Theorem addsub4d 8647

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )
subaddd.3	|- ( ph -> C e. CC )
addsub4d.4	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
addsub4d	|- ( ph -> ( ( A + B ) - ( C + D ) ) = ( ( A - C ) + ( B - D ) ) )

Proof of Theorem addsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subaddd.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		addsub4d.4	. 2 |- ( ph -> D e. CC )
5		addsub4 8532	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) - ( C + D ) ) = ( ( A - C ) + ( B - D ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1275	1 |- ( ph -> ( ( A + B ) - ( C + D ) ) = ( ( A - C ) + ( B - D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   CCcc 8141   + caddc 8146   - cmin 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462

This theorem is referenced by:  cjadd  11594  bdtri  11950  bezoutlemnewy  12717  pcqmul  13026  mul4sqlem  13116  4sqlem14  13127  4sqlem15  13128  4sqlem16  13129  4sqlem17  13130  ballotfilemgun  13212  dvaddxxbr  15692  2lgslem3c  16094  2lgslem3d  16095  2sqlem8  16122  qdencn  16933