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Theorem 4sqlem14 12598
Description: Lemma for 4sq 12604. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem11.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2 |- ( ph -> N e. NN )
4sq.3 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4 |- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7 |- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a |- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b |- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c |- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d |- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem14 |- ( ph -> R e. NN0 )
Distinct variable groups:   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, i, n)   B( x, y, z, w, i, n)   C( x, y, z, w, i, n)   D( x, y, z, w, i, n)   R( x, y, z, w, i, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   E( x, y, z, w, i, n)   F( x, y, z, w, i, n)   G( x, y, z, w, i, n)   H( x, y, z, w, i, n)   M( x, y, z, w, i, n)   N( x, y, z, w, i)
Proof of Theorem 4sqlem14
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
2 4sq.6 . . . . . . . . 9 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
32ssrab3 3270 . . . . . . . 8 |- T C_ NN
4 4sq.7 . . . . . . . . 9 |- M = inf ( T , RR , < )
5 4sqlem11.1 . . . . . . . . . . . 12 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
6 4sq.2 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
7 4sq.3 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
8 4sq.4 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. Prime )
9 4sq.5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
105, 6, 7, 8, 9, 2, 44sqlem13m 12597 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. j j e. T /\ M < P ) )
1110simpld 112 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. j j e. T )
12 1zzd 9370 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> 1 e. ZZ )
13 nnuz 9654 . . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
1413rabeqi 2756 . . . . . . . . . . . 12 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
152, 14eqtri 2217 . . . . . . . . . . 11 |- T = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
16 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> j e. T )
17 elfznn 10146 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... j ) -> i e. NN )
1817adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> i e. NN )
19 prmnn 12303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
208, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. NN )
2120ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> P e. NN )
2218, 21nnmulcld 9056 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN )
2322nnnn0d 9319 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN0 )
2454sqlemsdc 12594 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i x. P ) e. NN0 -> DECID ( i x. P ) e. S )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> DECID ( i x. P ) e. S )
2612, 15, 16, 25infssuzcldc 10342 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
2711, 26exlimddv 1913 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
284, 27eqeltrid 2283 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. T )
293, 28sselid 3182 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
3029nnzd 9464 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
31 prmz 12304 . . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
328, 31syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ZZ )
3330, 32zmulcld 9471 . . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. P ) e. ZZ )
34 4sq.a . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. ZZ )
35 4sq.e . . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
3634, 29, 354sqlem5 12576 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
3736simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. ZZ )
38 zsqcl2 10726 . . . . . . . . . . 11 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
40 4sq.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ZZ )
41 4sq.f . . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4240, 29, 414sqlem5 12576 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
4342simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ZZ )
44 zsqcl2 10726 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
4639, 45nn0addcld 9323 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN0 )
4746nn0zd 9463 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
48 4sq.c . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. ZZ )
49 4sq.g . . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5048, 29, 494sqlem5 12576 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
5150simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. ZZ )
52 zsqcl2 10726 . . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
5351, 52syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
54 4sq.d . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. ZZ )
55 4sq.h . . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5654, 29, 554sqlem5 12576 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
5756simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ZZ )
58 zsqcl2 10726 . . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
5957, 58syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
6053, 59nn0addcld 9323 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. NN0 )
6160nn0zd 9463 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
6247, 61zaddcld 9469 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
6333, 62zsubcld 9470 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) e. ZZ )
64 dvdsmul1 11995 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> M || ( M x. P ) )
6530, 32, 64syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ph -> M || ( M x. P ) )
66 zsqcl 10719 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
6734, 66syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
68 zsqcl 10719 . . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
6940, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
7067, 69zaddcld 9469 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
7170, 47zsubcld 9470 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
72 zsqcl 10719 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ZZ -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
7348, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
74 zsqcl 10719 . . . . . . . . . . 11 |- ( D e. ZZ -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
7554, 74syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
7673, 75zaddcld 9469 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
7776, 61zsubcld 9470 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
7839nn0zd 9463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
7967, 78zsubcld 9470 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. ZZ )
8045nn0zd 9463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
8169, 80zsubcld 9470 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
8234, 29, 354sqlem8 12579 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) )
8340, 29, 414sqlem8 12579 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) )
8430, 79, 81, 82, 83dvds2addd 12011 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
8534zcnd 9466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
8685sqcld 10780 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
8740zcnd 9466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
8887sqcld 10780 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
8937zcnd 9466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. CC )
9089sqcld 10780 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
9143zcnd 9466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. CC )
9291sqcld 10780 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
9386, 88, 90, 92addsub4d 8401 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
9484, 93breqtrrd 4062 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
9553nn0zd 9463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
9673, 95zsubcld 9470 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. ZZ )
9759nn0zd 9463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
9875, 97zsubcld 9470 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
9948, 29, 494sqlem8 12579 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) )
10054, 29, 554sqlem8 12579 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) )
10130, 96, 98, 99, 100dvds2addd 12011 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
10248zcnd 9466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
103102sqcld 10780 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
10454zcnd 9466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
105104sqcld 10780 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. CC )
10651zcnd 9466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. CC )
107106sqcld 10780 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. CC )
10857zcnd 9466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. CC )
109108sqcld 10780 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. CC )
110103, 105, 107, 109addsub4d 8401 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
111101, 110breqtrrd 4062 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
11230, 71, 77, 94, 111dvds2addd 12011 . . . . . . 7 |- ( ph -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
113 4sq.p . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
114113oveq1d 5940 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
11586, 88addcld 8063 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
116103, 105addcld 8063 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. CC )
11790, 92addcld 8063 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC )
118107, 109addcld 8063 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. CC )
119115, 116, 117, 118addsub4d 8401 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
120114, 119eqtrd 2229 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
121112, 120breqtrrd 4062 . . . . . 6 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
12230, 33, 63, 65, 121dvds2subd 12009 . . . . 5 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
12329nncnd 9021 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
12420nncnd 9021 . . . . . . 7 |- ( ph -> P e. CC )
125123, 124mulcld 8064 . . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. P ) e. CC )
126117, 118addcld 8063 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
127125, 126nncand 8359 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
128122, 127breqtrd 4060 . . . 4 |- ( ph -> M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
12929nnne0d 9052 . . . . 5 |- ( ph -> M =/= 0 )
13046, 60nn0addcld 9323 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
131130nn0zd 9463 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
132 dvdsval2 11972 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
13330, 129, 131, 132syl3anc 1249 . . . 4 |- ( ph -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
134128, 133mpbid 147 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ )
135130nn0red 9320 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
136130nn0ge0d 9322 . . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
13729nnred 9020 . . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
13829nngt0d 9051 . . . 4 |- ( ph -> 0 < M )
139 divge0 8917 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
140135, 136, 137, 138, 139syl22anc 1250 . . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
141 elnn0z 9356 . . 3 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 <-> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) ) )
142134, 140, 141sylanbrc 417 . 2 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 )
1431, 142eqeltrid 2283 1 |- ( ph -> R e. NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   =/= wne 2367   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925  infcinf 7058   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100   mod cmo 10431   ^cexp 10647   || cdvds 11969   Primecprime 12300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-gz 12564
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