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Theorem qdencn 14626
Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11203 (and also would hold for  RR  X.  RR with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
qdencn.q  |-  Q  =  { z  e.  CC  |  ( ( Re
`  z )  e.  QQ  /\  ( Im
`  z )  e.  QQ ) }
Assertion
Ref Expression
qdencn  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, Q
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z)    Q( z)

Proof of Theorem qdencn
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
21recld 10939 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
3 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
43rphalfcld 9704 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  /  2
)  e.  RR+ )
5 qdenre 11203 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( B  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  QQ  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
62, 4, 5syl2anc 411 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  QQ  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
7 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
87imcld 10940 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
94adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( B  /  2 )  e.  RR+ )
10 qdenre 11203 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  ( B  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  QQ  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
118, 9, 10syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. v  e.  QQ  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) )
12 qcn 9629 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  QQ  ->  u  e.  CC )
1312ad2antrl 490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  CC )
1413adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  CC )
15 ax-icn 7902 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1615a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
17 qcn 9629 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  QQ  ->  v  e.  CC )
1817ad2antrl 490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  CC )
1916, 18mulcld 7973 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  v )  e.  CC )
2014, 19addcld 7972 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  CC )
21 qre 9620 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  QQ  ->  u  e.  RR )
2221ad2antrl 490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  RR )
2322adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  RR )
24 qre 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  QQ  ->  v  e.  RR )
2524ad2antrl 490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  RR )
2623, 25crred 10977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  =  u )
27 simplrl 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  QQ )
2826, 27eqeltrd 2254 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ )
2923, 25crimd 10978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  =  v )
30 simprl 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  QQ )
3129, 30eqeltrd 2254 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ )
3228, 31jca 306 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ  /\  (
Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
33 fveq2 5513 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
Re `  z )  =  ( Re `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) ) )
3433eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( Re `  z
)  e.  QQ  <->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
35 fveq2 5513 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
Im `  z )  =  ( Im `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) ) )
3635eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( Im `  z
)  e.  QQ  <->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
3734, 36anbi12d 473 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( ( Re `  z )  e.  QQ  /\  ( Im `  z
)  e.  QQ )  <-> 
( ( Re `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) )  e.  QQ  /\  ( Im `  (
u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) ) )
38 qdencn.q . . . . . 6  |-  Q  =  { z  e.  CC  |  ( ( Re
`  z )  e.  QQ  /\  ( Im
`  z )  e.  QQ ) }
3937, 38elrab2 2896 . . . . 5  |-  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q  <->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  CC  /\  (
( Re `  (
u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ  /\  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) ) )
4020, 32, 39sylanbrc 417 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q )
417adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
4220, 41subcld 8263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  e.  CC )
4342abscld 11182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  e.  RR )
442ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
4544recnd 7981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  CC )
4614, 45subcld 8263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  -  ( Re `  A ) )  e.  CC )
4746abscld 11182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  e.  RR )
488adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
4948recnd 7981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
5018, 49subcld 8263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( v  -  ( Im `  A ) )  e.  CC )
5150abscld 11182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  e.  RR )
5247, 51readdcld 7982 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR )
533ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
5453rpred 9691 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR )
551replimd 10942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
5655oveq2d 5887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
)  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
5756ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
5816, 49mulcld 7973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( Im `  A
) )  e.  CC )
5914, 19, 45, 58addsub4d 8310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
6057, 59eqtrd 2210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  =  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
6160fveq2d 5517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  =  ( abs `  ( ( u  -  ( Re
`  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
6219, 58subcld 8263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
_i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
6346, 62abstrid 11197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
6461, 63eqbrtrd 4024 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <_  (
( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
6516, 50absmuld 11195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( _i  x.  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) ) )
6616, 18, 49subdid 8366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( v  -  (
Im `  A )
) )  =  ( ( _i  x.  v
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
6766fveq2d 5517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( _i  x.  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
68 absi 11060 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  _i )  =  1
6968oveq1i 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) )
7051recnd 7981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  e.  CC )
7170mulid2d 7971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )
7269, 71eqtrid 2222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )
7365, 67, 723eqtr3d 2218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) )
7473oveq2d 5887 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) ) )
7564, 74breqtrd 4028 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <_  (
( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) ) )
76 simplrr 536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) )
77 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) )
7847, 51, 54, 76, 77lt2halvesd 9161 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )  <  B )
7943, 52, 54, 75, 78lelttrd 8077 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <  B
)
80 oveq1 5878 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
x  -  A )  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) )
8180fveq2d 5517 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  ( abs `  ( x  -  A ) )  =  ( abs `  (
( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) ) )
8281breq1d 4012 . . . . 5  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  <->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <  B
) )
8382rspcev 2841 . . . 4  |-  ( ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q  /\  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) )  <  B )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
8440, 79, 83syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B
)
8511, 84rexlimddv 2599 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B
)
866, 85rexlimddv 2599 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456   {crab 2459   class class class wbr 4002   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   CCcc 7805   RRcr 7806   1c1 7808   _ici 7809    + caddc 7810    x. cmul 7812    < clt 7987    <_ cle 7988    - cmin 8123    / cdiv 8624   2c2 8965   QQcq 9614   RR+crp 9648   Recre 10841   Imcim 10842   abscabs 10998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926  ax-caucvg 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-frec 6388  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-rp 9649  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000
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