Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qdencn Unicode version

Theorem qdencn 14336
Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11179 (and also would hold for  RR  X.  RR with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
qdencn.q  |-  Q  =  { z  e.  CC  |  ( ( Re
`  z )  e.  QQ  /\  ( Im
`  z )  e.  QQ ) }
Assertion
Ref Expression
qdencn  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, Q
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z)    Q( z)

Proof of Theorem qdencn
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
21recld 10915 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
3 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
43rphalfcld 9680 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  /  2
)  e.  RR+ )
5 qdenre 11179 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( B  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  QQ  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
62, 4, 5syl2anc 411 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  QQ  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
7 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
87imcld 10916 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
94adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( B  /  2 )  e.  RR+ )
10 qdenre 11179 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  ( B  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  QQ  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
118, 9, 10syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. v  e.  QQ  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) )
12 qcn 9607 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  QQ  ->  u  e.  CC )
1312ad2antrl 490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  CC )
1413adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  CC )
15 ax-icn 7881 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1615a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
17 qcn 9607 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  QQ  ->  v  e.  CC )
1817ad2antrl 490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  CC )
1916, 18mulcld 7952 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  v )  e.  CC )
2014, 19addcld 7951 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  CC )
21 qre 9598 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  QQ  ->  u  e.  RR )
2221ad2antrl 490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  RR )
2322adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  RR )
24 qre 9598 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  QQ  ->  v  e.  RR )
2524ad2antrl 490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  RR )
2623, 25crred 10953 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  =  u )
27 simplrl 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  QQ )
2826, 27eqeltrd 2252 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ )
2923, 25crimd 10954 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  =  v )
30 simprl 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  QQ )
3129, 30eqeltrd 2252 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ )
3228, 31jca 306 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ  /\  (
Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
33 fveq2 5507 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
Re `  z )  =  ( Re `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) ) )
3433eleq1d 2244 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( Re `  z
)  e.  QQ  <->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
35 fveq2 5507 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
Im `  z )  =  ( Im `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) ) )
3635eleq1d 2244 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( Im `  z
)  e.  QQ  <->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
3734, 36anbi12d 473 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( ( Re `  z )  e.  QQ  /\  ( Im `  z
)  e.  QQ )  <-> 
( ( Re `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) )  e.  QQ  /\  ( Im `  (
u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) ) )
38 qdencn.q . . . . . 6  |-  Q  =  { z  e.  CC  |  ( ( Re
`  z )  e.  QQ  /\  ( Im
`  z )  e.  QQ ) }
3937, 38elrab2 2894 . . . . 5  |-  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q  <->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  CC  /\  (
( Re `  (
u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ  /\  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) ) )
4020, 32, 39sylanbrc 417 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q )
417adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
4220, 41subcld 8242 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  e.  CC )
4342abscld 11158 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  e.  RR )
442ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
4544recnd 7960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  CC )
4614, 45subcld 8242 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  -  ( Re `  A ) )  e.  CC )
4746abscld 11158 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  e.  RR )
488adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
4948recnd 7960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
5018, 49subcld 8242 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( v  -  ( Im `  A ) )  e.  CC )
5150abscld 11158 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  e.  RR )
5247, 51readdcld 7961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR )
533ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
5453rpred 9667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR )
551replimd 10918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
5655oveq2d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
)  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
5756ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
5816, 49mulcld 7952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( Im `  A
) )  e.  CC )
5914, 19, 45, 58addsub4d 8289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
6057, 59eqtrd 2208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  =  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
6160fveq2d 5511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  =  ( abs `  ( ( u  -  ( Re
`  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
6219, 58subcld 8242 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
_i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
6346, 62abstrid 11173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
6461, 63eqbrtrd 4020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <_  (
( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
6516, 50absmuld 11171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( _i  x.  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) ) )
6616, 18, 49subdid 8345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( v  -  (
Im `  A )
) )  =  ( ( _i  x.  v
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
6766fveq2d 5511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( _i  x.  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
68 absi 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  _i )  =  1
6968oveq1i 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) )
7051recnd 7960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  e.  CC )
7170mulid2d 7950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )
7269, 71eqtrid 2220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )
7365, 67, 723eqtr3d 2216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) )
7473oveq2d 5881 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) ) )
7564, 74breqtrd 4024 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <_  (
( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) ) )
76 simplrr 536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) )
77 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) )
7847, 51, 54, 76, 77lt2halvesd 9139 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )  <  B )
7943, 52, 54, 75, 78lelttrd 8056 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <  B
)
80 oveq1 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
x  -  A )  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) )
8180fveq2d 5511 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  ( abs `  ( x  -  A ) )  =  ( abs `  (
( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) ) )
8281breq1d 4008 . . . . 5  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  <->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <  B
) )
8382rspcev 2839 . . . 4  |-  ( ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q  /\  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) )  <  B )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
8440, 79, 83syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B
)
8511, 84rexlimddv 2597 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B
)
866, 85rexlimddv 2597 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2146   E.wrex 2454   {crab 2457   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   1c1 7787   _ici 7788    + caddc 7789    x. cmul 7791    < clt 7966    <_ cle 7967    - cmin 8102    / cdiv 8602   2c2 8943   QQcq 9592   RR+crp 9624   Recre 10817   Imcim 10818   abscabs 10974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator