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Theorem cjadd 10596
Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) ) )

Proof of Theorem cjadd
StepHypRef Expression
1 readd 10581 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )
2 imadd 10589 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) )
32oveq2d 5756 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  +  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) )
4 ax-icn 7679 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
6 imcl 10566 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
76adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
87recnd 7758 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
9 imcl 10566 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
109adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1110recnd 7758 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
125, 8, 11adddid 7754 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
133, 12eqtrd 2148 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
141, 13oveq12d 5758 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
15 recl 10565 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1615adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
1716recnd 7758 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
18 recl 10565 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1918adantl 273 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
2019recnd 7758 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
21 mulcl 7711 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
224, 8, 21sylancr 408 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
23 mulcl 7711 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
244, 11, 23sylancr 408 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2517, 20, 22, 24addsub4d 8084 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
2614, 25eqtrd 2148 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
27 addcl 7709 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
28 remim 10572 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
* `  ( A  +  B ) )  =  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) ) )
2927, 28syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  +  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  +  B ) ) ) ) )
30 remim 10572 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
31 remim 10572 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  =  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
3230, 31oveqan12d 5759 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
3326, 29, 323eqtr4d 2158 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   _ici 7586    + caddc 7587    x. cmul 7589    - cmin 7897   *ccj 10551   Recre 10552   Imcim 10553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-2 8736  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556
This theorem is referenced by:  cjsub  10604  cjreim  10615  cjaddi  10644  cjaddd  10677  sqabsadd  10767  fsumcj  11183  efcj  11278
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