Theorem hash2iun1dif1 11508

Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hash2iun1dif1.a	|- ( ph -> A e. Fin )
hash2iun1dif1.b	|- B = ( A \ { x } )
hash2iun1dif1.c	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> C e. Fin )
hash2iun1dif1.da	|- ( ph -> Disj x e. A U_ y e. B C )
hash2iun1dif1.db	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> Disj y e. B C )
hash2iun1dif1.1	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> (♯ ` C ) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
hash2iun1dif1	|- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B   ph, x, y

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem hash2iun1dif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2iun1dif1.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
2		hash2iun1dif1.b	. . . 4 |- B = ( A \ { x } )
3	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A e. Fin )
4		snfig 6833	. . . . . 6 |- ( x e. A -> { x } e. Fin )
5	4	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { x } e. Fin )
6		snssi 3751	. . . . . 6 |- ( x e. A -> { x } C_ A )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { x } C_ A )
8		diffifi 6913	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ { x } e. Fin /\ { x } C_ A ) -> ( A \ { x } ) e. Fin )
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A \ { x } ) e. Fin )
10	2, 9	eqeltrid 2276	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
11		hash2iun1dif1.c	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> C e. Fin )
12		hash2iun1dif1.da	. . 3 |- ( ph -> Disj x e. A U_ y e. B C )
13		hash2iun1dif1.db	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Disj y e. B C )
14	1, 10, 11, 12, 13	hash2iun 11507	. 2 |- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = sum_ x e. A sum_ y e. B (♯ ` C ) )
15		hash2iun1dif1.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> (♯ ` C ) = 1 )
16	15	2sumeq2dv 11399	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B (♯ ` C ) = sum_ x e. A sum_ y e. B 1 )
17		1cnd 7993	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
18		fsumconst 11482	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
19	10, 17, 18	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
20	19	sumeq2dv 11396	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B 1 = sum_ x e. A ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
21	2	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( A \ { x } ) )
22	21	fveq2d 5535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` B ) = (♯ ` ( A \ { x } ) ) )
23		hashdifsn 10819	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A ) -> (♯ ` ( A \ { x } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
24	1, 23	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` ( A \ { x } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
25	22, 24	eqtrd 2222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` B ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
26	25	oveq1d 5907	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( (♯ ` B ) x. 1 ) = ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) )
27	26	sumeq2dv 11396	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A ( (♯ ` B ) x. 1 ) = sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) )
28		hashcl 10781	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. NN0 )
30	29	nn0cnd 9251	. . . . . . 7 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. CC )
31		peano2cnm 8243	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` A ) e. CC -> ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC )
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC )
33	32	mulridd 7994	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
34	33	sumeq2ad 11397	. . . 4 |- ( ph -> sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) )
35		fsumconst 11482	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC ) -> sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
36	1, 32, 35	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
37	34, 36	eqtrd 2222	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
38	20, 27, 37	3eqtrd 2226	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
39	14, 16, 38	3eqtrd 2226	1 |- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   \ cdif 3141   C_ wss 3144   {csn 3607   U_ciun 3901  Disj wdisj 3995   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   Fincfn 6759   CCcc 7829   1c1 7832   x. cmul 7836   - cmin 8148   NN0cn0 9196  ♯chash 10775   sum_csu 11381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950  ax-caucvg 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-frec 6411  df-1o 6436  df-oadd 6440  df-er 6554  df-en 6760  df-dom 6761  df-fin 6762  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-q 9640  df-rp 9674  df-fz 10029  df-fzo 10163  df-seqfrec 10466  df-exp 10540  df-ihash 10776  df-cj 10871  df-re 10872  df-im 10873  df-rsqrt 11027  df-abs 11028  df-clim 11307  df-sumdc 11382

This theorem is referenced by: (None)