Theorem 4sqlem17 12576

Description: Lemma for 4sq 12579. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem11.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b	|- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e	|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f	|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g	|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h	|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r	|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p	|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem17	|- -. ph

Distinct variable groups:   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n   R, i   C, n   D, n   A, n   B, n   n, E   n, F   n, G   n, H   n, M

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, i)   B( x, y, z, w, i)   C( x, y, z, w, i)   D( x, y, z, w, i)   R( x, y, z, w, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   E( x, y, z, w, i)   F( x, y, z, w, i)   G( x, y, z, w, i)   H( x, y, z, w, i)   M( x, y, z, w, i)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem17

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem11.1	. . . . . . 7 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2		4sq.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
3		4sq.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4		4sq.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. Prime )
5		4sq.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
6		4sq.6	. . . . . . 7 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
7		4sq.7	. . . . . . 7 |- M = inf ( T , RR , < )
8		4sq.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9		4sq.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
10		4sq.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ZZ )
11		4sq.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ZZ )
12		4sq.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ZZ )
13		4sq.e	. . . . . . 7 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
14		4sq.f	. . . . . . 7 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
15		4sq.g	. . . . . . 7 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
16		4sq.h	. . . . . . 7 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
17		4sq.r	. . . . . . 7 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
18		4sq.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	4sqlem16 12575	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R <_ M /\ ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) ) )
20	19	simpld 112	. . . . 5 |- ( ph -> R <_ M )
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	4sqlem13m 12572	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. j j e. T /\ M < P ) )
22	21	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. j j e. T )
23		1zzd 9353	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> 1 e. ZZ )
24		nnuz 9637	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	24	rabeqi 2756	. . . . . . . . 9 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
26	6, 25	eqtri 2217	. . . . . . . 8 |- T = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
27	6	ssrab3 3269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T C_ NN
28		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> j e. T )
29		elfznn 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( 1 ... j ) -> i e. NN )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> i e. NN )
31		prmnn 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
32	4, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> P e. NN )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> P e. NN )
34	30, 33	nnmulcld 9039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN )
35	34	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN0 )
36	1	4sqlemsdc 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i x. P ) e. NN0 -> DECID ( i x. P ) e. S )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> DECID ( i x. P ) e. S )
38	23, 26, 28, 37	infssuzcldc 10325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
39	22, 38	exlimddv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
40	7, 39	eqeltrid 2283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. T )
41	27, 40	sselid 3181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. NN )
42	41	nnred 9003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. RR )
43	21	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M < P )
44	42, 43	ltned 8140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M =/= P )
45	41	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. CC )
46	45	sqvald 10762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
47	46	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> ( M x. M ) || ( M x. P ) ) )
48	41	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. ZZ )
49		prmz 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
50	4, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ZZ )
51	41	nnne0d 9035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M =/= 0 )
52		dvdscmulr 11985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( ( M x. M ) || ( M x. P ) <-> M || P ) )
53	48, 50, 48, 51, 52	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( M x. M ) || ( M x. P ) <-> M || P ) )
54		dvdsprm 12305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( M || P <-> M = P ) )
55	8, 4, 54	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M || P <-> M = P ) )
56	47, 53, 55	3bitrd 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> M = P ) )
57	56	necon3bbid 2407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -. ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> M =/= P ) )
58	44, 57	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) )
59		orc 713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R = 0 -> ( R = 0 \/ R = M ) )
60	19	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
61	59, 60	syl5 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R = 0 -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
62	58, 61	mtod 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. R = 0 )
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	4sqlem14 12573	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. NN0 )
64		elnn0 9251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. NN0 <-> ( R e. NN \/ R = 0 ) )
65	63, 64	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( R e. NN \/ R = 0 ) )
66	62, 65	ecased 1360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. NN )
67		gzreim 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] )
68	9, 10, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] )
69		gzcn 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
71	70	absvalsq2d 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) ) )
72	9	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A e. RR )
73	10	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> B e. RR )
74	72, 73	crred 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = A )
75	74	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
76	72, 73	crimd 11142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = B )
77	76	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
78	75, 77	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
79	71, 78	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
80		gzreim 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ[_i] )
81	11, 12, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ[_i] )
82		gzcn 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ[_i] -> ( C + ( _i x. D ) ) e. CC )
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( C + ( _i x. D ) ) e. CC )
