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Theorem qdencn 12914
Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 10866 (and also would hold for  RR  X.  RR with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
qdencn.q  |-  Q  =  { z  e.  CC  |  ( ( Re
`  z )  e.  QQ  /\  ( Im
`  z )  e.  QQ ) }
Assertion
Ref Expression
qdencn  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, Q
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z)    Q( z)

Proof of Theorem qdencn
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
21recld 10603 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
3 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
43rphalfcld 9395 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  /  2
)  e.  RR+ )
5 qdenre 10866 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( B  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  QQ  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
62, 4, 5syl2anc 406 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  QQ  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
7 simpll 501 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
87imcld 10604 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
94adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( B  /  2 )  e.  RR+ )
10 qdenre 10866 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  ( B  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  QQ  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
118, 9, 10syl2anc 406 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. v  e.  QQ  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) )
12 qcn 9328 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  QQ  ->  u  e.  CC )
1312ad2antrl 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  CC )
1413adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  CC )
15 ax-icn 7640 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1615a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
17 qcn 9328 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  QQ  ->  v  e.  CC )
1817ad2antrl 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  CC )
1916, 18mulcld 7710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  v )  e.  CC )
2014, 19addcld 7709 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  CC )
21 qre 9319 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  QQ  ->  u  e.  RR )
2221ad2antrl 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  RR )
2322adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  RR )
24 qre 9319 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  QQ  ->  v  e.  RR )
2524ad2antrl 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  RR )
2623, 25crred 10641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  =  u )
27 simplrl 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  QQ )
2826, 27eqeltrd 2191 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ )
2923, 25crimd 10642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  =  v )
30 simprl 503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  QQ )
3129, 30eqeltrd 2191 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ )
3228, 31jca 302 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ  /\  (
Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
33 fveq2 5375 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
Re `  z )  =  ( Re `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) ) )
3433eleq1d 2183 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( Re `  z
)  e.  QQ  <->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
35 fveq2 5375 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
Im `  z )  =  ( Im `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) ) )
3635eleq1d 2183 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( Im `  z
)  e.  QQ  <->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
3734, 36anbi12d 462 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( ( Re `  z )  e.  QQ  /\  ( Im `  z
)  e.  QQ )  <-> 
( ( Re `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) )  e.  QQ  /\  ( Im `  (
u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) ) )
38 qdencn.q . . . . . 6  |-  Q  =  { z  e.  CC  |  ( ( Re
`  z )  e.  QQ  /\  ( Im
`  z )  e.  QQ ) }
3937, 38elrab2 2812 . . . . 5  |-  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q  <->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  CC  /\  (
( Re `  (
u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ  /\  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) ) )
4020, 32, 39sylanbrc 411 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q )
417adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
4220, 41subcld 7996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  e.  CC )
4342abscld 10845 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  e.  RR )
442ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
4544recnd 7718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  CC )
4614, 45subcld 7996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  -  ( Re `  A ) )  e.  CC )
4746abscld 10845 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  e.  RR )
488adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
4948recnd 7718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
5018, 49subcld 7996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( v  -  ( Im `  A ) )  e.  CC )
5150abscld 10845 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  e.  RR )
5247, 51readdcld 7719 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR )
533ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
5453rpred 9382 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR )
551replimd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
5655oveq2d 5744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
)  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
5756ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
5816, 49mulcld 7710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( Im `  A
) )  e.  CC )
5914, 19, 45, 58addsub4d 8043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
6057, 59eqtrd 2147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  =  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
6160fveq2d 5379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  =  ( abs `  ( ( u  -  ( Re
`  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
6219, 58subcld 7996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
_i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
6346, 62abstrid 10860 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
6461, 63eqbrtrd 3915 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <_  (
( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
6516, 50absmuld 10858 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( _i  x.  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) ) )
6616, 18, 49subdid 8095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( v  -  (
Im `  A )
) )  =  ( ( _i  x.  v
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
6766fveq2d 5379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( _i  x.  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
68 absi 10723 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  _i )  =  1
6968oveq1i 5738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) )
7051recnd 7718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  e.  CC )
7170mulid2d 7708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )
7269, 71syl5eq 2159 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )
7365, 67, 723eqtr3d 2155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) )
7473oveq2d 5744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) ) )
7564, 74breqtrd 3919 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <_  (
( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) ) )
76 simplrr 508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) )
77 simprr 504 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) )
7847, 51, 54, 76, 77lt2halvesd 8871 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )  <  B )
7943, 52, 54, 75, 78lelttrd 7810 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <  B
)
80 oveq1 5735 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
x  -  A )  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) )
8180fveq2d 5379 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  ( abs `  ( x  -  A ) )  =  ( abs `  (
( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) ) )
8281breq1d 3905 . . . . 5  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  <->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <  B
) )
8382rspcev 2760 . . . 4  |-  ( ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q  /\  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) )  <  B )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
8440, 79, 83syl2anc 406 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B
)
8511, 84rexlimddv 2528 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B
)
866, 85rexlimddv 2528 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   E.wrex 2391   {crab 2394   class class class wbr 3895   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   CCcc 7545   RRcr 7546   1c1 7548   _ici 7549    + caddc 7550    x. cmul 7552    < clt 7724    <_ cle 7725    - cmin 7856    / cdiv 8345   2c2 8681   QQcq 9313   RR+crp 9343   Recre 10505   Imcim 10506   abscabs 10661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663
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