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Theorem 4sqlem14 12802
Description: Lemma for 4sq 12808. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem11.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2 |- ( ph -> N e. NN )
4sq.3 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4 |- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7 |- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a |- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b |- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c |- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d |- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem14 |- ( ph -> R e. NN0 )
Distinct variable groups:   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, i, n)   B( x, y, z, w, i, n)   C( x, y, z, w, i, n)   D( x, y, z, w, i, n)   R( x, y, z, w, i, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   E( x, y, z, w, i, n)   F( x, y, z, w, i, n)   G( x, y, z, w, i, n)   H( x, y, z, w, i, n)   M( x, y, z, w, i, n)   N( x, y, z, w, i)
Proof of Theorem 4sqlem14
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
2 4sq.6 . . . . . . . . 9 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
32ssrab3 3283 . . . . . . . 8 |- T C_ NN
4 4sq.7 . . . . . . . . 9 |- M = inf ( T , RR , < )
5 4sqlem11.1 . . . . . . . . . . . 12 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
6 4sq.2 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
7 4sq.3 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
8 4sq.4 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. Prime )
9 4sq.5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
105, 6, 7, 8, 9, 2, 44sqlem13m 12801 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. j j e. T /\ M < P ) )
1110simpld 112 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. j j e. T )
12 1zzd 9419 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> 1 e. ZZ )
13 nnuz 9704 . . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
1413rabeqi 2766 . . . . . . . . . . . 12 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
152, 14eqtri 2227 . . . . . . . . . . 11 |- T = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
16 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> j e. T )
17 elfznn 10196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... j ) -> i e. NN )
1817adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> i e. NN )
19 prmnn 12507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
208, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. NN )
2120ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> P e. NN )
2218, 21nnmulcld 9105 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN )
2322nnnn0d 9368 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN0 )
2454sqlemsdc 12798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i x. P ) e. NN0 -> DECID ( i x. P ) e. S )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> DECID ( i x. P ) e. S )
2612, 15, 16, 25infssuzcldc 10400 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
2711, 26exlimddv 1923 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
284, 27eqeltrid 2293 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. T )
293, 28sselid 3195 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
3029nnzd 9514 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
31 prmz 12508 . . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
328, 31syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ZZ )
3330, 32zmulcld 9521 . . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. P ) e. ZZ )
34 4sq.a . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. ZZ )
35 4sq.e . . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
3634, 29, 354sqlem5 12780 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
3736simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. ZZ )
38 zsqcl2 10784 . . . . . . . . . . 11 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
40 4sq.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ZZ )
41 4sq.f . . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4240, 29, 414sqlem5 12780 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
4342simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ZZ )
44 zsqcl2 10784 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
4639, 45nn0addcld 9372 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN0 )
4746nn0zd 9513 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
48 4sq.c . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. ZZ )
49 4sq.g . . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5048, 29, 494sqlem5 12780 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
5150simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. ZZ )
52 zsqcl2 10784 . . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
5351, 52syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
54 4sq.d . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. ZZ )
55 4sq.h . . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5654, 29, 554sqlem5 12780 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
5756simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ZZ )
58 zsqcl2 10784 . . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
5957, 58syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
6053, 59nn0addcld 9372 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. NN0 )
6160nn0zd 9513 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
6247, 61zaddcld 9519 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
6333, 62zsubcld 9520 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) e. ZZ )
64 dvdsmul1 12199 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> M || ( M x. P ) )
6530, 32, 64syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ph -> M || ( M x. P ) )
66 zsqcl 10777 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
6734, 66syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
68 zsqcl 10777 . . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
6940, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
7067, 69zaddcld 9519 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
7170, 47zsubcld 9520 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
72 zsqcl 10777 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ZZ -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
7348, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
