Theorem qdencn 16395

Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11713 (and also would hold for RR X. RR with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qdencn.q	|- Q = { z e. CC | ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) }

Assertion

Ref	Expression
qdencn	|- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, Q

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z)   Q( z)

Proof of Theorem qdencn

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> A e. CC )
2	1	recld 11449	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( Re ` A ) e. RR )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
4	3	rphalfcld 9905	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
5		qdenre 11713	. . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( B / 2 ) e. RR+ ) -> E. u e. QQ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. u e. QQ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
7		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> A e. CC )
8	7	imcld 11450	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. RR )
9	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
10		qdenre 11713	. . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ ( B / 2 ) e. RR+ ) -> E. v e. QQ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. v e. QQ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
12		qcn 9829	. . . . . . . 8 |- ( u e. QQ -> u e. CC )
13	12	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. CC )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. CC )
15		ax-icn 8094	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
16	15	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> _i e. CC )
17		qcn 9829	. . . . . . . 8 |- ( v e. QQ -> v e. CC )
18	17	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. CC )
19	16, 18	mulcld 8167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. v ) e. CC )
20	14, 19	addcld 8166	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u + ( _i x. v ) ) e. CC )
21		qre 9820	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. QQ -> u e. RR )
22	21	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. RR )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. RR )
24		qre 9820	. . . . . . . . 9 |- ( v e. QQ -> v e. RR )
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. RR )
26	23, 25	crred 11487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) = u )
27		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. QQ )
28	26, 27	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ )
29	23, 25	crimd 11488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) = v )
30		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. QQ )
31	29, 30	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ )
32	28, 31	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
33		fveq2 5627	. . . . . . . 8 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( Re ` z ) = ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) )
34	33	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( Re ` z ) e. QQ <-> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
35		fveq2 5627	. . . . . . . 8 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( Im ` z ) = ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) )
36	35	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( Im ` z ) e. QQ <-> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
37	34, 36	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) <-> ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) ) )
38		qdencn.q	. . . . . 6 |- Q = { z e. CC | ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) }
39	37, 38	elrab2 2962	. . . . 5 |- ( ( u + ( _i x. v ) ) e. Q <-> ( ( u + ( _i x. v ) ) e. CC /\ ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) ) )
40	20, 32, 39	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u + ( _i x. v ) ) e. Q )
41	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> A e. CC )
42	20, 41	subcld 8457	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) e. CC )
43	42	abscld 11692	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) e. RR )
44	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
45	44	recnd 8175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. CC )
46	14, 45	subcld 8457	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u - ( Re ` A ) ) e. CC )
47	46	abscld 11692	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) e. RR )
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. RR )
49	48	recnd 8175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. CC )
50	18, 49	subcld 8457	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( v - ( Im ` A ) ) e. CC )
51	50	abscld 11692	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) e. RR )
52	47, 51	readdcld 8176	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) e. RR )
53	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> B e. RR+ )
54	53	rpred 9892	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> B e. RR )
55	1	replimd 11452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
56	55	oveq2d 6017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
58	16, 49	mulcld 8167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
59	14, 19, 45, 58	addsub4d 8504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
61	60	fveq2d 5631	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) = ( abs ` ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
62	19, 58	subcld 8457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
63	46, 62	abstrid 11707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
64	61, 63	eqbrtrd 4105	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
65	16, 50	absmuld 11705	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
66	16, 18, 49	subdid 8560	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
67	66	fveq2d 5631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
68		absi 11570	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` _i ) = 1
69	68	oveq1i 6011	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
70	51	recnd 8175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) e. CC )
71	70	mulid2d 8165	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( 1 x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
72	69, 71	eqtrid 2274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
73	65, 67, 72	3eqtr3d 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
74	73	oveq2d 6017	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
75	64, 74	breqtrd 4109	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
76		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
77		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
78	47, 51, 54, 76, 77	lt2halvesd 9359	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) < B )
79	43, 52, 54, 75, 78	lelttrd 8271	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B )
80		oveq1 6008	. . . . . . 7 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( x - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) )
81	80	fveq2d 5631	. . . . . 6 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) = ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) )
82	81	breq1d 4093	. . . . 5 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( abs ` ( x - A ) ) < B <-> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B ) )
83	82	rspcev 2907	. . . 4 |- ( ( ( u + ( _i x. v ) ) e. Q /\ ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
84	40, 79, 83	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
85	11, 84	rexlimddv 2653	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
86	6, 85	rexlimddv 2653	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   {crab 2512   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   1c1 8000   _ici 8001   + caddc 8002   x. cmul 8004   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   / cdiv 8819   2c2 9161   QQcq 9814   RR+crp 9849   Recre 11351   Imcim 11352   abscabs 11508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510

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