Theorem hash2iun1dif1 11906

Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hash2iun1dif1.a	|- ( ph -> A e. Fin )
hash2iun1dif1.b	|- B = ( A \ { x } )
hash2iun1dif1.c	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> C e. Fin )
hash2iun1dif1.da	|- ( ph -> Disj x e. A U_ y e. B C )
hash2iun1dif1.db	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> Disj y e. B C )
hash2iun1dif1.1	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> (♯ ` C ) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
hash2iun1dif1	|- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B   ph, x, y

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem hash2iun1dif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2iun1dif1.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
2		hash2iun1dif1.b	. . . 4 |- B = ( A \ { x } )
3	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A e. Fin )
4		snfig 6930	. . . . . 6 |- ( x e. A -> { x } e. Fin )
5	4	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { x } e. Fin )
6		snssi 3788	. . . . . 6 |- ( x e. A -> { x } C_ A )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { x } C_ A )
8		diffifi 7017	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ { x } e. Fin /\ { x } C_ A ) -> ( A \ { x } ) e. Fin )
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A \ { x } ) e. Fin )
10	2, 9	eqeltrid 2294	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
11		hash2iun1dif1.c	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> C e. Fin )
12		hash2iun1dif1.da	. . 3 |- ( ph -> Disj x e. A U_ y e. B C )
13		hash2iun1dif1.db	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Disj y e. B C )
14	1, 10, 11, 12, 13	hash2iun 11905	. 2 |- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = sum_ x e. A sum_ y e. B (♯ ` C ) )
15		hash2iun1dif1.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> (♯ ` C ) = 1 )
16	15	2sumeq2dv 11797	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B (♯ ` C ) = sum_ x e. A sum_ y e. B 1 )
17		1cnd 8123	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
18		fsumconst 11880	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
19	10, 17, 18	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
20	19	sumeq2dv 11794	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B 1 = sum_ x e. A ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
21	2	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( A \ { x } ) )
22	21	fveq2d 5603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` B ) = (♯ ` ( A \ { x } ) ) )
23		hashdifsn 11001	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A ) -> (♯ ` ( A \ { x } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
24	1, 23	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` ( A \ { x } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
25	22, 24	eqtrd 2240	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (♯ ` B ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
26	25	oveq1d 5982	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( (♯ ` B ) x. 1 ) = ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) )
27	26	sumeq2dv 11794	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A ( (♯ ` B ) x. 1 ) = sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) )
28		hashcl 10963	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. NN0 )
30	29	nn0cnd 9385	. . . . . . 7 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. CC )
31		peano2cnm 8373	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` A ) e. CC -> ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC )
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC )
33	32	mulridd 8124	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
34	33	sumeq2ad 11795	. . . 4 |- ( ph -> sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) )
35		fsumconst 11880	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( (♯ ` A ) - 1 ) e. CC ) -> sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
36	1, 32, 35	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> sum_ x e. A ( (♯ ` A ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
37	34, 36	eqtrd 2240	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. A ( ( (♯ ` A ) - 1 ) x. 1 ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
38	20, 27, 37	3eqtrd 2244	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B 1 = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )
39	14, 16, 38	3eqtrd 2244	1 |- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A U_ y e. B C ) = ( (♯ ` A ) x. ( (♯ ` A ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   \ cdif 3171   C_ wss 3174   {csn 3643   U_ciun 3941  Disj wdisj 4035   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   CCcc 7958   1c1 7961   x. cmul 7965   - cmin 8278   NN0cn0 9330  ♯chash 10957   sum_csu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-disj 4036  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by: (None)