Theorem 4sqlem16 12978

Description: Lemma for 4sq 12982. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem11.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b	|- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e	|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f	|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g	|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h	|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r	|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p	|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem16	|- ( ph -> ( R <_ M /\ ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, i, n)   B( x, y, z, w, i, n)   C( x, y, z, w, i, n)   D( x, y, z, w, i, n)   R( x, y, z, w, i, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   E( x, y, z, w, i, n)   F( x, y, z, w, i, n)   G( x, y, z, w, i, n)   H( x, y, z, w, i, n)   M( x, y, z, w, i, n)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. . 3 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
2		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4		eluz2nn 9799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. NN )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
6		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
7	2, 5, 6	4sqlem5 12954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
8	7	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. ZZ )
9		zsqcl 10871	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
11	10	zred 9601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR )
12		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ZZ )
13		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
14	12, 5, 13	4sqlem5 12954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
15	14	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ZZ )
16		zsqcl 10871	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
18	17	zred 9601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. RR )
19	11, 18	readdcld 8208	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR )
20		4sq.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ZZ )
21		4sq.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
22	20, 5, 21	4sqlem5 12954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
23	22	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. ZZ )
24		zsqcl 10871	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
26	25	zred 9601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. RR )
27		4sq.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. ZZ )
28		4sq.h	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
29	27, 5, 28	4sqlem5 12954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
30	29	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ZZ )
31		zsqcl 10871	. . . . . . . . . 10 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
33	32	zred 9601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. RR )
34	26, 33	readdcld 8208	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. RR )
35	5	nnred 9155	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
36	35	resqcld 10960	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. RR )
37	36	rehalfcld 9390	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
38	37	rehalfcld 9390	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. RR )
39	2, 5, 6	4sqlem7 12956	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
40	12, 5, 13	4sqlem7 12956	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
41	11, 18, 38, 38, 39, 40	le2addd 8742	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
42	37	recnd 8207	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
43	42	2halvesd 9389	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
44	41, 43	breqtrd 4114	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
45	20, 5, 21	4sqlem7 12956	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
46	27, 5, 28	4sqlem7 12956	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
47	26, 33, 38, 38, 45, 46	le2addd 8742	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
48	47, 43	breqtrd 4114	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
49	19, 34, 37, 37, 44, 48	le2addd 8742	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
50	36	recnd 8207	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
51	50	2halvesd 9389	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
52	49, 51	breqtrd 4114	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M ^ 2 ) )
53	35	recnd 8207	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
54	53	sqvald 10931	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
55	52, 54	breqtrd 4114	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M x. M ) )
56	19, 34	readdcld 8208	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
57	5	nngt0d 9186	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < M )
58		ledivmul 9056	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ M e. RR /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) <_ M <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M x. M ) ) )
59	56, 35, 35, 57, 58	syl112anc 1277	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) <_ M <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M x. M ) ) )
60	55, 59	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) <_ M )
61	1, 60	eqbrtrid 4123	. 2 |- ( ph -> R <_ M )
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> R = 0 )
63	1, 62	eqtr3id 2278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 )
64	56	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
65	5	nnap0d 9188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M # 0 )
66	64, 53, 65	diveqap0ad 8979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) )
67		zsqcl2 10878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
68	8, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
69		zsqcl2 10878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
70	15, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
71	68, 70	nn0addcld 9458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN0 )
72	71	nn0ge0d 9457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
73		zsqcl2 10878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
74	23, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
75		zsqcl2 10878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
76	30, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
77	74, 76	nn0addcld 9458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. NN0 )
78	77	nn0ge0d 9457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) )
79		add20 8653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
80	19, 72, 34, 78, 79	syl22anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
81	66, 80	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
82	81	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
83	63, 82	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
84	83	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 )
85	68	nn0ge0d 9457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( E ^ 2 ) )
86	70	nn0ge0d 9457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( F ^ 2 ) )
87		add20 8653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( E ^ 2 ) ) /\ ( ( F ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( F ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) ) )
88	11, 85, 18, 86, 87	syl22anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) ) )
89	88	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 ) -> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) )
90	84, 89	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) )
91	90	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( E ^ 2 ) = 0 )
92	2, 5, 6, 91	4sqlem9 12958	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) )
93	90	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( F ^ 2 ) = 0 )
94	12, 5, 13, 93	4sqlem9 12958	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) )
95	5	nnsqcld 10955	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. NN )
96	95	nnzd 9600	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
97		zsqcl 10871	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
98	2, 97	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
99		zsqcl 10871	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
100	12, 99	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
101		dvds2add 12385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
102	96, 98, 100, 101	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
103	102	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
