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Theorem qdencn 15254
Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11246 (and also would hold for  RR  X.  RR with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
qdencn.q  |-  Q  =  { z  e.  CC  |  ( ( Re
`  z )  e.  QQ  /\  ( Im
`  z )  e.  QQ ) }
Assertion
Ref Expression
qdencn  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, Q
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z)    Q( z)

Proof of Theorem qdencn
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
21recld 10982 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
3 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
43rphalfcld 9741 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  /  2
)  e.  RR+ )
5 qdenre 11246 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( B  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  QQ  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
62, 4, 5syl2anc 411 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  QQ  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
7 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
87imcld 10983 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
94adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( B  /  2 )  e.  RR+ )
10 qdenre 11246 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  ( B  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  QQ  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) )
118, 9, 10syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. v  e.  QQ  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) )
12 qcn 9666 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  QQ  ->  u  e.  CC )
1312ad2antrl 490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  CC )
1413adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  CC )
15 ax-icn 7937 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1615a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
17 qcn 9666 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  QQ  ->  v  e.  CC )
1817ad2antrl 490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  CC )
1916, 18mulcld 8009 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  v )  e.  CC )
2014, 19addcld 8008 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  CC )
21 qre 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  QQ  ->  u  e.  RR )
2221ad2antrl 490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  RR )
2322adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  RR )
24 qre 9657 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  QQ  ->  v  e.  RR )
2524ad2antrl 490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  RR )
2623, 25crred 11020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  =  u )
27 simplrl 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  u  e.  QQ )
2826, 27eqeltrd 2266 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ )
2923, 25crimd 11021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  =  v )
30 simprl 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  v  e.  QQ )
3129, 30eqeltrd 2266 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ )
3228, 31jca 306 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ  /\  (
Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
33 fveq2 5534 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
Re `  z )  =  ( Re `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) ) )
3433eleq1d 2258 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( Re `  z
)  e.  QQ  <->  ( Re `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
35 fveq2 5534 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
Im `  z )  =  ( Im `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) ) )
3635eleq1d 2258 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( Im `  z
)  e.  QQ  <->  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) )
3734, 36anbi12d 473 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( ( Re `  z )  e.  QQ  /\  ( Im `  z
)  e.  QQ )  <-> 
( ( Re `  ( u  +  (
_i  x.  v )
) )  e.  QQ  /\  ( Im `  (
u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) ) )
38 qdencn.q . . . . . 6  |-  Q  =  { z  e.  CC  |  ( ( Re
`  z )  e.  QQ  /\  ( Im
`  z )  e.  QQ ) }
3937, 38elrab2 2911 . . . . 5  |-  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q  <->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  CC  /\  (
( Re `  (
u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ  /\  ( Im `  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  e.  QQ ) ) )
4020, 32, 39sylanbrc 417 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q )
417adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
4220, 41subcld 8299 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  e.  CC )
4342abscld 11225 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  e.  RR )
442ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
4544recnd 8017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  CC )
4614, 45subcld 8299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( u  -  ( Re `  A ) )  e.  CC )
4746abscld 11225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  e.  RR )
488adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
4948recnd 8017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
5018, 49subcld 8299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( v  -  ( Im `  A ) )  e.  CC )
5150abscld 11225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  e.  RR )
5247, 51readdcld 8018 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR )
533ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
5453rpred 9728 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR )
551replimd 10985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
5655oveq2d 5913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
)  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
5756ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
5816, 49mulcld 8009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( Im `  A
) )  e.  CC )
5914, 19, 45, 58addsub4d 8346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
6057, 59eqtrd 2222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A )  =  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
6160fveq2d 5538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  =  ( abs `  ( ( u  -  ( Re
`  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
6219, 58subcld 8299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( (
_i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
6346, 62abstrid 11240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  ( Re `  A ) )  +  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
6461, 63eqbrtrd 4040 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <_  (
( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
6516, 50absmuld 11238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( _i  x.  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) ) )
6616, 18, 49subdid 8402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( v  -  (
Im `  A )
) )  =  ( ( _i  x.  v
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
6766fveq2d 5538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( _i  x.  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
68 absi 11103 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  _i )  =  1
6968oveq1i 5907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) )
7051recnd 8017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  e.  CC )
7170mulid2d 8007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )
7269, 71eqtrid 2234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
v  -  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )
7365, 67, 723eqtr3d 2230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) )
7473oveq2d 5913 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( ( _i  x.  v )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) ) )
7564, 74breqtrd 4044 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <_  (
( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) ) ) )
76 simplrr 536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  -  (
Re `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) )
77 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) )
7847, 51, 54, 76, 77lt2halvesd 9197 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  +  ( abs `  ( v  -  ( Im `  A ) ) ) )  <  B )
7943, 52, 54, 75, 78lelttrd 8113 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <  B
)
80 oveq1 5904 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
x  -  A )  =  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) )
8180fveq2d 5538 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  ( abs `  ( x  -  A ) )  =  ( abs `  (
( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) ) )
8281breq1d 4028 . . . . 5  |-  ( x  =  ( u  +  ( _i  x.  v
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  <->  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v
) )  -  A
) )  <  B
) )
8382rspcev 2856 . . . 4  |-  ( ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  e.  Q  /\  ( abs `  ( ( u  +  ( _i  x.  v ) )  -  A ) )  <  B )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
8440, 79, 83syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  QQ  /\  ( abs `  ( u  -  ( Re `  A ) ) )  <  ( B  / 
2 ) ) )  /\  ( v  e.  QQ  /\  ( abs `  ( v  -  (
Im `  A )
) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B
)
8511, 84rexlimddv 2612 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  QQ  /\  ( abs `  (
u  -  ( Re
`  A ) ) )  <  ( B  /  2 ) ) )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B
)
866, 85rexlimddv 2612 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Q  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   E.wrex 2469   {crab 2472   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   1c1 7843   _ici 7844    + caddc 7845    x. cmul 7847    < clt 8023    <_ cle 8024    - cmin 8159    / cdiv 8660   2c2 9001   QQcq 9651   RR+crp 9685   Recre 10884   Imcim 10885   abscabs 11041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043
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