Theorem qdencn 16977

Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11946 (and also would hold for RR X. RR with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qdencn.q	|- Q = { z e. CC | ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) }

Assertion

Ref	Expression
qdencn	|- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, Q

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z)   Q( z)

Proof of Theorem qdencn

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> A e. CC )
2	1	recld 11682	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( Re ` A ) e. RR )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
4	3	rphalfcld 10089	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
5		qdenre 11946	. . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( B / 2 ) e. RR+ ) -> E. u e. QQ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 415	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. u e. QQ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
7		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> A e. CC )
8	7	imcld 11683	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. RR )
9	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
10		qdenre 11946	. . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ ( B / 2 ) e. RR+ ) -> E. v e. QQ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. v e. QQ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
12		qcn 10013	. . . . . . . 8 |- ( u e. QQ -> u e. CC )
13	12	ad2antrl 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. CC )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. CC )
15		ax-icn 8264	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
16	15	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> _i e. CC )
17		qcn 10013	. . . . . . . 8 |- ( v e. QQ -> v e. CC )
18	17	ad2antrl 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. CC )
19	16, 18	mulcld 8336	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. v ) e. CC )
20	14, 19	addcld 8335	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u + ( _i x. v ) ) e. CC )
21		qre 10004	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. QQ -> u e. RR )
22	21	ad2antrl 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. RR )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. RR )
24		qre 10004	. . . . . . . . 9 |- ( v e. QQ -> v e. RR )
25	24	ad2antrl 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. RR )
26	23, 25	crred 11720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) = u )
27		simplrl 541	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. QQ )
28	26, 27	eqeltrd 2315	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ )
29	23, 25	crimd 11721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) = v )
30		simprl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. QQ )
31	29, 30	eqeltrd 2315	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ )
32	28, 31	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
33		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( Re ` z ) = ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) )
34	33	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( Re ` z ) e. QQ <-> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
35		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( Im ` z ) = ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) )
36	35	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( Im ` z ) e. QQ <-> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
37	34, 36	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) <-> ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) ) )
38		qdencn.q	. . . . . 6 |- Q = { z e. CC | ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) }
39	37, 38	elrab2 2985	. . . . 5 |- ( ( u + ( _i x. v ) ) e. Q <-> ( ( u + ( _i x. v ) ) e. CC /\ ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) ) )
40	20, 32, 39	sylanbrc 421	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u + ( _i x. v ) ) e. Q )
41	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> A e. CC )
42	20, 41	subcld 8627	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) e. CC )
43	42	abscld 11925	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) e. RR )
44	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
45	44	recnd 8344	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. CC )
46	14, 45	subcld 8627	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u - ( Re ` A ) ) e. CC )
47	46	abscld 11925	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) e. RR )
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. RR )
49	48	recnd 8344	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. CC )
50	18, 49	subcld 8627	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( v - ( Im ` A ) ) e. CC )
51	50	abscld 11925	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) e. RR )
52	47, 51	readdcld 8345	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) e. RR )
53	3	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> B e. RR+ )
54	53	rpred 10076	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> B e. RR )
55	1	replimd 11685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
56	55	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
57	56	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
58	16, 49	mulcld 8336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
59	14, 19, 45, 58	addsub4d 8674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
61	60	fveq2d 5694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) = ( abs ` ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
62	19, 58	subcld 8627	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
63	46, 62	abstrid 11940	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
64	61, 63	eqbrtrd 4147	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
65	16, 50	absmuld 11938	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
66	16, 18, 49	subdid 8731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
67	66	fveq2d 5694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
68		absi 11803	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` _i ) = 1
69	68	oveq1i 6085	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
70	51	recnd 8344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) e. CC )
71	70	mullidd 8334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( 1 x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
72	69, 71	eqtrid 2283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
73	65, 67, 72	3eqtr3d 2279	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
74	73	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
75	64, 74	breqtrd 4151	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
76		simplrr 542	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
77		simprr 537	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
78	47, 51, 54, 76, 77	lt2halvesd 9532	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) < B )
79	43, 52, 54, 75, 78	lelttrd 8441	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B )
80		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( x - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) )
81	80	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) = ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) )
82	81	breq1d 4135	. . . . 5 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( abs ` ( x - A ) ) < B <-> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B ) )
83	82	rspcev 2929	. . . 4 |- ( ( ( u + ( _i x. v ) ) e. Q /\ ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
84	40, 79, 83	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
85	11, 84	rexlimddv 2673	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
86	6, 85	rexlimddv 2673	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   {crab 2532   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   1c1 8170   _ici 8171   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   / cdiv 8992   2c2 9334   QQcq 9998   RR+crp 10033   Recre 11583   Imcim 11584   abscabs 11741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743

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