104	92, 94, 103	mp2and 433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
105	83	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 )
106	74	nn0ge0d 9457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( G ^ 2 ) )
107	76	nn0ge0d 9457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( H ^ 2 ) )
108		add20 8653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( G ^ 2 ) ) /\ ( ( H ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( H ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) ) )
109	26, 106, 33, 107, 108	syl22anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) ) )
110	109	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) -> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) )
111	105, 110	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) )
112	111	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( G ^ 2 ) = 0 )
113	20, 5, 21, 112	4sqlem9 12958	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) )
114	111	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( H ^ 2 ) = 0 )
115	27, 5, 28, 114	4sqlem9 12958	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) )
116		zsqcl 10871	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ZZ -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
117	20, 116	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
118		zsqcl 10871	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ZZ -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
119	27, 118	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
120		dvds2add 12385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( C ^ 2 ) e. ZZ /\ ( D ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
121	96, 117, 119, 120	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
122	121	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
123	113, 115, 122	mp2and 433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
124	98, 100	zaddcld 9605	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
125	117, 119	zaddcld 9605	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
126		dvds2add 12385	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) )
127	96, 124, 125, 126	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) )
128	127	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) )
129	104, 123, 128	mp2and 433	. . . . 5 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
130	96	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
131	124	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
132	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
133		4sqlem11.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
134		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN )
135		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
136		4sq.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. Prime )
137		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
138		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
139		4sq.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- M = inf ( T , RR , < )
140		4sq.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
141	133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 3, 2, 12, 20, 27, 6, 13, 21, 28, 1, 140	4sqlem15 12977	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
142	141	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) )
143	142	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 )
144	38	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
145	10	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
146	144, 145	subeq0ad 8499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( E ^ 2 ) ) )
147	146	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( E ^ 2 ) ) )
148	143, 147	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( E ^ 2 ) )
149	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
150	148, 149	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ )
151	150, 150	zaddcld 9605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
152	132, 151	eqeltrrd 2309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ )
153	131, 152	zsubcld 9606	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
154	125	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
155	154, 152	zsubcld 9606	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
156	98	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
157	156, 150	zsubcld 9606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
158	100	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
159	158, 150	zsubcld 9606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
160	2, 5, 6, 143	4sqlem10 12959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
161	142	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 )
162	12, 5, 13, 161	4sqlem10 12959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
163	130, 157, 159, 160, 162	dvds2addd 12389	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
164	98	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
165	100	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
166	164, 165, 144, 144	addsub4d 8536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
167	43	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
168	166, 167	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
169	168	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
170	163, 169	breqtrd 4114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
171	117	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
172	171, 150	zsubcld 9606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
173	119	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
174	173, 150	zsubcld 9606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
175	141	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
176	175	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 )
177	20, 5, 21, 176	4sqlem10 12959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
178	175	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 )
179	27, 5, 28, 178	4sqlem10 12959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
180	130, 172, 174, 177, 179	dvds2addd 12389	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
181	117	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
182	119	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. CC )
183	181, 182, 144, 144	addsub4d 8536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
184	43	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
185	183, 184	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
186	185	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
187	180, 186	breqtrd 4114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
188	130, 153, 155, 170, 187	dvds2addd 12389	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) )
189	124	zcnd 9602	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
190	125	zcnd 9602	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. CC )
191	189, 190, 42, 42	addsub4d 8536	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) )
192	51	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
193	191, 192	eqtr3d 2266	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
194	193	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
195	188, 194	breqtrd 4114	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
196	124, 125	zaddcld 9605	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
197	196	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
198		dvdssubr 12399	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) ) )
199	130, 197, 198	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) ) )
200	195, 199	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
201	129, 200	jaodan 804	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( R = 0 \/ R = M ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
202	140	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( R = 0 \/ R = M ) ) -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
203	201, 202	breqtrrd 4116	. . 3 |- ( ( ph /\ ( R = 0 \/ R = M ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) )
204	203	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
205	61, 204	jca 306	1 |- ( ph -> ( R <_ M /\ ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2511   {crab 2514   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017  infcinf 7181   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   mod cmo 10583   ^cexp 10799   || cdvds 12347   Primecprime 12678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-gcd 12524

This theorem is referenced by:  4sqlem17  12979