Theorem acnccim 7484

Description: Given countable choice, every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnccim	⊢ (CCHOICE → AC ω = V)

Proof of Theorem acnccim

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑦 𝑧 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → CCHOICE)
2		elmapfn 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω) → 𝑓 Fn ω)
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → 𝑓 Fn ω)
4		elmapi 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω) → 𝑓:ω⟶{𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑓:ω⟶{𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
6		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
7	5, 6	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
8		eleq2 2293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑛) → (𝑗 ∈ 𝑧 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
9	8	exbidv 1871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑛) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
10	9	elrab 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↔ ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
11	7, 10	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛))
13	12	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛))
14	1, 3, 13	cc2 7479	. . . . . 6 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15		exsimpr 1664	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	16	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (CCHOICE → ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
18		vex 2803	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
19		omex 4689	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
20		isacnm 7411	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
21	18, 19, 20	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
22	17, 21	sylibr 134	. . 3 ⊢ (CCHOICE → 𝑥 ∈ AC ω)
23	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (CCHOICE → 𝑥 ∈ V)
24	22, 23	2thd 175	. 2 ⊢ (CCHOICE → (𝑥 ∈ AC ω ↔ 𝑥 ∈ V))
25	24	eqrdv 2227	1 ⊢ (CCHOICE → AC ω = V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512  Vcvv 2800  𝒫 cpw 3650  ωcom 4686   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ↑_𝑚 cmap 6812  AC wacn 7376  CCHOICEwacc 7474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-2nd 6299  df-er 6697  df-map 6814  df-en 6905  df-acnm 7378  df-cc 7475

This theorem is referenced by: (None)