Theorem bezoutlemnewy 11991

Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout predicate holds for ( y mod W ). (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemstep.is-bezout	|- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
bezoutlemstep.a	|- ( th -> A e. NN0 )
bezoutlemstep.b	|- ( th -> B e. NN0 )
bezoutlemstep.w	|- ( th -> W e. NN )
bezoutlemstep.y-is-bezout	|- ( th -> [ y / r ] ph )
bezoutlemstep.y-nn0	|- ( th -> y e. NN0 )
bezoutlemstep.w-is-bezout	|- ( th -> [. W / r ]. ph )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemnewy	|- ( th -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )

Distinct variable groups:   A, s, r, t   B, s, r, t   W, s, r, t   y, s, t   ph, s, t   th, s, t   y, r

Allowed substitution hints:   ph( y, r)   th( y, r)   A( y)   B( y)   W( y)

Proof of Theorem bezoutlemnewy

Dummy variables j k q u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemstep.w-is-bezout	. . 3 |- ( th -> [. W / r ]. ph )
2		bezoutlemstep.is-bezout	. . . . 5 |- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
3	2	sbcbii 3022	. . . 4 |- ( [. W / r ]. ph <-> [. W / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
4		bezoutlemstep.w	. . . . 5 |- ( th -> W e. NN )
5		eqeq1 2184	. . . . . . 7 |- ( r = W -> ( r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
6	5	2rexbidv 2502	. . . . . 6 |- ( r = W -> ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
7	6	sbcieg 2995	. . . . 5 |- ( W e. NN -> ( [. W / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
8	4, 7	syl 14	. . . 4 |- ( th -> ( [. W / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
9	3, 8	bitrid 192	. . 3 |- ( th -> ( [. W / r ]. ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
10	1, 9	mpbid 147	. 2 |- ( th -> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
11		bezoutlemstep.y-is-bezout	. . . . . . 7 |- ( th -> [ y / r ] ph )
12		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = u -> ( A x. s ) = ( A x. u ) )
13	12	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = u -> ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) = ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) )
14	13	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = u -> ( r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> r = ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) ) )
15		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = v -> ( B x. t ) = ( B x. v ) )
16	15	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = v -> ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
17	16	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = v -> ( r = ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) <-> r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
18	14, 17	cbvrex2v 2717	. . . . . . . . . 10 |- ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
19	2, 18	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( ph <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
20	19	sbbii 1765	. . . . . . . 8 |- ( [ y / r ] ph <-> [ y / r ] E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
21		nfv 1528	. . . . . . . . 9 |- F/ r E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) )
22		eqeq1 2184	. . . . . . . . . 10 |- ( r = y -> ( r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) <-> y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
23	22	2rexbidv 2502	. . . . . . . . 9 |- ( r = y -> ( E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
24	21, 23	sbie 1791	. . . . . . . 8 |- ( [ y / r ] E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
25	20, 24	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( [ y / r ] ph <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
26	11, 25	sylib 122	. . . . . 6 |- ( th -> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
27	26	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
28		bezoutlemstep.y-nn0	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> y e. NN0 )
29	28	ad4antr 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> y e. NN0 )
30	29	nn0zd 9371	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> y e. ZZ )
31	4	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> W e. NN )
32	30, 31	zmodcld 10342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> ( y mod W ) e. NN0 )
33		zq 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
34	30, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> y e. QQ )
35	31	nnzd 9372	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> W e. ZZ )
36		zq 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. ZZ -> W e. QQ )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> W e. QQ )
38	31	nngt0d 8961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> 0 < W )
39		modqlt 10330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. QQ /\ W e. QQ /\ 0 < W ) -> ( y mod W ) < W )
40	34, 37, 38, 39	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> ( y mod W ) < W )
41		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( y mod W ) = ( y mod W )
42		modremain 11928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ W e. NN /\ ( ( y mod W ) e. NN0 /\ ( y mod W ) < W ) ) -> ( ( y mod W ) = ( y mod W ) <-> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) )
43	41, 42	mpbii 148	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ZZ /\ W e. NN /\ ( ( y mod W ) e. NN0 /\ ( y mod W ) < W ) ) -> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
44	30, 31, 32, 40, 43	syl112anc 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
45		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> u e. ZZ )
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> u e. ZZ )
47		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> q e. ZZ )
48		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> s e. ZZ )
49	48	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> s e. ZZ )
50	47, 49	zmulcld 9379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. s ) e. ZZ )
51	46, 50	zsubcld 9378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( u - ( q x. s ) ) e. ZZ )
52		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> v e. ZZ )
53	52	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> v e. ZZ )
54		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> t e. ZZ )
55	54	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> t e. ZZ )
56	47, 55	zmulcld 9379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. t ) e. ZZ )
57	53, 56	zsubcld 9378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( v - ( q x. t ) ) e. ZZ )
58		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
59		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
60	59	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
61	60	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. W ) = ( q x. ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
62	47	zcnd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> q e. CC )
63		bezoutlemstep.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( th -> A e. NN0 )
64	63	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> A e. NN0 )
65	64	nn0cnd 9229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> A e. CC )
66	49	zcnd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> s e. CC )
67	65, 66	mulcld 7976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. s ) e. CC )
68		bezoutlemstep.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( th -> B e. NN0 )
69	68	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> B e. NN0 )
70	69	nn0cnd 9229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> B e. CC )
71	55	zcnd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> t e. CC )
72	70, 71	mulcld 7976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. t ) e. CC )
