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Mathbox for Jim Kingdon |
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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > qdencn | Unicode version |
Description: The set of complex
numbers whose real and imaginary parts are rational
is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to
qdenre 11246 (and also would hold for ![]() ![]() ![]() |
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qdencn.q |
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qdencn |
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1 | simpl 109 |
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2 | 1 | recld 10982 |
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3 | simpr 110 |
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4 | 3 | rphalfcld 9741 |
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5 | qdenre 11246 |
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6 | 2, 4, 5 | syl2anc 411 |
. 2
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7 | simpll 527 |
. . . . 5
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8 | 7 | imcld 10983 |
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9 | 4 | adantr 276 |
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10 | qdenre 11246 |
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11 | 8, 9, 10 | syl2anc 411 |
. . 3
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12 | qcn 9666 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | ad2antrl 490 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | adantr 276 |
. . . . . 6
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15 | ax-icn 7937 |
. . . . . . . 8
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16 | 15 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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17 | qcn 9666 |
. . . . . . . 8
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18 | 17 | ad2antrl 490 |
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19 | 16, 18 | mulcld 8009 |
. . . . . 6
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20 | 14, 19 | addcld 8008 |
. . . . 5
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21 | qre 9657 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | adantr 276 |
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24 | qre 9657 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . 8
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26 | 23, 25 | crred 11020 |
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27 | simplrl 535 |
. . . . . . 7
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28 | 26, 27 | eqeltrd 2266 |
. . . . . 6
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29 | 23, 25 | crimd 11021 |
. . . . . . 7
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30 | simprl 529 |
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31 | 29, 30 | eqeltrd 2266 |
. . . . . 6
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32 | 28, 31 | jca 306 |
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33 | fveq2 5534 |
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34 | 33 | eleq1d 2258 |
. . . . . . 7
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35 | fveq2 5534 |
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36 | 35 | eleq1d 2258 |
. . . . . . 7
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37 | 34, 36 | anbi12d 473 |
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38 | qdencn.q |
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39 | 37, 38 | elrab2 2911 |
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40 | 20, 32, 39 | sylanbrc 417 |
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41 | 7 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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42 | 20, 41 | subcld 8299 |
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57 | 56 | ad2antrr 488 |
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59 | 14, 19, 45, 58 | addsub4d 8346 |
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63 | 46, 62 | abstrid 11240 |
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70 | 51 | recnd 8017 |
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71 | 70 | mulid2d 8007 |
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72 | 69, 71 | eqtrid 2234 |
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73 | 65, 67, 72 | 3eqtr3d 2230 |
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74 | 73 | oveq2d 5913 |
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75 | 64, 74 | breqtrd 4044 |
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77 | simprr 531 |
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78 | 47, 51, 54, 76, 77 | lt2halvesd 9197 |
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79 | 43, 52, 54, 75, 78 | lelttrd 8113 |
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80 | oveq1 5904 |
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81 | 80 | fveq2d 5538 |
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82 | 81 | breq1d 4028 |
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83 | 82 | rspcev 2856 |
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84 | 40, 79, 83 | syl2anc 411 |
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85 | 11, 84 | rexlimddv 2612 |
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86 | 6, 85 | rexlimddv 2612 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7933 ax-resscn 7934 ax-1cn 7935 ax-1re 7936 ax-icn 7937 ax-addcl 7938 ax-addrcl 7939 ax-mulcl 7940 ax-mulrcl 7941 ax-addcom 7942 ax-mulcom 7943 ax-addass 7944 ax-mulass 7945 ax-distr 7946 ax-i2m1 7947 ax-0lt1 7948 ax-1rid 7949 ax-0id 7950 ax-rnegex 7951 ax-precex 7952 ax-cnre 7953 ax-pre-ltirr 7954 ax-pre-ltwlin 7955 ax-pre-lttrn 7956 ax-pre-apti 7957 ax-pre-ltadd 7958 ax-pre-mulgt0 7959 ax-pre-mulext 7960 ax-arch 7961 ax-caucvg 7962 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-riota 5852 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-recs 6331 df-frec 6417 df-pnf 8025 df-mnf 8026 df-xr 8027 df-ltxr 8028 df-le 8029 df-sub 8161 df-neg 8162 df-reap 8563 df-ap 8570 df-div 8661 df-inn 8951 df-2 9009 df-3 9010 df-4 9011 df-n0 9208 df-z 9285 df-uz 9560 df-q 9652 df-rp 9686 df-seqfrec 10479 df-exp 10554 df-cj 10886 df-re 10887 df-im 10888 df-rsqrt 11042 df-abs 11043 |
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