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Theorem 4sqlem14 12542
Description: Lemma for 4sq 12548. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem11.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2 |- ( ph -> N e. NN )
4sq.3 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4 |- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7 |- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a |- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b |- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c |- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d |- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem14 |- ( ph -> R e. NN0 )
Distinct variable groups:   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, i, n)   B( x, y, z, w, i, n)   C( x, y, z, w, i, n)   D( x, y, z, w, i, n)   R( x, y, z, w, i, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   E( x, y, z, w, i, n)   F( x, y, z, w, i, n)   G( x, y, z, w, i, n)   H( x, y, z, w, i, n)   M( x, y, z, w, i, n)   N( x, y, z, w, i)
Proof of Theorem 4sqlem14
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
2 4sq.6 . . . . . . . . 9 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
32ssrab3 3265 . . . . . . . 8 |- T C_ NN
4 4sq.7 . . . . . . . . 9 |- M = inf ( T , RR , < )
5 4sqlem11.1 . . . . . . . . . . . 12 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
6 4sq.2 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
7 4sq.3 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
8 4sq.4 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. Prime )
9 4sq.5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
105, 6, 7, 8, 9, 2, 44sqlem13m 12541 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. j j e. T /\ M < P ) )
1110simpld 112 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. j j e. T )
12 1zzd 9344 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> 1 e. ZZ )
13 nnuz 9628 . . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
1413rabeqi 2753 . . . . . . . . . . . 12 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
152, 14eqtri 2214 . . . . . . . . . . 11 |- T = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
16 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> j e. T )
17 elfznn 10120 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... j ) -> i e. NN )
1817adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> i e. NN )
19 prmnn 12248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
208, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. NN )
2120ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> P e. NN )
2218, 21nnmulcld 9031 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN )
2322nnnn0d 9293 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN0 )
2454sqlemsdc 12538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i x. P ) e. NN0 -> DECID ( i x. P ) e. S )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> DECID ( i x. P ) e. S )
2612, 15, 16, 25infssuzcldc 12088 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
2711, 26exlimddv 1910 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
284, 27eqeltrid 2280 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. T )
293, 28sselid 3177 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
3029nnzd 9438 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
31 prmz 12249 . . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
328, 31syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ZZ )
3330, 32zmulcld 9445 . . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. P ) e. ZZ )
34 4sq.a . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. ZZ )
35 4sq.e . . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
3634, 29, 354sqlem5 12520 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
3736simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. ZZ )
38 zsqcl2 10688 . . . . . . . . . . 11 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
40 4sq.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ZZ )
41 4sq.f . . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4240, 29, 414sqlem5 12520 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
4342simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ZZ )
44 zsqcl2 10688 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
4639, 45nn0addcld 9297 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN0 )
4746nn0zd 9437 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
48 4sq.c . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. ZZ )
49 4sq.g . . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5048, 29, 494sqlem5 12520 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
5150simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. ZZ )
52 zsqcl2 10688 . . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
5351, 52syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
54 4sq.d . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. ZZ )
55 4sq.h . . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5654, 29, 554sqlem5 12520 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
5756simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ZZ )
58 zsqcl2 10688 . . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
5957, 58syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
6053, 59nn0addcld 9297 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. NN0 )
6160nn0zd 9437 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
6247, 61zaddcld 9443 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
6333, 62zsubcld 9444 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) e. ZZ )
64 dvdsmul1 11956 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> M || ( M x. P ) )
6530, 32, 64syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ph -> M || ( M x. P ) )
66 zsqcl 10681 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
6734, 66syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
68 zsqcl 10681 . . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
6940, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
7067, 69zaddcld 9443 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
7170, 47zsubcld 9444 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
72 zsqcl 10681 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ZZ -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
7348, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
74 zsqcl 10681 . . . . . . . . . . 11 |- ( D e. ZZ -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
7554, 74syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
7673, 75zaddcld 9443 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
7776, 61zsubcld 9444 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
7839nn0zd 9437 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
7967, 78zsubcld 9444 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. ZZ )
8045nn0zd 9437 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
8169, 80zsubcld 9444 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
8234, 29, 354sqlem8 12523 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) )
8340, 29, 414sqlem8 12523 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) )
8430, 79, 81, 82, 83dvds2addd 11972 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
8534zcnd 9440 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
8685sqcld 10742 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
8740zcnd 9440 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
8887sqcld 10742 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
8937zcnd 9440 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. CC )
9089sqcld 10742 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
9143zcnd 9440 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. CC )
9291sqcld 10742 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
9386, 88, 90, 92addsub4d 8377 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
9484, 93breqtrrd 4057 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
9553nn0zd 9437 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
9673, 95zsubcld 9444 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. ZZ )
9759nn0zd 9437 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
9875, 97zsubcld 9444 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
9948, 29, 494sqlem8 12523 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) )
10054, 29, 554sqlem8 12523 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) )
10130, 96, 98, 99, 100dvds2addd 11972 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
10248zcnd 9440 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
103102sqcld 10742 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
10454zcnd 9440 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
105104sqcld 10742 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. CC )
10651zcnd 9440 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. CC )
107106sqcld 10742 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. CC )
10857zcnd 9440 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. CC )
109108sqcld 10742 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. CC )
110103, 105, 107, 109addsub4d 8377 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
111101, 110breqtrrd 4057 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
11230, 71, 77, 94, 111dvds2addd 11972 . . . . . . 7 |- ( ph -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
113 4sq.p . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
114113oveq1d 5933 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
11586, 88addcld 8039 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
116103, 105addcld 8039 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. CC )
11790, 92addcld 8039 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC )
118107, 109addcld 8039 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. CC )
119115, 116, 117, 118addsub4d 8377 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
120114, 119eqtrd 2226 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
121112, 120breqtrrd 4057 . . . . . 6 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
12230, 33, 63, 65, 121dvds2subd 11970 . . . . 5 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
12329nncnd 8996 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
12420nncnd 8996 . . . . . . 7 |- ( ph -> P e. CC )
125123, 124mulcld 8040 . . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. P ) e. CC )
126117, 118addcld 8039 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
127125, 126nncand 8335 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
128122, 127breqtrd 4055 . . . 4 |- ( ph -> M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
12929nnne0d 9027 . . . . 5 |- ( ph -> M =/= 0 )
13046, 60nn0addcld 9297 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
131130nn0zd 9437 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
132 dvdsval2 11933 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
13330, 129, 131, 132syl3anc 1249 . . . 4 |- ( ph -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
134128, 133mpbid 147 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ )
135130nn0red 9294 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
136130nn0ge0d 9296 . . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
13729nnred 8995 . . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
13829nngt0d 9026 . . . 4 |- ( ph -> 0 < M )
139 divge0 8892 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
140135, 136, 137, 138, 139syl22anc 1250 . . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
141 elnn0z 9330 . . 3 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 <-> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) ) )
142134, 140, 141sylanbrc 417 . 2 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 )
1431, 142eqeltrid 2280 1 |- ( ph -> R e. NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   =/= wne 2364   E.wrex 2473   {crab 2476   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918  infcinf 7042   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   mod cmo 10393   ^cexp 10609   || cdvds 11930   Primecprime 12245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-gz 12508
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