Theorem 4sqlem16 12762

Description: Lemma for 4sq 12766. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem11.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b	|- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e	|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f	|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g	|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h	|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r	|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p	|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem16	|- ( ph -> ( R <_ M /\ ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, i, n)   B( x, y, z, w, i, n)   C( x, y, z, w, i, n)   D( x, y, z, w, i, n)   R( x, y, z, w, i, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   E( x, y, z, w, i, n)   F( x, y, z, w, i, n)   G( x, y, z, w, i, n)   H( x, y, z, w, i, n)   M( x, y, z, w, i, n)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. . 3 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
2		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4		eluz2nn 9689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. NN )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
6		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
7	2, 5, 6	4sqlem5 12738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
8	7	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. ZZ )
9		zsqcl 10757	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
11	10	zred 9497	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR )
12		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ZZ )
13		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
14	12, 5, 13	4sqlem5 12738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
15	14	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ZZ )
16		zsqcl 10757	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
18	17	zred 9497	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. RR )
19	11, 18	readdcld 8104	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR )
20		4sq.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ZZ )
21		4sq.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
22	20, 5, 21	4sqlem5 12738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
23	22	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. ZZ )
24		zsqcl 10757	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
26	25	zred 9497	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. RR )
27		4sq.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. ZZ )
28		4sq.h	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
29	27, 5, 28	4sqlem5 12738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
30	29	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ZZ )
31		zsqcl 10757	. . . . . . . . . 10 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
33	32	zred 9497	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. RR )
34	26, 33	readdcld 8104	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. RR )
35	5	nnred 9051	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
36	35	resqcld 10846	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. RR )
37	36	rehalfcld 9286	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
38	37	rehalfcld 9286	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. RR )
39	2, 5, 6	4sqlem7 12740	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
40	12, 5, 13	4sqlem7 12740	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
41	11, 18, 38, 38, 39, 40	le2addd 8638	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
42	37	recnd 8103	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
43	42	2halvesd 9285	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
44	41, 43	breqtrd 4071	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
45	20, 5, 21	4sqlem7 12740	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
46	27, 5, 28	4sqlem7 12740	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
47	26, 33, 38, 38, 45, 46	le2addd 8638	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
48	47, 43	breqtrd 4071	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
49	19, 34, 37, 37, 44, 48	le2addd 8638	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
50	36	recnd 8103	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
51	50	2halvesd 9285	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
52	49, 51	breqtrd 4071	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M ^ 2 ) )
53	35	recnd 8103	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
54	53	sqvald 10817	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
55	52, 54	breqtrd 4071	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M x. M ) )
56	19, 34	readdcld 8104	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
57	5	nngt0d 9082	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < M )
58		ledivmul 8952	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ M e. RR /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) <_ M <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M x. M ) ) )
59	56, 35, 35, 57, 58	syl112anc 1254	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) <_ M <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M x. M ) ) )
60	55, 59	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) <_ M )
61	1, 60	eqbrtrid 4080	. 2 |- ( ph -> R <_ M )
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> R = 0 )
63	1, 62	eqtr3id 2252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 )
64	56	recnd 8103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
65	5	nnap0d 9084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M # 0 )
66	64, 53, 65	diveqap0ad 8875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) )
67		zsqcl2 10764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
68	8, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
69		zsqcl2 10764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
70	15, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
71	68, 70	nn0addcld 9354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN0 )
72	71	nn0ge0d 9353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
73		zsqcl2 10764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
74	23, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
75		zsqcl2 10764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
76	30, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
77	74, 76	nn0addcld 9354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. NN0 )
78	77	nn0ge0d 9353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) )
79		add20 8549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
80	19, 72, 34, 78, 79	syl22anc 1251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
81	66, 80	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
82	81	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
83	63, 82	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
84	83	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 )
85	68	nn0ge0d 9353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( E ^ 2 ) )
86	70	nn0ge0d 9353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( F ^ 2 ) )
87		add20 8549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( E ^ 2 ) ) /\ ( ( F ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( F ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) ) )
88	11, 85, 18, 86, 87	syl22anc 1251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) ) )
89	88	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 ) -> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) )
90	84, 89	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) )
91	90	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( E ^ 2 ) = 0 )
92	2, 5, 6, 91	4sqlem9 12742	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) )
93	90	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( F ^ 2 ) = 0 )
94	12, 5, 13, 93	4sqlem9 12742	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) )
95	5	nnsqcld 10841	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. NN )
96	95	nnzd 9496	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
97		zsqcl 10757	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
98	2, 97	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
99		zsqcl 10757	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
100	12, 99	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
101		dvds2add 12169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
102	96, 98, 100, 101	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
103	102	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
104	92, 94, 103	mp2and 433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
105	83	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 )
