Theorem acnccim 7632

Description: Given countable choice, every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnccim	⊢ (CCHOICE → AC ω = V)

Proof of Theorem acnccim

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑦 𝑧 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → CCHOICE)
2		elmapfn 6946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω) → 𝑓 Fn ω)
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → 𝑓 Fn ω)
4		elmapi 6938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω) → 𝑓:ω⟶{𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
5	4	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑓:ω⟶{𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
6		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
7	5, 6	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧})
8		eleq2 2302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑛) → (𝑗 ∈ 𝑧 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
9	8	exbidv 1878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑛) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
10	9	elrab 2982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↔ ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
11	7, 10	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑥 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛)))
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛))
13	12	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑛))
14	1, 3, 13	cc2 7627	. . . . . 6 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15		exsimpr 1671	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((CCHOICE ∧ 𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	16	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ (CCHOICE → ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
18		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
19		omex 4738	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
20		isacnm 7553	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
21	18, 19, 20	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ({𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑧} ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
22	17, 21	sylibr 134	. . 3 ⊢ (CCHOICE → 𝑥 ∈ AC ω)
23	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (CCHOICE → 𝑥 ∈ V)
24	22, 23	2thd 175	. 2 ⊢ (CCHOICE → (𝑥 ∈ AC ω ↔ 𝑥 ∈ V))
25	24	eqrdv 2236	1 ⊢ (CCHOICE → AC ω = V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821  𝒫 cpw 3688  ωcom 4735   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916  AC wacn 7517  CCHOICEwacc 7622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-2nd 6369  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-acnm 7519  df-cc 7623

This theorem is referenced by: (None)