73	62, 67, 72	adddid 7980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) = ( ( q x. ( A x. s ) ) + ( q x. ( B x. t ) ) ) )
74	62, 65, 66	mul12d 8107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. ( A x. s ) ) = ( A x. ( q x. s ) ) )
75	62, 70, 71	mul12d 8107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. ( B x. t ) ) = ( B x. ( q x. t ) ) )
76	74, 75	oveq12d 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( q x. ( A x. s ) ) + ( q x. ( B x. t ) ) ) = ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) )
77	61, 73, 76	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. W ) = ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) )
78	58, 77	oveq12d 5892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y - ( q x. W ) ) = ( ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) - ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
79		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
80	28	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y e. NN0 )
81	80	nn0cnd 9229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y e. CC )
82	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W e. NN )
83	82	nncnd 8931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W e. CC )
84	62, 83	mulcld 7976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. W ) e. CC )
85	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y e. QQ )
86	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W e. QQ )
87	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> 0 < W )
88	85, 86, 87	modqcld 10325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) e. QQ )
89		qcn 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y mod W ) e. QQ -> ( y mod W ) e. CC )
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) e. CC )
91	81, 84, 90	subaddd 8284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( y - ( q x. W ) ) = ( y mod W ) <-> ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) )
92	79, 91	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y - ( q x. W ) ) = ( y mod W ) )
93	46	zcnd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> u e. CC )
94	65, 93	mulcld 7976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. u ) e. CC )
95	53	zcnd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> v e. CC )
96	70, 95	mulcld 7976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. v ) e. CC )
97	62, 66	mulcld 7976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. s ) e. CC )
98	65, 97	mulcld 7976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. ( q x. s ) ) e. CC )
99	62, 71	mulcld 7976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. t ) e. CC )
100	70, 99	mulcld 7976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. ( q x. t ) ) e. CC )
101	94, 96, 98, 100	addsub4d 8313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) - ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) ) = ( ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) + ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
102	78, 92, 101	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) = ( ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) + ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
103	65, 93, 97	subdid 8369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) = ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) )
104	70, 95, 99	subdid 8369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) = ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) )
105	103, 104	oveq12d 5892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) = ( ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) + ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
106	102, 105	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) )
107		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( v - ( q x. t ) ) -> ( B x. k ) = ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) )
108	107	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( v - ( q x. t ) ) -> ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) )
109	108	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( v - ( q x. t ) ) -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) ) )
110	109	rspcev 2841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( v - ( q x. t ) ) e. ZZ /\ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) ) -> E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) )
111	57, 106, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) )
112		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( A x. j ) = ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) )
113	112	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) )
114	113	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) ) )
115	114	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) ) )
116	115	rspcev 2841	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u - ( q x. s ) ) e. ZZ /\ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) ) -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) )
117	51, 111, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) )
118		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = s -> ( A x. j ) = ( A x. s ) )
119	118	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = s -> ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) )
120	119	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = s -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) ) )
121		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = t -> ( B x. k ) = ( B x. t ) )
122	121	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = t -> ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
123	122	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = t -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
124	120, 123	cbvrex2v 2717	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
125	117, 124	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
126	32	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) e. NN0 )
127		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( y mod W ) -> ( r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
128	127	2rexbidv 2502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( y mod W ) -> ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
129	128	sbcieg 2995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y mod W ) e. NN0 -> ( [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
130	126, 129	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
131	125, 130	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
132	2	sbcbii 3022	. . . . . . . . 9 |- ( [. ( y mod W ) / r ]. ph <-> [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
133	131, 132	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )
134	44, 133	rexlimddv 2599	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )
135	134	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
136	135	rexlimdvva 2602	. . . . 5 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> ( E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
137	27, 136	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )
138	137	ex 115	. . 3 |- ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) -> ( W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
139	138	rexlimdvva 2602	. 2 |- ( th -> ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
140	10, 139	mpd 13	1 |- ( th -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   [wsb 1762   e. wcel 2148   E.wrex 2456   [.wsbc 2962   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   + caddc 7813   x. cmul 7815   < clt 7990   - cmin 8126   NNcn 8917   NN0cn0 9174   ZZcz 9251   QQcq 9617   mod cmo 10319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fl 10267  df-mod 10320  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-dvds 11790

This theorem is referenced by:  bezoutlemstep  11992