Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qdencn Unicode version

Theorem qdencn 13416
 Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11026 (and also would hold for with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
qdencn.q
Assertion
Ref Expression
qdencn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem qdencn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4
21recld 10762 . . 3
3 simpr 109 . . . 4
43rphalfcld 9546 . . 3
5 qdenre 11026 . . 3
62, 4, 5syl2anc 409 . 2
7 simpll 519 . . . . 5
87imcld 10763 . . . 4
94adantr 274 . . . 4
10 qdenre 11026 . . . 4
118, 9, 10syl2anc 409 . . 3
12 qcn 9473 . . . . . . . 8
1312ad2antrl 482 . . . . . . 7
1413adantr 274 . . . . . 6
15 ax-icn 7759 . . . . . . . 8
1615a1i 9 . . . . . . 7
17 qcn 9473 . . . . . . . 8
1817ad2antrl 482 . . . . . . 7
1916, 18mulcld 7830 . . . . . 6
2014, 19addcld 7829 . . . . 5
21 qre 9464 . . . . . . . . . 10
2221ad2antrl 482 . . . . . . . . 9
2322adantr 274 . . . . . . . 8
24 qre 9464 . . . . . . . . 9
2524ad2antrl 482 . . . . . . . 8
2623, 25crred 10800 . . . . . . 7
27 simplrl 525 . . . . . . 7
2826, 27eqeltrd 2217 . . . . . 6
2923, 25crimd 10801 . . . . . . 7
30 simprl 521 . . . . . . 7
3129, 30eqeltrd 2217 . . . . . 6
3228, 31jca 304 . . . . 5
33 fveq2 5430 . . . . . . . 8
3433eleq1d 2209 . . . . . . 7
35 fveq2 5430 . . . . . . . 8
3635eleq1d 2209 . . . . . . 7
3734, 36anbi12d 465 . . . . . 6
38 qdencn.q . . . . . 6
3937, 38elrab2 2848 . . . . 5
4020, 32, 39sylanbrc 414 . . . 4
417adantr 274 . . . . . . 7
4220, 41subcld 8117 . . . . . 6
4342abscld 11005 . . . . 5
442ad2antrr 480 . . . . . . . . 9
4544recnd 7838 . . . . . . . 8
4614, 45subcld 8117 . . . . . . 7
4746abscld 11005 . . . . . 6
488adantr 274 . . . . . . . . 9
4948recnd 7838 . . . . . . . 8
5018, 49subcld 8117 . . . . . . 7
5150abscld 11005 . . . . . 6
5247, 51readdcld 7839 . . . . 5
533ad2antrr 480 . . . . . 6
5453rpred 9533 . . . . 5
551replimd 10765 . . . . . . . . . . 11
5655oveq2d 5799 . . . . . . . . . 10
5756ad2antrr 480 . . . . . . . . 9
5816, 49mulcld 7830 . . . . . . . . . 10
5914, 19, 45, 58addsub4d 8164 . . . . . . . . 9
6057, 59eqtrd 2173 . . . . . . . 8
6160fveq2d 5434 . . . . . . 7
6219, 58subcld 8117 . . . . . . . 8
6346, 62abstrid 11020 . . . . . . 7
6461, 63eqbrtrd 3959 . . . . . 6
6516, 50absmuld 11018 . . . . . . . 8
6616, 18, 49subdid 8220 . . . . . . . . 9
6766fveq2d 5434 . . . . . . . 8
68 absi 10883 . . . . . . . . . 10
6968oveq1i 5793 . . . . . . . . 9
7051recnd 7838 . . . . . . . . . 10
7170mulid2d 7828 . . . . . . . . 9
7269, 71syl5eq 2185 . . . . . . . 8
7365, 67, 723eqtr3d 2181 . . . . . . 7
7473oveq2d 5799 . . . . . 6
7564, 74breqtrd 3963 . . . . 5
76 simplrr 526 . . . . . 6
77 simprr 522 . . . . . 6
7847, 51, 54, 76, 77lt2halvesd 9011 . . . . 5
7943, 52, 54, 75, 78lelttrd 7931 . . . 4
80 oveq1 5790 . . . . . . 7
8180fveq2d 5434 . . . . . 6
8281breq1d 3948 . . . . 5
8382rspcev 2794 . . . 4
8440, 79, 83syl2anc 409 . . 3
8511, 84rexlimddv 2558 . 2
866, 85rexlimddv 2558 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1332   wcel 1481  wrex 2418  crab 2421   class class class wbr 3938  cfv 5132  (class class class)co 5783  cc 7662  cr 7663  c1 7665  ci 7666   caddc 7667   cmul 7669   clt 7844   cle 7845   cmin 7977   cdiv 8476  c2 8815  cq 9458  crp 9490  cre 10664  cim 10665  cabs 10821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator