Theorem 4sqlem15 13103

Description: Lemma for 4sq 13108. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem11.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b	|- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e	|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f	|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g	|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h	|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r	|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p	|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem15	|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )

Distinct variable groups:   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, i, n)   B( x, y, z, w, i, n)   C( x, y, z, w, i, n)   D( x, y, z, w, i, n)   R( x, y, z, w, i, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   E( x, y, z, w, i, n)   F( x, y, z, w, i, n)   G( x, y, z, w, i, n)   H( x, y, z, w, i, n)   M( x, y, z, w, i, n)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluz2nn 9898	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. NN )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
4	3	nnred 9250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
5	4	resqcld 11061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. RR )
6	5	rehalfcld 9485	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
7	6	rehalfcld 9485	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. RR )
8	7	recnd 8302	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
9		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
10		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
11	9, 3, 10	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
12	11	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. ZZ )
13		zsqcl 10972	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
15	14	zred 9700	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR )
16	15	recnd 8302	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
17		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ZZ )
18		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
19	17, 3, 18	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
20	19	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ZZ )
21		zsqcl 10972	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
23	22	zred 9700	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. RR )
24	23	recnd 8302	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
25	8, 8, 16, 24	addsub4d 8631	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
26	6	recnd 8302	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
27	26	2halvesd 9484	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
28	27	oveq1d 6065	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
29	25, 28	eqtr3d 2267	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
30	29	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
31	5	recnd 8302	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
32	31	2halvesd 9484	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
34	4	recnd 8302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
35	34	sqvald 11032	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
37		4sq.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> R = M )
39	37, 38	eqtr3id 2279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = M )
40	39	oveq1d 6065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( M x. M ) )
41	15, 23	readdcld 8303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR )
42		4sq.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ZZ )
43		4sq.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
44	42, 3, 43	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G e. ZZ )
46		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
48	47	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. RR )
49		4sq.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. ZZ )
50		4sq.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
51	49, 3, 50	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
52	51	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> H e. ZZ )
53		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
55	54	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. RR )
56	48, 55	readdcld 8303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. RR )
57	41, 56	readdcld 8303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
58	57	recnd 8302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
59	3	nnap0d 9283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M # 0 )
60	58, 34, 59	divcanap1d 9065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
62	36, 40, 61	3eqtr2rd 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( M ^ 2 ) )
63	33, 62	oveq12d 6068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) )
64	41	recnd 8302	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC )
65	56	recnd 8302	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. CC )
66	26, 26, 64, 65	addsub4d 8631	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
68	31	subidd 8572	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) = 0 )
69	68	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) = 0 )
70	63, 67, 69	3eqtr3d 2273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 )
71	6, 41	resubcld 8654	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. RR )
72	9, 3, 10	4sqlem7 13082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
73	17, 3, 18	4sqlem7 13082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
74	15, 23, 7, 7, 72, 73	le2addd 8837	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
75	74, 27	breqtrd 4135	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
76	6, 41	subge0d 8809	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) <-> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
77	75, 76	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
78	6, 56	resubcld 8654	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
79	42, 3, 43	4sqlem7 13082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
80	49, 3, 50	4sqlem7 13082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
81	48, 55, 7, 7, 79, 80	le2addd 8837	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
82	81, 27	breqtrd 4135	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
83	6, 56	subge0d 8809	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
84	82, 83	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
85		add20 8748	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) ) /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) )
86	71, 77, 78, 84, 85	syl22anc 1275	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) )
87	86	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) )
88	70, 87	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) )
89	88	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 )
90	30, 89	eqtrd 2265	. . 3 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 )
91	7, 15	resubcld 8654	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. RR )
92	7, 15	subge0d 8809	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) <-> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
93	72, 92	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) )
94	7, 23	resubcld 8654	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. RR )
95	7, 23	subge0d 8809	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) <-> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
96	73, 95	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) )
97		add20 8748	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
98	91, 93, 94, 96, 97	syl22anc 1275	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
99	98	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) )
100	90, 99	syldan 282	. 2 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) )
101	48	recnd 8302	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. CC )
102	55	recnd 8302	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. CC )
103	8, 8, 101, 102	addsub4d 8631	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
104	27	oveq1d 6065	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
105	103, 104	eqtr3d 2267	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
106	105	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
107	88	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 )
108	106, 107	eqtrd 2265	. . 3 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 )
109	7, 48	resubcld 8654	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. RR )
110	7, 48	subge0d 8809	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) <-> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
111	79, 110	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) )
112	7, 55	resubcld 8654	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. RR )
113	7, 55	subge0d 8809	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) <-> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
114	80, 113	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) )
115		add20 8748	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
116	109, 111, 112, 114, 115	syl22anc 1275	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
117	116	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
118	108, 117	syldan 282	. 2 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
119	100, 118	jca 306	1 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   E.wrex 2521   {crab 2524   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050  infcinf 7274   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   x. cmul 8132   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   / cdiv 8946   NNcn 9237   2c2 9288   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853   ...cfz 10342   mod cmo 10684   ^cexp 10900   Primecprime 12804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684

This theorem is referenced by:  4sqlem16  13104