Theorem qdencn 14431

Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11195 (and also would hold for RR X. RR with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qdencn.q	|- Q = { z e. CC | ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) }

Assertion

Ref	Expression
qdencn	|- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, Q

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z)   Q( z)

Proof of Theorem qdencn

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> A e. CC )
2	1	recld 10931	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( Re ` A ) e. RR )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
4	3	rphalfcld 9696	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
5		qdenre 11195	. . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( B / 2 ) e. RR+ ) -> E. u e. QQ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. u e. QQ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
7		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> A e. CC )
8	7	imcld 10932	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. RR )
9	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
10		qdenre 11195	. . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ ( B / 2 ) e. RR+ ) -> E. v e. QQ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. v e. QQ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
12		qcn 9623	. . . . . . . 8 |- ( u e. QQ -> u e. CC )
13	12	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. CC )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. CC )
15		ax-icn 7897	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
16	15	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> _i e. CC )
17		qcn 9623	. . . . . . . 8 |- ( v e. QQ -> v e. CC )
18	17	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. CC )
19	16, 18	mulcld 7968	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. v ) e. CC )
20	14, 19	addcld 7967	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u + ( _i x. v ) ) e. CC )
21		qre 9614	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. QQ -> u e. RR )
22	21	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. RR )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. RR )
24		qre 9614	. . . . . . . . 9 |- ( v e. QQ -> v e. RR )
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. RR )
26	23, 25	crred 10969	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) = u )
27		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. QQ )
28	26, 27	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ )
29	23, 25	crimd 10970	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) = v )
30		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. QQ )
31	29, 30	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ )
32	28, 31	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
33		fveq2 5511	. . . . . . . 8 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( Re ` z ) = ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) )
34	33	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( Re ` z ) e. QQ <-> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
35		fveq2 5511	. . . . . . . 8 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( Im ` z ) = ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) )
36	35	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( Im ` z ) e. QQ <-> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
37	34, 36	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) <-> ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) ) )
38		qdencn.q	. . . . . 6 |- Q = { z e. CC | ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) }
39	37, 38	elrab2 2896	. . . . 5 |- ( ( u + ( _i x. v ) ) e. Q <-> ( ( u + ( _i x. v ) ) e. CC /\ ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) ) )
40	20, 32, 39	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u + ( _i x. v ) ) e. Q )
41	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> A e. CC )
42	20, 41	subcld 8258	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) e. CC )
43	42	abscld 11174	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) e. RR )
44	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
45	44	recnd 7976	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. CC )
46	14, 45	subcld 8258	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u - ( Re ` A ) ) e. CC )
47	46	abscld 11174	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) e. RR )
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. RR )
49	48	recnd 7976	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. CC )
50	18, 49	subcld 8258	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( v - ( Im ` A ) ) e. CC )
51	50	abscld 11174	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) e. RR )
52	47, 51	readdcld 7977	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) e. RR )
53	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> B e. RR+ )
54	53	rpred 9683	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> B e. RR )
55	1	replimd 10934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
56	55	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
58	16, 49	mulcld 7968	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
59	14, 19, 45, 58	addsub4d 8305	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
61	60	fveq2d 5515	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) = ( abs ` ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
62	19, 58	subcld 8258	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
63	46, 62	abstrid 11189	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
64	61, 63	eqbrtrd 4022	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
65	16, 50	absmuld 11187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
66	16, 18, 49	subdid 8361	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
67	66	fveq2d 5515	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
68		absi 11052	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` _i ) = 1
69	68	oveq1i 5879	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
70	51	recnd 7976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) e. CC )
71	70	mulid2d 7966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( 1 x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
72	69, 71	eqtrid 2222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
73	65, 67, 72	3eqtr3d 2218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
74	73	oveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
75	64, 74	breqtrd 4026	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
76		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
77		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
78	47, 51, 54, 76, 77	lt2halvesd 9155	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) < B )
79	43, 52, 54, 75, 78	lelttrd 8072	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B )
80		oveq1 5876	. . . . . . 7 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( x - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) )
81	80	fveq2d 5515	. . . . . 6 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) = ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) )
82	81	breq1d 4010	. . . . 5 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( abs ` ( x - A ) ) < B <-> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B ) )
83	82	rspcev 2841	. . . 4 |- ( ( ( u + ( _i x. v ) ) e. Q /\ ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
84	40, 79, 83	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
85	11, 84	rexlimddv 2599	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
86	6, 85	rexlimddv 2599	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   {crab 2459   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   1c1 7803   _ici 7804   + caddc 7805   x. cmul 7807   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   / cdiv 8618   2c2 8959   QQcq 9608   RR+crp 9640   Recre 10833   Imcim 10834   abscabs 10990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992

This theorem is referenced by: (None)