ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hash2iun1dif1 Unicode version

Theorem hash2iun1dif1 11490
Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hash2iun1dif1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hash2iun1dif1.b  |-  B  =  ( A  \  {
x } )
hash2iun1dif1.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  C  e.  Fin )
hash2iun1dif1.da  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  U_ y  e.  B  C )
hash2iun1dif1.db  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  -> Disj  y  e.  B  C )
hash2iun1dif1.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( `  C
)  =  1 )
Assertion
Ref Expression
hash2iun1dif1  |-  ( ph  ->  ( `  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y   
y, B    ph, x, y
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y)

Proof of Theorem hash2iun1dif1
StepHypRef Expression
1 hash2iun1dif1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 hash2iun1dif1.b . . . 4  |-  B  =  ( A  \  {
x } )
31adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
4 snfig 6816 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  e.  Fin )
54adantl 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  Fin )
6 snssi 3738 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  C_  A )
76adantl 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
8 diffifi 6896 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { x }  e.  Fin  /\ 
{ x }  C_  A )  ->  ( A  \  { x }
)  e.  Fin )
93, 5, 7, 8syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A  \  { x }
)  e.  Fin )
102, 9eqeltrid 2264 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
11 hash2iun1dif1.c . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  C  e.  Fin )
12 hash2iun1dif1.da . . 3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  U_ y  e.  B  C )
13 hash2iun1dif1.db . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  -> Disj  y  e.  B  C )
141, 10, 11, 12, 13hash2iun 11489 . 2  |-  ( ph  ->  ( `  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C )  = 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  ( `  C ) )
15 hash2iun1dif1.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( `  C
)  =  1 )
16152sumeq2dv 11381 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  ( `  C )  =  sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  1 )
17 1cnd 7975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  1  e.  CC )
18 fsumconst 11464 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ y  e.  B 
1  =  ( ( `  B )  x.  1 ) )
1910, 17, 18syl2anc 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ y  e.  B  1  =  ( ( `  B )  x.  1 ) )
2019sumeq2dv 11378 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  1  =  sum_ x  e.  A  ( ( `  B )  x.  1 ) )
212a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( A  \  { x } ) )
2221fveq2d 5521 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `  B )  =  ( `  ( A  \  {
x } ) ) )
23 hashdifsn 10801 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  e.  A )  ->  ( `  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( `  A )  -  1 ) )
241, 23sylan 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `  ( A  \  {
x } ) )  =  ( ( `  A
)  -  1 ) )
2522, 24eqtrd 2210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `  B )  =  ( ( `  A )  -  1 ) )
2625oveq1d 5892 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( `  B )  x.  1 )  =  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 ) )
2726sumeq2dv 11378 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( `  B )  x.  1 )  =  sum_ x  e.  A  ( ( ( `  A )  -  1 )  x.  1 ) )
28 hashcl 10763 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
291, 28syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
3029nn0cnd 9233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `  A )  e.  CC )
31 peano2cnm 8225 . . . . . . 7  |-  ( ( `  A )  e.  CC  ->  ( ( `  A
)  -  1 )  e.  CC )
3230, 31syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `  A
)  -  1 )  e.  CC )
3332mulridd 7976 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 )  =  ( ( `  A
)  -  1 ) )
3433sumeq2ad 11379 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 )  = 
sum_ x  e.  A  ( ( `  A )  -  1 ) )
35 fsumconst 11464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ( `  A )  -  1 )  e.  CC )  ->  sum_ x  e.  A  ( ( `  A )  -  1 )  =  ( ( `  A )  x.  (
( `  A )  - 
1 ) ) )
361, 32, 35syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( `  A )  -  1 )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
3734, 36eqtrd 2210 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
3820, 27, 373eqtrd 2214 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  1  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
3914, 16, 383eqtrd 2214 1  |-  ( ph  ->  ( `  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    \ cdif 3128    C_ wss 3131   {csn 3594   U_ciun 3888  Disj wdisj 3982   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Fincfn 6742   CCcc 7811   1c1 7814    x. cmul 7818    - cmin 8130   NN0cn0 9178  ♯chash 10757   sum_csu 11363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator