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Mathbox for Jim Kingdon |
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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > qdencn | Unicode version |
Description: The set of complex
numbers whose real and imaginary parts are rational
is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to
qdenre 11195 (and also would hold for ![]() ![]() ![]() |
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qdencn.q |
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qdencn |
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1 | simpl 109 |
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2 | 1 | recld 10931 |
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3 | simpr 110 |
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4 | 3 | rphalfcld 9696 |
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5 | qdenre 11195 |
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6 | 2, 4, 5 | syl2anc 411 |
. 2
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7 | simpll 527 |
. . . . 5
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8 | 7 | imcld 10932 |
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9 | 4 | adantr 276 |
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10 | qdenre 11195 |
. . . 4
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11 | 8, 9, 10 | syl2anc 411 |
. . 3
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12 | qcn 9623 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | ad2antrl 490 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | adantr 276 |
. . . . . 6
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15 | ax-icn 7897 |
. . . . . . . 8
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16 | 15 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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17 | qcn 9623 |
. . . . . . . 8
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18 | 17 | ad2antrl 490 |
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19 | 16, 18 | mulcld 7968 |
. . . . . 6
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20 | 14, 19 | addcld 7967 |
. . . . 5
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21 | qre 9614 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | adantr 276 |
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24 | qre 9614 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . 8
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26 | 23, 25 | crred 10969 |
. . . . . . 7
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27 | simplrl 535 |
. . . . . . 7
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28 | 26, 27 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
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29 | 23, 25 | crimd 10970 |
. . . . . . 7
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30 | simprl 529 |
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31 | 29, 30 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
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32 | 28, 31 | jca 306 |
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33 | fveq2 5511 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | eleq1d 2246 |
. . . . . . 7
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35 | fveq2 5511 |
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36 | 35 | eleq1d 2246 |
. . . . . . 7
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37 | 34, 36 | anbi12d 473 |
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38 | qdencn.q |
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39 | 37, 38 | elrab2 2896 |
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40 | 20, 32, 39 | sylanbrc 417 |
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41 | 7 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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42 | 20, 41 | subcld 8258 |
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59 | 14, 19, 45, 58 | addsub4d 8305 |
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62 | 19, 58 | subcld 8258 |
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63 | 46, 62 | abstrid 11189 |
. . . . . . 7
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64 | 61, 63 | eqbrtrd 4022 |
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65 | 16, 50 | absmuld 11187 |
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66 | 16, 18, 49 | subdid 8361 |
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67 | 66 | fveq2d 5515 |
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68 | absi 11052 |
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69 | 68 | oveq1i 5879 |
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70 | 51 | recnd 7976 |
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71 | 70 | mulid2d 7966 |
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72 | 69, 71 | eqtrid 2222 |
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73 | 65, 67, 72 | 3eqtr3d 2218 |
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74 | 73 | oveq2d 5885 |
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75 | 64, 74 | breqtrd 4026 |
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76 | simplrr 536 |
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77 | simprr 531 |
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78 | 47, 51, 54, 76, 77 | lt2halvesd 9155 |
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79 | 43, 52, 54, 75, 78 | lelttrd 8072 |
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80 | oveq1 5876 |
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81 | 80 | fveq2d 5515 |
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82 | 81 | breq1d 4010 |
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83 | 82 | rspcev 2841 |
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84 | 40, 79, 83 | syl2anc 411 |
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85 | 11, 84 | rexlimddv 2599 |
. 2
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86 | 6, 85 | rexlimddv 2599 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 |
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