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Mathbox for Jim Kingdon |
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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > qdencn | Unicode version |
Description: The set of complex
numbers whose real and imaginary parts are rational
is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to
qdenre 11203 (and also would hold for ![]() ![]() ![]() |
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qdencn.q |
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qdencn |
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1 | simpl 109 |
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2 | 1 | recld 10939 |
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3 | simpr 110 |
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4 | 3 | rphalfcld 9704 |
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5 | qdenre 11203 |
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6 | 2, 4, 5 | syl2anc 411 |
. 2
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7 | simpll 527 |
. . . . 5
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8 | 7 | imcld 10940 |
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9 | 4 | adantr 276 |
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10 | qdenre 11203 |
. . . 4
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11 | 8, 9, 10 | syl2anc 411 |
. . 3
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12 | qcn 9629 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | ad2antrl 490 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | adantr 276 |
. . . . . 6
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15 | ax-icn 7902 |
. . . . . . . 8
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16 | 15 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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17 | qcn 9629 |
. . . . . . . 8
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18 | 17 | ad2antrl 490 |
. . . . . . 7
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19 | 16, 18 | mulcld 7973 |
. . . . . 6
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20 | 14, 19 | addcld 7972 |
. . . . 5
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21 | qre 9620 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | adantr 276 |
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24 | qre 9620 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . 8
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26 | 23, 25 | crred 10977 |
. . . . . . 7
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27 | simplrl 535 |
. . . . . . 7
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28 | 26, 27 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
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29 | 23, 25 | crimd 10978 |
. . . . . . 7
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30 | simprl 529 |
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31 | 29, 30 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
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32 | 28, 31 | jca 306 |
. . . . 5
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33 | fveq2 5513 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | eleq1d 2246 |
. . . . . . 7
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35 | fveq2 5513 |
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36 | 35 | eleq1d 2246 |
. . . . . . 7
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37 | 34, 36 | anbi12d 473 |
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38 | qdencn.q |
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39 | 37, 38 | elrab2 2896 |
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40 | 20, 32, 39 | sylanbrc 417 |
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41 | 7 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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42 | 20, 41 | subcld 8263 |
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57 | 56 | ad2antrr 488 |
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59 | 14, 19, 45, 58 | addsub4d 8310 |
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61 | 60 | fveq2d 5517 |
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62 | 19, 58 | subcld 8263 |
. . . . . . . 8
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63 | 46, 62 | abstrid 11197 |
. . . . . . 7
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64 | 61, 63 | eqbrtrd 4024 |
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65 | 16, 50 | absmuld 11195 |
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67 | 66 | fveq2d 5517 |
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69 | 68 | oveq1i 5881 |
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70 | 51 | recnd 7981 |
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71 | 70 | mulid2d 7971 |
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72 | 69, 71 | eqtrid 2222 |
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73 | 65, 67, 72 | 3eqtr3d 2218 |
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74 | 73 | oveq2d 5887 |
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75 | 64, 74 | breqtrd 4028 |
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77 | simprr 531 |
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78 | 47, 51, 54, 76, 77 | lt2halvesd 9161 |
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79 | 43, 52, 54, 75, 78 | lelttrd 8077 |
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80 | oveq1 5878 |
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81 | 80 | fveq2d 5517 |
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82 | 81 | breq1d 4012 |
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83 | 82 | rspcev 2841 |
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84 | 40, 79, 83 | syl2anc 411 |
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85 | 11, 84 | rexlimddv 2599 |
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86 | 6, 85 | rexlimddv 2599 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4117 ax-sep 4120 ax-nul 4128 ax-pow 4173 ax-pr 4208 ax-un 4432 ax-setind 4535 ax-iinf 4586 ax-cnex 7898 ax-resscn 7899 ax-1cn 7900 ax-1re 7901 ax-icn 7902 ax-addcl 7903 ax-addrcl 7904 ax-mulcl 7905 ax-mulrcl 7906 ax-addcom 7907 ax-mulcom 7908 ax-addass 7909 ax-mulass 7910 ax-distr 7911 ax-i2m1 7912 ax-0lt1 7913 ax-1rid 7914 ax-0id 7915 ax-rnegex 7916 ax-precex 7917 ax-cnre 7918 ax-pre-ltirr 7919 ax-pre-ltwlin 7920 ax-pre-lttrn 7921 ax-pre-apti 7922 ax-pre-ltadd 7923 ax-pre-mulgt0 7924 ax-pre-mulext 7925 ax-arch 7926 ax-caucvg 7927 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4003 df-opab 4064 df-mpt 4065 df-tr 4101 df-id 4292 df-po 4295 df-iso 4296 df-iord 4365 df-on 4367 df-ilim 4368 df-suc 4370 df-iom 4589 df-xp 4631 df-rel 4632 df-cnv 4633 df-co 4634 df-dm 4635 df-rn 4636 df-res 4637 df-ima 4638 df-iota 5176 df-fun 5216 df-fn 5217 df-f 5218 df-f1 5219 df-fo 5220 df-f1o 5221 df-fv 5222 df-riota 5827 df-ov 5874 df-oprab 5875 df-mpo 5876 df-1st 6137 df-2nd 6138 df-recs 6302 df-frec 6388 df-pnf 7989 df-mnf 7990 df-xr 7991 df-ltxr 7992 df-le 7993 df-sub 8125 df-neg 8126 df-reap 8527 df-ap 8534 df-div 8625 df-inn 8915 df-2 8973 df-3 8974 df-4 8975 df-n0 9172 df-z 9249 df-uz 9524 df-q 9615 df-rp 9649 df-seqfrec 10440 df-exp 10514 df-cj 10843 df-re 10844 df-im 10845 df-rsqrt 10999 df-abs 11000 |
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