ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjadd Unicode version
Theorem cjadd 11665
Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjadd |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` B ) ) )
Proof of Theorem cjadd
StepHypRef Expression
1 readd 11650 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
2 imadd 11658 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
32oveq2d 6101 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) = ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) )
4 ax-icn 8275 . . . . . . 7 |- _i e. CC
54a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
6 imcl 11635 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
76adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
87recnd 8355 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
9 imcl 11635 . . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
109adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
1110recnd 8355 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
125, 8, 11adddid 8351 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
133, 12eqtrd 2271 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
141, 13oveq12d 6103 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
15 recl 11634 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
1615adantr 276 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
1716recnd 8355 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
18 recl 11634 . . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
1918adantl 277 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
2019recnd 8355 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
21 mulcl 8307 . . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
224, 8, 21sylancr 418 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
23 mulcl 8307 . . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
244, 11, 23sylancr 418 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
2517, 20, 22, 24addsub4d 8686 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
2614, 25eqtrd 2271 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
27 addcl 8305 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
28 remim 11641 . . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) )
2927, 28syl 14 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) )
30 remim 11641 . . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
31 remim 11641 . . 3 |- ( B e. CC -> ( * ` B ) = ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
3230, 31oveqan12d 6104 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) + ( * ` B ) ) = ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
3326, 29, 323eqtr4d 2281 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` B ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8178   RRcr 8179   _ici 8182   + caddc 8183   x. cmul 8185   - cmin 8499   *ccj 11620   Recre 11621   Imcim 11622
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-2 9366  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625
This theorem is used by:  cjsub  11673  cjreim  11685  cjaddi  11714  cjaddd  11747  sqabsadd  11837  fsumcj  12260  efcj  12459
  Copyright terms: Public domain W3C validator