Theorem bezoutlemnewy 11929

Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout predicate holds for ( y mod W ). (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemstep.is-bezout	|- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
bezoutlemstep.a	|- ( th -> A e. NN0 )
bezoutlemstep.b	|- ( th -> B e. NN0 )
bezoutlemstep.w	|- ( th -> W e. NN )
bezoutlemstep.y-is-bezout	|- ( th -> [ y / r ] ph )
bezoutlemstep.y-nn0	|- ( th -> y e. NN0 )
bezoutlemstep.w-is-bezout	|- ( th -> [. W / r ]. ph )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemnewy	|- ( th -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )

Distinct variable groups:   A, s, r, t   B, s, r, t   W, s, r, t   y, s, t   ph, s, t   th, s, t   y, r

Allowed substitution hints:   ph( y, r)   th( y, r)   A( y)   B( y)   W( y)

Proof of Theorem bezoutlemnewy

Dummy variables j k q u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemstep.w-is-bezout	. . 3 |- ( th -> [. W / r ]. ph )
2		bezoutlemstep.is-bezout	. . . . 5 |- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
3	2	sbcbii 3010	. . . 4 |- ( [. W / r ]. ph <-> [. W / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
4		bezoutlemstep.w	. . . . 5 |- ( th -> W e. NN )
5		eqeq1 2172	. . . . . . 7 |- ( r = W -> ( r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
6	5	2rexbidv 2491	. . . . . 6 |- ( r = W -> ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
7	6	sbcieg 2983	. . . . 5 |- ( W e. NN -> ( [. W / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
8	4, 7	syl 14	. . . 4 |- ( th -> ( [. W / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
9	3, 8	syl5bb 191	. . 3 |- ( th -> ( [. W / r ]. ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
10	1, 9	mpbid 146	. 2 |- ( th -> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
11		bezoutlemstep.y-is-bezout	. . . . . . 7 |- ( th -> [ y / r ] ph )
12		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = u -> ( A x. s ) = ( A x. u ) )
13	12	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = u -> ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) = ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) )
14	13	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = u -> ( r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> r = ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) ) )
15		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = v -> ( B x. t ) = ( B x. v ) )
16	15	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = v -> ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
17	16	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = v -> ( r = ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) <-> r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
18	14, 17	cbvrex2v 2706	. . . . . . . . . 10 |- ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
19	2, 18	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( ph <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
20	19	sbbii 1753	. . . . . . . 8 |- ( [ y / r ] ph <-> [ y / r ] E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
21		nfv 1516	. . . . . . . . 9 |- F/ r E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) )
22		eqeq1 2172	. . . . . . . . . 10 |- ( r = y -> ( r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) <-> y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
23	22	2rexbidv 2491	. . . . . . . . 9 |- ( r = y -> ( E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
24	21, 23	sbie 1779	. . . . . . . 8 |- ( [ y / r ] E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
25	20, 24	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( [ y / r ] ph <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
26	11, 25	sylib 121	. . . . . 6 |- ( th -> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
27	26	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
28		bezoutlemstep.y-nn0	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> y e. NN0 )
29	28	ad4antr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> y e. NN0 )
30	29	nn0zd 9311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> y e. ZZ )
31	4	ad4antr 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> W e. NN )
32	30, 31	zmodcld 10280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> ( y mod W ) e. NN0 )
33		zq 9564	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
34	30, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> y e. QQ )
35	31	nnzd 9312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> W e. ZZ )
36		zq 9564	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. ZZ -> W e. QQ )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> W e. QQ )
38	31	nngt0d 8901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> 0 < W )
39		modqlt 10268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. QQ /\ W e. QQ /\ 0 < W ) -> ( y mod W ) < W )
40	34, 37, 38, 39	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> ( y mod W ) < W )
41		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- ( y mod W ) = ( y mod W )
42		modremain 11866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ W e. NN /\ ( ( y mod W ) e. NN0 /\ ( y mod W ) < W ) ) -> ( ( y mod W ) = ( y mod W ) <-> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) )
43	41, 42	mpbii 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ZZ /\ W e. NN /\ ( ( y mod W ) e. NN0 /\ ( y mod W ) < W ) ) -> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
44	30, 31, 32, 40, 43	syl112anc 1232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
45		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> u e. ZZ )
46	45	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> u e. ZZ )
47		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> q e. ZZ )
48		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> s e. ZZ )
49	48	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> s e. ZZ )
50	47, 49	zmulcld 9319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. s ) e. ZZ )
51	46, 50	zsubcld 9318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( u - ( q x. s ) ) e. ZZ )
52		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> v e. ZZ )
53	52	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> v e. ZZ )
54		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> t e. ZZ )
55	54	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> t e. ZZ )
56	47, 55	zmulcld 9319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. t ) e. ZZ )
57	53, 56	zsubcld 9318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( v - ( q x. t ) ) e. ZZ )
58		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
59		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
60	59	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
61	60	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. W ) = ( q x. ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
62	47	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> q e. CC )
63		bezoutlemstep.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( th -> A e. NN0 )
64	63	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> A e. NN0 )
65	64	nn0cnd 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> A e. CC )
66	49	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> s e. CC )
67	65, 66	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. s ) e. CC )
68		bezoutlemstep.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( th -> B e. NN0 )
69	68	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> B e. NN0 )
70	69	nn0cnd 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> B e. CC )
71	55	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> t e. CC )
72	70, 71	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. t ) e. CC )
