12153	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A ( (♯ ` B ) x. 1 ) = sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) )
28		hashcl 11236	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. NN0 )
30	29	nn0cnd 9627	. . . . . . 7 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. CC )
31		peano2cnm 8594	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` A ) e. CC -> ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC )
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC )
33	32	mulridd 8344	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
34	33	sumeq2ad 12154	. . . 4 |- ( ph -> sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) )
35		fsumconst 12240	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC ) -> sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
36	1, 32, 35	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
37	34, 36	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
38	20, 27, 37	3eqtrd 2275	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
39	14, 16, 38	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   \ cdif 3217   C_ wss 3220   {csn 3709   U_ciun 4012  Disj wdisj 4106   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   CCcc 8178   1c1 8181   x. cmul 8185   - cmin 8499   NN0cn0 9568  ♯chash 11230   sum_csu 12138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-sumdc 12139

This theorem is used by: (None)