Theorem acnccim 7391

Description: Given countable choice, every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnccim	⊢ (CCHOICE → AC ω = V)

Proof of Theorem acnccim

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑦 𝑧 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → CCHOICE)
2		elmapfn 6765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω) → 𝑓 Fn ω)
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → 𝑓 Fn ω)
4		elmapi 6764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω) → 𝑓:ω⟶{𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑓:ω⟶{𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
6		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
7	5, 6	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
8		eleq2 2270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑛) → (𝑗 ∈ 𝑧 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
9	8	exbidv 1849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑛) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
10	9	elrab 2930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↔ ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
11	7, 10	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛))
13	12	ralrimiva 2580	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛))
14	1, 3, 13	cc2 7386	. . . . . 6 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15		exsimpr 1642	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	16	ralrimiva 2580	. . . 4 ⊢ (CCHOICE → ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
18		vex 2776	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
19		omex 4645	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
20		isacnm 7322	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
21	18, 19, 20	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
22	17, 21	sylibr 134	. . 3 ⊢ (CCHOICE → 𝑥 ∈ AC ω)
23	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (CCHOICE → 𝑥 ∈ V)
24	22, 23	2thd 175	. 2 ⊢ (CCHOICE → (𝑥 ∈ AC ω ↔ 𝑥 ∈ V))
25	24	eqrdv 2204	1 ⊢ (CCHOICE → AC ω = V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  {crab 2489  Vcvv 2773  𝒫 cpw 3617  ωcom 4642   Fn wfn 5271  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   ↑_𝑚 cmap 6742  AC wacn 7292  CCHOICEwacc 7381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-2nd 6234  df-er 6627  df-map 6744  df-en 6835  df-acnm 7294  df-cc 7382

This theorem is referenced by: (None)