Theorem qdencn 16807

Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11887 (and also would hold for RR X. RR with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qdencn.q	|- Q = { z e. CC | ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) }

Assertion

Ref	Expression
qdencn	|- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, Q

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z)   Q( z)

Proof of Theorem qdencn

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> A e. CC )
2	1	recld 11623	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( Re ` A ) e. RR )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
4	3	rphalfcld 10042	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
5		qdenre 11887	. . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( B / 2 ) e. RR+ ) -> E. u e. QQ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. u e. QQ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
7		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> A e. CC )
8	7	imcld 11624	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. RR )
9	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
10		qdenre 11887	. . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ ( B / 2 ) e. RR+ ) -> E. v e. QQ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. v e. QQ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
12		qcn 9966	. . . . . . . 8 |- ( u e. QQ -> u e. CC )
13	12	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. CC )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. CC )
15		ax-icn 8222	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
16	15	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> _i e. CC )
17		qcn 9966	. . . . . . . 8 |- ( v e. QQ -> v e. CC )
18	17	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. CC )
19	16, 18	mulcld 8294	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. v ) e. CC )
20	14, 19	addcld 8293	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u + ( _i x. v ) ) e. CC )
21		qre 9957	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. QQ -> u e. RR )
22	21	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. RR )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. RR )
24		qre 9957	. . . . . . . . 9 |- ( v e. QQ -> v e. RR )
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. RR )
26	23, 25	crred 11661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) = u )
27		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. QQ )
28	26, 27	eqeltrd 2309	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ )
29	23, 25	crimd 11662	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) = v )
30		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. QQ )
31	29, 30	eqeltrd 2309	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ )
32	28, 31	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
33		fveq2 5670	. . . . . . . 8 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( Re ` z ) = ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) )
34	33	eleq1d 2301	. . . . . . 7 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( Re ` z ) e. QQ <-> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
35		fveq2 5670	. . . . . . . 8 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( Im ` z ) = ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) )
36	35	eleq1d 2301	. . . . . . 7 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( Im ` z ) e. QQ <-> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
37	34, 36	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) <-> ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) ) )
38		qdencn.q	. . . . . 6 |- Q = { z e. CC | ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) }
39	37, 38	elrab2 2976	. . . . 5 |- ( ( u + ( _i x. v ) ) e. Q <-> ( ( u + ( _i x. v ) ) e. CC /\ ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) ) )
40	20, 32, 39	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u + ( _i x. v ) ) e. Q )
41	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> A e. CC )
42	20, 41	subcld 8584	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) e. CC )
43	42	abscld 11866	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) e. RR )
44	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
45	44	recnd 8302	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. CC )
46	14, 45	subcld 8584	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u - ( Re ` A ) ) e. CC )
47	46	abscld 11866	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) e. RR )
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. RR )
49	48	recnd 8302	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. CC )
50	18, 49	subcld 8584	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( v - ( Im ` A ) ) e. CC )
51	50	abscld 11866	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) e. RR )
52	47, 51	readdcld 8303	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) e. RR )
53	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> B e. RR+ )
54	53	rpred 10029	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> B e. RR )
55	1	replimd 11626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
56	55	oveq2d 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
58	16, 49	mulcld 8294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
59	14, 19, 45, 58	addsub4d 8631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
61	60	fveq2d 5674	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) = ( abs ` ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
62	19, 58	subcld 8584	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
63	46, 62	abstrid 11881	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
64	61, 63	eqbrtrd 4131	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
65	16, 50	absmuld 11879	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
66	16, 18, 49	subdid 8687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
67	66	fveq2d 5674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
68		absi 11744	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` _i ) = 1
69	68	oveq1i 6060	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
70	51	recnd 8302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) e. CC )
71	70	mullidd 8292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( 1 x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
72	69, 71	eqtrid 2277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
73	65, 67, 72	3eqtr3d 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
74	73	oveq2d 6066	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
75	64, 74	breqtrd 4135	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
76		simplrr 538	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
77		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
78	47, 51, 54, 76, 77	lt2halvesd 9486	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) < B )
79	43, 52, 54, 75, 78	lelttrd 8398	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B )
80		oveq1 6057	. . . . . . 7 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( x - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) )
81	80	fveq2d 5674	. . . . . 6 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) = ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) )
82	81	breq1d 4119	. . . . 5 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( abs ` ( x - A ) ) < B <-> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B ) )
83	82	rspcev 2921	. . . 4 |- ( ( ( u + ( _i x. v ) ) e. Q /\ ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
84	40, 79, 83	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
85	11, 84	rexlimddv 2665	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
86	6, 85	rexlimddv 2665	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   {crab 2524   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   RRcr 8126   1c1 8128   _ici 8129   + caddc 8130   x. cmul 8132   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   / cdiv 8946   2c2 9288   QQcq 9951   RR+crp 9986   Recre 11525   Imcim 11526   abscabs 11682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684

This theorem is referenced by: (None)