ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hash2iun1dif1 Unicode version

Theorem hash2iun1dif1 11501
Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hash2iun1dif1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hash2iun1dif1.b  |-  B  =  ( A  \  {
x } )
hash2iun1dif1.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  C  e.  Fin )
hash2iun1dif1.da  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  U_ y  e.  B  C )
hash2iun1dif1.db  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  -> Disj  y  e.  B  C )
hash2iun1dif1.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( `  C
)  =  1 )
Assertion
Ref Expression
hash2iun1dif1  |-  ( ph  ->  ( `  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y   
y, B    ph, x, y
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y)

Proof of Theorem hash2iun1dif1
StepHypRef Expression
1 hash2iun1dif1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 hash2iun1dif1.b . . . 4  |-  B  =  ( A  \  {
x } )
31adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
4 snfig 6827 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  e.  Fin )
54adantl 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  Fin )
6 snssi 3748 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  C_  A )
76adantl 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
8 diffifi 6907 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { x }  e.  Fin  /\ 
{ x }  C_  A )  ->  ( A  \  { x }
)  e.  Fin )
93, 5, 7, 8syl3anc 1248 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A  \  { x }
)  e.  Fin )
102, 9eqeltrid 2274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
11 hash2iun1dif1.c . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  C  e.  Fin )
12 hash2iun1dif1.da . . 3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  U_ y  e.  B  C )
13 hash2iun1dif1.db . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  -> Disj  y  e.  B  C )
141, 10, 11, 12, 13hash2iun 11500 . 2  |-  ( ph  ->  ( `  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C )  = 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  ( `  C ) )
15 hash2iun1dif1.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( `  C
)  =  1 )
16152sumeq2dv 11392 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  ( `  C )  =  sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  1 )
17 1cnd 7986 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  1  e.  CC )
18 fsumconst 11475 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ y  e.  B 
1  =  ( ( `  B )  x.  1 ) )
1910, 17, 18syl2anc 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ y  e.  B  1  =  ( ( `  B )  x.  1 ) )
2019sumeq2dv 11389 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  1  =  sum_ x  e.  A  ( ( `  B )  x.  1 ) )
212a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( A  \  { x } ) )
2221fveq2d 5531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `  B )  =  ( `  ( A  \  {
x } ) ) )
23 hashdifsn 10812 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  e.  A )  ->  ( `  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( `  A )  -  1 ) )
241, 23sylan 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `  ( A  \  {
x } ) )  =  ( ( `  A
)  -  1 ) )
2522, 24eqtrd 2220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `  B )  =  ( ( `  A )  -  1 ) )
2625oveq1d 5903 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( `  B )  x.  1 )  =  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 ) )
2726sumeq2dv 11389 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( `  B )  x.  1 )  =  sum_ x  e.  A  ( ( ( `  A )  -  1 )  x.  1 ) )
28 hashcl 10774 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
291, 28syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
3029nn0cnd 9244 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `  A )  e.  CC )
31 peano2cnm 8236 . . . . . . 7  |-  ( ( `  A )  e.  CC  ->  ( ( `  A
)  -  1 )  e.  CC )
3230, 31syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `  A
)  -  1 )  e.  CC )
3332mulridd 7987 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 )  =  ( ( `  A
)  -  1 ) )
3433sumeq2ad 11390 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 )  = 
sum_ x  e.  A  ( ( `  A )  -  1 ) )
35 fsumconst 11475 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ( `  A )  -  1 )  e.  CC )  ->  sum_ x  e.  A  ( ( `  A )  -  1 )  =  ( ( `  A )  x.  (
( `  A )  - 
1 ) ) )
361, 32, 35syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( `  A )  -  1 )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
3734, 36eqtrd 2220 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  ( ( ( `  A
)  -  1 )  x.  1 )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
3820, 27, 373eqtrd 2224 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ y  e.  B  1  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
3914, 16, 383eqtrd 2224 1  |-  ( ph  ->  ( `  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C )  =  ( ( `  A
)  x.  ( ( `  A )  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2158    \ cdif 3138    C_ wss 3141   {csn 3604   U_ciun 3898  Disj wdisj 3992   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Fincfn 6753   CCcc 7822   1c1 7825    x. cmul 7829    - cmin 8141   NN0cn0 9189  ♯chash 10768   sum_csu 11374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator