Theorem acnccim 7426

Description: Given countable choice, every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnccim	⊢ (CCHOICE → AC ω = V)

Proof of Theorem acnccim

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑦 𝑧 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → CCHOICE)
2		elmapfn 6788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω) → 𝑓 Fn ω)
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → 𝑓 Fn ω)
4		elmapi 6787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω) → 𝑓:ω⟶{𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑓:ω⟶{𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
6		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
7	5, 6	ffvelcdmd 5744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
8		eleq2 2273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑛) → (𝑗 ∈ 𝑧 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
9	8	exbidv 1851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑛) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
10	9	elrab 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↔ ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
11	7, 10	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛))
13	12	ralrimiva 2583	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛))
14	1, 3, 13	cc2 7421	. . . . . 6 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15		exsimpr 1644	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	16	ralrimiva 2583	. . . 4 ⊢ (CCHOICE → ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
18		vex 2782	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
19		omex 4662	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
20		isacnm 7353	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
21	18, 19, 20	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
22	17, 21	sylibr 134	. . 3 ⊢ (CCHOICE → 𝑥 ∈ AC ω)
23	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (CCHOICE → 𝑥 ∈ V)
24	22, 23	2thd 175	. 2 ⊢ (CCHOICE → (𝑥 ∈ AC ω ↔ 𝑥 ∈ V))
25	24	eqrdv 2207	1 ⊢ (CCHOICE → AC ω = V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375  ∃wex 1518   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  {crab 2492  Vcvv 2779  𝒫 cpw 3629  ωcom 4659   Fn wfn 5289  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ↑_𝑚 cmap 6765  AC wacn 7318  CCHOICEwacc 7416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-2nd 6257  df-er 6650  df-map 6767  df-en 6858  df-acnm 7320  df-cc 7417

This theorem is referenced by: (None)