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Theorem cjadd 10864
Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) ) )

Proof of Theorem cjadd
StepHypRef Expression
1 readd 10849 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )
2 imadd 10857 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) )
32oveq2d 5884 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  +  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) )
4 ax-icn 7884 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
6 imcl 10834 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
76adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
87recnd 7963 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
9 imcl 10834 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
109adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1110recnd 7963 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
125, 8, 11adddid 7959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
133, 12eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
141, 13oveq12d 5886 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
15 recl 10833 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1615adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
1716recnd 7963 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
18 recl 10833 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1918adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
2019recnd 7963 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
21 mulcl 7916 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
224, 8, 21sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
23 mulcl 7916 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
244, 11, 23sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2517, 20, 22, 24addsub4d 8292 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
2614, 25eqtrd 2210 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
27 addcl 7914 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
28 remim 10840 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
* `  ( A  +  B ) )  =  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) ) )
2927, 28syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  +  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  +  B ) ) ) ) )
30 remim 10840 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
31 remim 10840 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  =  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
3230, 31oveqan12d 5887 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
3326, 29, 323eqtr4d 2220 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   CCcc 7787   RRcr 7788   _ici 7791    + caddc 7792    x. cmul 7794    - cmin 8105   *ccj 10819   Recre 10820   Imcim 10821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-2 8954  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824
This theorem is referenced by:  cjsub  10872  cjreim  10883  cjaddi  10912  cjaddd  10945  sqabsadd  11035  fsumcj  11453  efcj  11652
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