Theorem qdencn 15587

Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11349 (and also would hold for RR X. RR with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qdencn.q	|- Q = { z e. CC | ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) }

Assertion

Ref	Expression
qdencn	|- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, Q

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z)   Q( z)

Proof of Theorem qdencn

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> A e. CC )
2	1	recld 11085	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( Re ` A ) e. RR )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
4	3	rphalfcld 9778	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
5		qdenre 11349	. . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( B / 2 ) e. RR+ ) -> E. u e. QQ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. u e. QQ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
7		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> A e. CC )
8	7	imcld 11086	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. RR )
9	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
10		qdenre 11349	. . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ ( B / 2 ) e. RR+ ) -> E. v e. QQ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. v e. QQ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
12		qcn 9702	. . . . . . . 8 |- ( u e. QQ -> u e. CC )
13	12	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. CC )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. CC )
15		ax-icn 7969	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
16	15	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> _i e. CC )
17		qcn 9702	. . . . . . . 8 |- ( v e. QQ -> v e. CC )
18	17	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. CC )
19	16, 18	mulcld 8042	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. v ) e. CC )
20	14, 19	addcld 8041	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u + ( _i x. v ) ) e. CC )
21		qre 9693	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. QQ -> u e. RR )
22	21	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. RR )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. RR )
24		qre 9693	. . . . . . . . 9 |- ( v e. QQ -> v e. RR )
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. RR )
26	23, 25	crred 11123	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) = u )
27		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> u e. QQ )
28	26, 27	eqeltrd 2270	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ )
29	23, 25	crimd 11124	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) = v )
30		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> v e. QQ )
31	29, 30	eqeltrd 2270	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ )
32	28, 31	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
33		fveq2 5555	. . . . . . . 8 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( Re ` z ) = ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) )
34	33	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( Re ` z ) e. QQ <-> ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
35		fveq2 5555	. . . . . . . 8 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( Im ` z ) = ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) )
36	35	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( Im ` z ) e. QQ <-> ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) )
37	34, 36	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( z = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) <-> ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) ) )
38		qdencn.q	. . . . . 6 |- Q = { z e. CC | ( ( Re ` z ) e. QQ /\ ( Im ` z ) e. QQ ) }
39	37, 38	elrab2 2920	. . . . 5 |- ( ( u + ( _i x. v ) ) e. Q <-> ( ( u + ( _i x. v ) ) e. CC /\ ( ( Re ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ /\ ( Im ` ( u + ( _i x. v ) ) ) e. QQ ) ) )
40	20, 32, 39	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u + ( _i x. v ) ) e. Q )
41	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> A e. CC )
42	20, 41	subcld 8332	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) e. CC )
43	42	abscld 11328	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) e. RR )
44	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
45	44	recnd 8050	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Re ` A ) e. CC )
46	14, 45	subcld 8332	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( u - ( Re ` A ) ) e. CC )
47	46	abscld 11328	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) e. RR )
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. RR )
49	48	recnd 8050	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( Im ` A ) e. CC )
50	18, 49	subcld 8332	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( v - ( Im ` A ) ) e. CC )
51	50	abscld 11328	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) e. RR )
52	47, 51	readdcld 8051	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) e. RR )
53	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> B e. RR+ )
54	53	rpred 9765	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> B e. RR )
55	1	replimd 11088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
56	55	oveq2d 5935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
58	16, 49	mulcld 8042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
59	14, 19, 45, 58	addsub4d 8379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) = ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
61	60	fveq2d 5559	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) = ( abs ` ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
62	19, 58	subcld 8332	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
63	46, 62	abstrid 11343	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u - ( Re ` A ) ) + ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
64	61, 63	eqbrtrd 4052	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
65	16, 50	absmuld 11341	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
66	16, 18, 49	subdid 8435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
67	66	fveq2d 5559	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( _i x. ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
68		absi 11206	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` _i ) = 1
69	68	oveq1i 5929	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
70	51	recnd 8050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) e. CC )
71	70	mulid2d 8040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( 1 x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
72	69, 71	eqtrid 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
73	65, 67, 72	3eqtr3d 2234	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) )
74	73	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( ( _i x. v ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
75	64, 74	breqtrd 4056	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) <_ ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) )
76		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
77		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) )
78	47, 51, 54, 76, 77	lt2halvesd 9233	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) + ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) ) < B )
79	43, 52, 54, 75, 78	lelttrd 8146	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B )
80		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( x - A ) = ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) )
81	80	fveq2d 5559	. . . . . 6 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) = ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) )
82	81	breq1d 4040	. . . . 5 |- ( x = ( u + ( _i x. v ) ) -> ( ( abs ` ( x - A ) ) < B <-> ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B ) )
83	82	rspcev 2865	. . . 4 |- ( ( ( u + ( _i x. v ) ) e. Q /\ ( abs ` ( ( u + ( _i x. v ) ) - A ) ) < B ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
84	40, 79, 83	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) /\ ( v e. QQ /\ ( abs ` ( v - ( Im ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
85	11, 84	rexlimddv 2616	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( u e. QQ /\ ( abs ` ( u - ( Re ` A ) ) ) < ( B / 2 ) ) ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )
86	6, 85	rexlimddv 2616	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> E. x e. Q ( abs ` ( x - A ) ) < B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   {crab 2476   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   1c1 7875   _ici 7876   + caddc 7877   x. cmul 7879   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   / cdiv 8693   2c2 9035   QQcq 9687   RR+crp 9722   Recre 10987   Imcim 10988   abscabs 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146

This theorem is referenced by: (None)