Theorem 4sqlem15 12543

Description: Lemma for 4sq 12548. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem11.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b	|- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e	|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f	|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g	|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h	|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r	|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p	|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem15	|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )

Distinct variable groups:   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, i, n)   B( x, y, z, w, i, n)   C( x, y, z, w, i, n)   D( x, y, z, w, i, n)   R( x, y, z, w, i, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   E( x, y, z, w, i, n)   F( x, y, z, w, i, n)   G( x, y, z, w, i, n)   H( x, y, z, w, i, n)   M( x, y, z, w, i, n)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluz2nn 9631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. NN )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
4	3	nnred 8995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
5	4	resqcld 10770	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. RR )
6	5	rehalfcld 9229	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
7	6	rehalfcld 9229	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. RR )
8	7	recnd 8048	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
9		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
10		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
11	9, 3, 10	4sqlem5 12520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
12	11	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. ZZ )
13		zsqcl 10681	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
15	14	zred 9439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR )
16	15	recnd 8048	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
17		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ZZ )
18		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
19	17, 3, 18	4sqlem5 12520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
20	19	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ZZ )
21		zsqcl 10681	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
23	22	zred 9439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. RR )
24	23	recnd 8048	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
25	8, 8, 16, 24	addsub4d 8377	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
26	6	recnd 8048	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
27	26	2halvesd 9228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
28	27	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
29	25, 28	eqtr3d 2228	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
30	29	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
31	5	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
32	31	2halvesd 9228	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
34	4	recnd 8048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
35	34	sqvald 10741	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
37		4sq.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> R = M )
39	37, 38	eqtr3id 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = M )
40	39	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( M x. M ) )
41	15, 23	readdcld 8049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR )
42		4sq.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ZZ )
43		4sq.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
44	42, 3, 43	4sqlem5 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G e. ZZ )
46		zsqcl 10681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
48	47	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. RR )
49		4sq.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. ZZ )
50		4sq.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
51	49, 3, 50	4sqlem5 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
52	51	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> H e. ZZ )
53		zsqcl 10681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
55	54	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. RR )
56	48, 55	readdcld 8049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. RR )
57	41, 56	readdcld 8049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
58	57	recnd 8048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
59	3	nnap0d 9028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M # 0 )
60	58, 34, 59	divcanap1d 8810	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
62	36, 40, 61	3eqtr2rd 2233	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( M ^ 2 ) )
63	33, 62	oveq12d 5936	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) )
64	41	recnd 8048	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC )
65	56	recnd 8048	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. CC )
66	26, 26, 64, 65	addsub4d 8377	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
68	31	subidd 8318	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) = 0 )
69	68	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) = 0 )
70	63, 67, 69	3eqtr3d 2234	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 )
71	6, 41	resubcld 8400	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. RR )
72	9, 3, 10	4sqlem7 12522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
73	17, 3, 18	4sqlem7 12522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
74	15, 23, 7, 7, 72, 73	le2addd 8582	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
75	74, 27	breqtrd 4055	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
76	6, 41	subge0d 8554	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) <-> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
77	75, 76	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
78	6, 56	resubcld 8400	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
79	42, 3, 43	4sqlem7 12522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
80	49, 3, 50	4sqlem7 12522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
81	48, 55, 7, 7, 79, 80	le2addd 8582	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
82	81, 27	breqtrd 4055	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
83	6, 56	subge0d 8554	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
84	82, 83	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
85		add20 8493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) ) /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) )
86	71, 77, 78, 84, 85	syl22anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) )
87	86	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) )
88	70, 87	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) )
89	88	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 )
90	30, 89	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 )
91	7, 15	resubcld 8400	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. RR )
92	7, 15	subge0d 8554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) <-> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
93	72, 92	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) )
94	7, 23	resubcld 8400	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. RR )
95	7, 23	subge0d 8554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) <-> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
96	73, 95	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) )
97		add20 8493	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
98	91, 93, 94, 96, 97	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
99	98	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) )
100	90, 99	syldan 282	. 2 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) )
101	48	recnd 8048	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. CC )
102	55	recnd 8048	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. CC )
103	8, 8, 101, 102	addsub4d 8377	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
104	27	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
105	103, 104	eqtr3d 2228	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
106	105	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
107	88	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 )
108	106, 107	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 )
109	7, 48	resubcld 8400	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. RR )
110	7, 48	subge0d 8554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) <-> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
111	79, 110	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) )
112	7, 55	resubcld 8400	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. RR )
113	7, 55	subge0d 8554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) <-> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
114	80, 113	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) )
115		add20 8493	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
116	109, 111, 112, 114, 115	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
117	116	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
118	108, 117	syldan 282	. 2 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
119	100, 118	jca 306	1 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   {crab 2476   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918  infcinf 7042   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   mod cmo 10393   ^cexp 10609   Primecprime 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143

This theorem is referenced by:  4sqlem16  12544