106	74	nn0ge0d 9353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( G ^ 2 ) )
107	76	nn0ge0d 9353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( H ^ 2 ) )
108		add20 8549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( G ^ 2 ) ) /\ ( ( H ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( H ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) ) )
109	26, 106, 33, 107, 108	syl22anc 1251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) ) )
110	109	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) -> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) )
111	105, 110	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) )
112	111	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( G ^ 2 ) = 0 )
113	20, 5, 21, 112	4sqlem9 12742	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) )
114	111	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( H ^ 2 ) = 0 )
115	27, 5, 28, 114	4sqlem9 12742	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) )
116		zsqcl 10757	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ZZ -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
117	20, 116	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
118		zsqcl 10757	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ZZ -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
119	27, 118	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
120		dvds2add 12169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( C ^ 2 ) e. ZZ /\ ( D ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
121	96, 117, 119, 120	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
122	121	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
123	113, 115, 122	mp2and 433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
124	98, 100	zaddcld 9501	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
125	117, 119	zaddcld 9501	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
126		dvds2add 12169	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) )
127	96, 124, 125, 126	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) )
128	127	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) )
129	104, 123, 128	mp2and 433	. . . . 5 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
130	96	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
131	124	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
132	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
133		4sqlem11.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
134		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN )
135		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
136		4sq.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. Prime )
137		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
138		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
139		4sq.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- M = inf ( T , RR , < )
140		4sq.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
141	133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 3, 2, 12, 20, 27, 6, 13, 21, 28, 1, 140	4sqlem15 12761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
142	141	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) )
143	142	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 )
144	38	recnd 8103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
145	10	zcnd 9498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
146	144, 145	subeq0ad 8395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( E ^ 2 ) ) )
147	146	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( E ^ 2 ) ) )
148	143, 147	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( E ^ 2 ) )
149	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
150	148, 149	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ )
151	150, 150	zaddcld 9501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
152	132, 151	eqeltrrd 2283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ )
153	131, 152	zsubcld 9502	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
154	125	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
155	154, 152	zsubcld 9502	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
156	98	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
157	156, 150	zsubcld 9502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
158	100	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
159	158, 150	zsubcld 9502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
160	2, 5, 6, 143	4sqlem10 12743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
161	142	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 )
162	12, 5, 13, 161	4sqlem10 12743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
163	130, 157, 159, 160, 162	dvds2addd 12173	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
164	98	zcnd 9498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
165	100	zcnd 9498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
166	164, 165, 144, 144	addsub4d 8432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
167	43	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
168	166, 167	eqtr3d 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
169	168	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
170	163, 169	breqtrd 4071	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
171	117	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
172	171, 150	zsubcld 9502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
173	119	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
174	173, 150	zsubcld 9502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
175	141	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
176	175	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 )
177	20, 5, 21, 176	4sqlem10 12743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
178	175	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 )
179	27, 5, 28, 178	4sqlem10 12743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
180	130, 172, 174, 177, 179	dvds2addd 12173	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
181	117	zcnd 9498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
182	119	zcnd 9498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. CC )
183	181, 182, 144, 144	addsub4d 8432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
184	43	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
185	183, 184	eqtr3d 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
186	185	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
187	180, 186	breqtrd 4071	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
188	130, 153, 155, 170, 187	dvds2addd 12173	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) )
189	124	zcnd 9498	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
190	125	zcnd 9498	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. CC )
191	189, 190, 42, 42	addsub4d 8432	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) )
192	51	oveq2d 5962	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
193	191, 192	eqtr3d 2240	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
194	193	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
195	188, 194	breqtrd 4071	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
196	124, 125	zaddcld 9501	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
197	196	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
198		dvdssubr 12183	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) ) )
199	130, 197, 198	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) ) )
200	195, 199	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
201	129, 200	jaodan 799	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( R = 0 \/ R = M ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
202	140	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( R = 0 \/ R = M ) ) -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
203	201, 202	breqtrrd 4073	. . 3 |- ( ( ph /\ ( R = 0 \/ R = M ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) )
204	203	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
205	61, 204	jca 306	1 |- ( ph -> ( R <_ M /\ ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   E.wrex 2485   {crab 2488   C_ wss 3166   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946  infcinf 7087   RRcr 7926   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   < clt 8109   <_ cle 8110   - cmin 8245   / cdiv 8747   NNcn 9038   2c2 9089   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132   mod cmo 10469   ^cexp 10685   || cdvds 12131   Primecprime 12462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-sup 7088  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-fl 10415  df-mod 10470  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-dvds 12132  df-gcd 12308

This theorem is referenced by:  4sqlem17  12763