Theorem cjadd 11649

Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjadd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` B ) ) )

Proof of Theorem cjadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readd 11634	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
2		imadd 11642	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
3	2	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) = ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) )
4		ax-icn 8274	. . . . . . 7 |- _i e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
6		imcl 11619	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
8	7	recnd 8354	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
9		imcl 11619	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
10	9	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
11	10	recnd 8354	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
12	5, 8, 11	adddid 8350	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
13	3, 12	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
14	1, 13	oveq12d 6103	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
15		recl 11618	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
16	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
17	16	recnd 8354	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
18		recl 11618	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
19	18	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
20	19	recnd 8354	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
21		mulcl 8306	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
22	4, 8, 21	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
23		mulcl 8306	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
24	4, 11, 23	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
25	17, 20, 22, 24	addsub4d 8684	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
26	14, 25	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
27		addcl 8304	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
28		remim 11625	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) )
29	27, 28	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` ( A + B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A + B ) ) ) ) )
30		remim 11625	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
31		remim 11625	. . 3 |- ( B e. CC -> ( * ` B ) = ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
32	30, 31	oveqan12d 6104	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) + ( * ` B ) ) = ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
33	26, 29, 32	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + B ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   _ici 8181   + caddc 8182   x. cmul 8184   - cmin 8497   *ccj 11604   Recre 11605   Imcim 11606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-2 9363  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609

This theorem is used by:  cjsub  11657  cjreim  11669  cjaddi  11698  cjaddd  11731  sqabsadd  11821  fsumcj  12241  efcj  12440