Theorem acnccim 7355

Description: Given countable choice, every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnccim	⊢ (CCHOICE → AC ω = V)

Proof of Theorem acnccim

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑦 𝑧 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → CCHOICE)
2		elmapfn 6739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω) → 𝑓 Fn ω)
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → 𝑓 Fn ω)
4		elmapi 6738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω) → 𝑓:ω⟶{𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑓:ω⟶{𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
6		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
7	5, 6	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
8		eleq2 2260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑛) → (𝑗 ∈ 𝑧 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
9	8	exbidv 1839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑛) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
10	9	elrab 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↔ ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
11	7, 10	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛))
13	12	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛))
14	1, 3, 13	cc2 7350	. . . . . 6 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15		exsimpr 1632	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	16	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (CCHOICE → ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
18		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
19		omex 4630	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
20		isacnm 7286	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
21	18, 19, 20	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
22	17, 21	sylibr 134	. . 3 ⊢ (CCHOICE → 𝑥 ∈ AC ω)
23	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (CCHOICE → 𝑥 ∈ V)
24	22, 23	2thd 175	. 2 ⊢ (CCHOICE → (𝑥 ∈ AC ω ↔ 𝑥 ∈ V))
25	24	eqrdv 2194	1 ⊢ (CCHOICE → AC ω = V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479  Vcvv 2763  𝒫 cpw 3606  ωcom 4627   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ↑_𝑚 cmap 6716  AC wacn 7256  CCHOICEwacc 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-2nd 6208  df-er 6601  df-map 6718  df-en 6809  df-acnm 7258  df-cc 7346

This theorem is referenced by: (None)