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Theorem cjadd 10372
Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjadd |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` B ) ) )
Proof of Theorem cjadd
StepHypRef Expression
1 readd 10357 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
2 imadd 10365 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
32oveq2d 5682 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) = ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) )
4 ax-icn 7494 . . . . . . 7 |- _i e. CC
54a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
6 imcl 10342 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
76adantr 271 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
87recnd 7570 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
9 imcl 10342 . . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
109adantl 272 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
1110recnd 7570 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
125, 8, 11adddid 7566 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
133, 12eqtrd 2121 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
141, 13oveq12d 5684 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
15 recl 10341 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
1615adantr 271 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
1716recnd 7570 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
18 recl 10341 . . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
1918adantl 272 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
2019recnd 7570 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
21 mulcl 7523 . . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
224, 8, 21sylancr 406 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
23 mulcl 7523 . . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
244, 11, 23sylancr 406 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
2517, 20, 22, 24addsub4d 7894 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
2614, 25eqtrd 2121 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
27 addcl 7521 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
28 remim 10348 . . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) )
2927, 28syl 14 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) )
30 remim 10348 . . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
31 remim 10348 . . 3 |- ( B e. CC -> ( * ` B ) = ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
3230, 31oveqan12d 5685 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) + ( * ` B ) ) = ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
3326, 29, 323eqtr4d 2131 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7402   RRcr 7403   _ici 7406   + caddc 7407   x. cmul 7409   - cmin 7707   *ccj 10327   Recre 10328   Imcim 10329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-2 8535  df-cj 10330  df-re 10331  df-im 10332
This theorem is referenced by:  cjsub  10380  cjreim  10391  cjaddi  10420  cjaddd  10453  sqabsadd  10542  fsumcj  10922  efcj  11017
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