73	62, 67, 72	adddid 7923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) = ( ( q x. ( A x. s ) ) + ( q x. ( B x. t ) ) ) )
74	62, 65, 66	mul12d 8050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. ( A x. s ) ) = ( A x. ( q x. s ) ) )
75	62, 70, 71	mul12d 8050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. ( B x. t ) ) = ( B x. ( q x. t ) ) )
76	74, 75	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( q x. ( A x. s ) ) + ( q x. ( B x. t ) ) ) = ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) )
77	61, 73, 76	3eqtrd 2202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. W ) = ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) )
78	58, 77	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y - ( q x. W ) ) = ( ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) - ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
79		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
80	28	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y e. NN0 )
81	80	nn0cnd 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y e. CC )
82	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W e. NN )
83	82	nncnd 8871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W e. CC )
84	62, 83	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. W ) e. CC )
85	34	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y e. QQ )
86	37	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W e. QQ )
87	38	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> 0 < W )
88	85, 86, 87	modqcld 10263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) e. QQ )
89		qcn 9572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y mod W ) e. QQ -> ( y mod W ) e. CC )
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) e. CC )
91	81, 84, 90	subaddd 8227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( y - ( q x. W ) ) = ( y mod W ) <-> ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) )
92	79, 91	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y - ( q x. W ) ) = ( y mod W ) )
93	46	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> u e. CC )
94	65, 93	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. u ) e. CC )
95	53	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> v e. CC )
96	70, 95	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. v ) e. CC )
97	62, 66	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. s ) e. CC )
98	65, 97	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. ( q x. s ) ) e. CC )
99	62, 71	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. t ) e. CC )
100	70, 99	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. ( q x. t ) ) e. CC )
101	94, 96, 98, 100	addsub4d 8256	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) - ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) ) = ( ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) + ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
102	78, 92, 101	3eqtr3d 2206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) = ( ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) + ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
103	65, 93, 97	subdid 8312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) = ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) )
104	70, 95, 99	subdid 8312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) = ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) )
105	103, 104	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) = ( ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) + ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
106	102, 105	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) )
107		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( v - ( q x. t ) ) -> ( B x. k ) = ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) )
108	107	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( v - ( q x. t ) ) -> ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) )
109	108	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( v - ( q x. t ) ) -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) ) )
110	109	rspcev 2830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( v - ( q x. t ) ) e. ZZ /\ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) ) -> E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) )
111	57, 106, 110	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) )
112		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( A x. j ) = ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) )
113	112	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) )
114	113	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) ) )
115	114	rexbidv 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) ) )
116	115	rspcev 2830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u - ( q x. s ) ) e. ZZ /\ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) ) -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) )
117	51, 111, 116	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) )
118		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = s -> ( A x. j ) = ( A x. s ) )
119	118	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = s -> ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) )
120	119	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = s -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) ) )
121		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = t -> ( B x. k ) = ( B x. t ) )
122	121	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = t -> ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
123	122	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = t -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
124	120, 123	cbvrex2v 2706	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
125	117, 124	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
126	32	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) e. NN0 )
127		eqeq1 2172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( y mod W ) -> ( r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
128	127	2rexbidv 2491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( y mod W ) -> ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
129	128	sbcieg 2983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y mod W ) e. NN0 -> ( [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
130	126, 129	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
131	125, 130	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
132	2	sbcbii 3010	. . . . . . . . 9 |- ( [. ( y mod W ) / r ]. ph <-> [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
133	131, 132	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )
134	44, 133	rexlimddv 2588	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )
135	134	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
136	135	rexlimdvva 2591	. . . . 5 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> ( E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
137	27, 136	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )
138	137	ex 114	. . 3 |- ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) -> ( W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
139	138	rexlimdvva 2591	. 2 |- ( th -> ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
140	10, 139	mpd 13	1 |- ( th -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   [wsb 1750   e. wcel 2136   E.wrex 2445   [.wsbc 2951   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   - cmin 8069   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   QQcq 9557   mod cmo 10257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  bezoutlemstep  11930