74 zsqcl 10777 . . . . . . . . . . 11 |- ( D e. ZZ -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
7554, 74syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
7673, 75zaddcld 9519 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
7776, 61zsubcld 9520 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
7839nn0zd 9513 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
7967, 78zsubcld 9520 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. ZZ )
8045nn0zd 9513 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
8169, 80zsubcld 9520 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
8234, 29, 354sqlem8 12783 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) )
8340, 29, 414sqlem8 12783 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) )
8430, 79, 81, 82, 83dvds2addd 12215 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
8534zcnd 9516 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
8685sqcld 10838 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
8740zcnd 9516 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
8887sqcld 10838 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
8937zcnd 9516 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. CC )
9089sqcld 10838 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
9143zcnd 9516 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. CC )
9291sqcld 10838 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
9386, 88, 90, 92addsub4d 8450 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
9484, 93breqtrrd 4079 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
9553nn0zd 9513 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
9673, 95zsubcld 9520 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. ZZ )
9759nn0zd 9513 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
9875, 97zsubcld 9520 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
9948, 29, 494sqlem8 12783 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) )
10054, 29, 554sqlem8 12783 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) )
10130, 96, 98, 99, 100dvds2addd 12215 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
10248zcnd 9516 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
103102sqcld 10838 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
10454zcnd 9516 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
105104sqcld 10838 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. CC )
10651zcnd 9516 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. CC )
107106sqcld 10838 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. CC )
10857zcnd 9516 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. CC )
109108sqcld 10838 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. CC )
110103, 105, 107, 109addsub4d 8450 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
111101, 110breqtrrd 4079 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
11230, 71, 77, 94, 111dvds2addd 12215 . . . . . . 7 |- ( ph -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
113 4sq.p . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
114113oveq1d 5972 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
11586, 88addcld 8112 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
116103, 105addcld 8112 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. CC )
11790, 92addcld 8112 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC )
118107, 109addcld 8112 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. CC )
119115, 116, 117, 118addsub4d 8450 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
120114, 119eqtrd 2239 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
121112, 120breqtrrd 4079 . . . . . 6 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
12230, 33, 63, 65, 121dvds2subd 12213 . . . . 5 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
12329nncnd 9070 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
12420nncnd 9070 . . . . . . 7 |- ( ph -> P e. CC )
125123, 124mulcld 8113 . . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. P ) e. CC )
126117, 118addcld 8112 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
127125, 126nncand 8408 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
128122, 127breqtrd 4077 . . . 4 |- ( ph -> M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
12929nnne0d 9101 . . . . 5 |- ( ph -> M =/= 0 )
13046, 60nn0addcld 9372 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
131130nn0zd 9513 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
132 dvdsval2 12176 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
13330, 129, 131, 132syl3anc 1250 . . . 4 |- ( ph -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
134128, 133mpbid 147 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ )
135130nn0red 9369 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
136130nn0ge0d 9371 . . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
13729nnred 9069 . . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
13829nngt0d 9100 . . . 4 |- ( ph -> 0 < M )
139 divge0 8966 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
140135, 136, 137, 138, 139syl22anc 1251 . . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
141 elnn0z 9405 . . 3 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 <-> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) ) )
142134, 140, 141sylanbrc 417 . 2 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 )
1431, 142eqeltrid 2293 1 |- ( ph -> R e. NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   {cab 2192   =/= wne 2377   E.wrex 2486   {crab 2489   C_ wss 3170   class class class wbr 4051   ` cfv 5280  (class class class)co 5957  infcinf 7100   RRcr 7944   0cc0 7945   1c1 7946   + caddc 7948   x. cmul 7950   < clt 8127   <_ cle 8128   - cmin 8263   / cdiv 8765   NNcn 9056   2c2 9107   NN0cn0 9315   ZZcz 9392   ZZ>=cuz 9668   ...cfz 10150   mod cmo 10489   ^cexp 10705   || cdvds 12173   Primecprime 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-frec 6490  df-1o 6515  df-2o 6516  df-oadd 6519  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-sup 7101  df-inf 7102  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-fl 10435  df-mod 10490  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-ihash 10943  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-dvds 12174  df-gcd 12350  df-prm 12505  df-gz 12768
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