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Theorem 4sqlem15 13184
Description: Lemma for 4sq 13189. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem11.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2 |- ( ph -> N e. NN )
4sq.3 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4 |- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7 |- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a |- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b |- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c |- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d |- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem15 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
Distinct variable groups:   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, i, n)   B( x, y, z, w, i, n)   C( x, y, z, w, i, n)   D( x, y, z, w, i, n)   R( x, y, z, w, i, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   E( x, y, z, w, i, n)   F( x, y, z, w, i, n)   G( x, y, z, w, i, n)   H( x, y, z, w, i, n)   M( x, y, z, w, i, n)   N( x, y, z, w, i)
Proof of Theorem 4sqlem15
StepHypRef Expression
1 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2 eluz2nn 9966 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. NN )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
43nnred 9317 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
54resqcld 11137 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. RR )
65rehalfcld 9552 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
76rehalfcld 9552 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. RR )
87recnd 8354 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
9 4sq.a . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
10 4sq.e . . . . . . . . . . . 12 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
119, 3, 104sqlem5 13161 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
1211simpld 112 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. ZZ )
13 zsqcl 11047 . . . . . . . . . 10 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
1412, 13syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
1514zred 9768 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR )
1615recnd 8354 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
17 4sq.b . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ZZ )
18 4sq.f . . . . . . . . . . . 12 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
1917, 3, 184sqlem5 13161 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
2019simpld 112 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ZZ )
21 zsqcl 11047 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
2220, 21syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
2322zred 9768 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. RR )
2423recnd 8354 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
258, 8, 16, 24addsub4d 8684 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
266recnd 8354 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
27262halvesd 9551 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
2827oveq1d 6100 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
2925, 28eqtr3d 2273 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
3029adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
315recnd 8354 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
32312halvesd 9551 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
3332adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
344recnd 8354 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
3534sqvald 11108 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
3635adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
37 4sq.r . . . . . . . . . . 11 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
38 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> R = M )
3937, 38eqtr3id 2285 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = M )
4039oveq1d 6100 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( M x. M ) )
4115, 23readdcld 8355 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR )
42 4sq.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ZZ )
43 4sq.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4442, 3, 434sqlem5 13161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
4544simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G e. ZZ )
46 zsqcl 11047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
4847zred 9768 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. RR )
49 4sq.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. ZZ )
50 4sq.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5149, 3, 504sqlem5 13161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
5251simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> H e. ZZ )
53 zsqcl 11047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
5452, 53syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
5554zred 9768 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. RR )
5648, 55readdcld 8355 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. RR )
5741, 56readdcld 8355 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
5857recnd 8354 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
593nnap0d 9350 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M # 0 )
6058, 34, 59divcanap1d 9121 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
6160adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
6236, 40, 613eqtr2rd 2278 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( M ^ 2 ) )
6333, 62oveq12d 6103 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) )
6441recnd 8354 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC )
6556recnd 8354 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. CC )
6626, 26, 64, 65addsub4d 8684 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
6766adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
6831subidd 8625 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) = 0 )
6968adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) = 0 )
7063, 67, 693eqtr3d 2279 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 )
716, 41resubcld 8708 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. RR )
729, 3, 104sqlem7 13163 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
7317, 3, 184sqlem7 13163 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
7415, 23, 7, 7, 72, 73le2addd 8891 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
7574, 27breqtrd 4156 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
766, 41subge0d 8863 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) <-> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
7775, 76mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
786, 56resubcld 8708 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
7942, 3, 434sqlem7 13163 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
8049, 3, 504sqlem7 13163 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
8148, 55, 7, 7, 79, 80le2addd 8891 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
8281, 27breqtrd 4156 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
836, 56subge0d 8863 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
8482, 83mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
85 add20 8802 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) ) /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) )
8671, 77, 78, 84, 85syl22anc 1279 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) )
8786biimpa 296 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) )
8870, 87syldan 282 . . . . 5 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) )
8988simpld 112 . . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 )
9030, 89eqtrd 2271 . . 3 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 )
917, 15resubcld 8708 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. RR )
927, 15subge0d 8863 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) <-> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
9372, 92mpbird 167 . . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) )
947, 23resubcld 8708 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. RR )
957, 23subge0d 8863 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) <-> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
9673, 95mpbird 167 . . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) )
97 add20 8802 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
9891, 93, 94, 96, 97syl22anc 1279 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
9998biimpa 296 . . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) )
10090, 99syldan 282 . 2 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) )
10148recnd 8354 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. CC )
10255recnd 8354 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. CC )
1038, 8, 101, 102addsub4d 8684 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
10427oveq1d 6100 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
105103, 104eqtr3d 2273 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
106105adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
10788simprd 114 . . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 )
108106, 107eqtrd 2271 . . 3 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 )
1097, 48resubcld 8708 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. RR )
1107, 48subge0d 8863 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) <-> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
11179, 110mpbird 167 . . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) )
1127, 55resubcld 8708 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. RR )
1137, 55subge0d 8863 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) <-> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
11480, 113mpbird 167 . . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) )
115 add20 8802 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
116109, 111, 112, 114, 115syl22anc 1279 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
117116biimpa 296 . . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
118108, 117syldan 282 . 2 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
119100, 118jca 306 1 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085  infcinf 7323   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   / cdiv 9002   NNcn 9304   2c2 9355   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411   mod cmo 10759   ^cexp 10975   Primecprime 12885
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765
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