84	83	absvalsq2d 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) )
85	11	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. RR )
86	12	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> D e. RR )
87	85, 86	crred 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) = C )
88	87	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( C ^ 2 ) )
89	85, 86	crimd 11142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) = D )
90	89	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( D ^ 2 ) )
91	88, 90	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
92	84, 91	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
93	79, 92	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
94	18, 93	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) )
95	94	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M x. P ) / M ) = ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) )
96	32	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. CC )
97	41	nnap0d 9036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M # 0 )
98	96, 45, 97	divcanap3d 8822	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M x. P ) / M ) = P )
99	95, 98	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = P )
100	9, 41, 13	4sqlem5 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
101	100	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> E e. ZZ )
102	10, 41, 14	4sqlem5 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
103	102	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> F e. ZZ )
104		gzreim 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ[_i] )
105	101, 103, 104	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ[_i] )
106		gzcn 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ[_i] -> ( E + ( _i x. F ) ) e. CC )
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( E + ( _i x. F ) ) e. CC )
108	107	absvalsq2d 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) ) )
109	101	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> E e. RR )
110	103	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> F e. RR )
111	109, 110	crred 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) = E )
112	111	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( E ^ 2 ) )
113	109, 110	crimd 11142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) = F )
114	113	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( F ^ 2 ) )
115	112, 114	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
116	108, 115	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
117	11, 41, 15	4sqlem5 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
118	117	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> G e. ZZ )
119	12, 41, 16	4sqlem5 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
120	119	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> H e. ZZ )
121		gzreim 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G e. ZZ /\ H e. ZZ ) -> ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ[_i] )
122	118, 120, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ[_i] )
123		gzcn 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ[_i] -> ( G + ( _i x. H ) ) e. CC )
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( G + ( _i x. H ) ) e. CC )
125	124	absvalsq2d 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) )
126	118	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> G e. RR )
127	120	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> H e. RR )
128	126, 127	crred 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) = G )
129	128	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( G ^ 2 ) )
130	126, 127	crimd 11142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) = H )
131	130	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( H ^ 2 ) )
132	129, 131	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) )
133	125, 132	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) )
134	116, 133	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
135	134	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
136	135, 17	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = R )
137	99, 136	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) = ( P x. R ) )
138	66	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R e. CC )
139	96, 138	mulcomd 8048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P x. R ) = ( R x. P ) )
140	137, 139	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) = ( R x. P ) )
141		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) )
142		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) )
143	9	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. CC )
144		ax-icn 7974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- _i e. CC
145	10	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. CC )
146		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
147	144, 145, 146	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( _i x. B ) e. CC )
148	101	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> E e. CC )
149	103	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. CC )
150		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( _i e. CC /\ F e. CC ) -> ( _i x. F ) e. CC )
151	144, 149, 150	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( _i x. F ) e. CC )
152	143, 147, 148, 151	addsub4d 8384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) ) )
153	144	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> _i e. CC )
154	153, 145, 149	subdid 8440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( _i x. ( B - F ) ) = ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) )
155	154	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) ) )
156	152, 155	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) )
157	156	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) / M ) )
158	143, 148	subcld 8337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A - E ) e. CC )
159	145, 149	subcld 8337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B - F ) e. CC )
160		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ ( B - F ) e. CC ) -> ( _i x. ( B - F ) ) e. CC )
161	144, 159, 160	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. ( B - F ) ) e. CC )
162	158, 161, 45, 97	divdirapd 8856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) ) )
163	153, 159, 45, 97	divassapd 8853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) = ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) )
164	163	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) )
165	157, 162, 164	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) )
166	100	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A - E ) / M ) e. ZZ )
167	102	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B - F ) / M ) e. ZZ )
168		gzreim 12548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A - E ) / M ) e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
169	166, 167, 168	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
170	165, 169	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) e. ZZ[_i] )
171	11	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> C e. CC )
172	12	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. CC )
173		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( _i e. CC /\ D e. CC ) -> ( _i x. D ) e. CC )
174	144, 172, 173	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( _i x. D ) e. CC )
175	118	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> G e. CC )
176	120	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. CC )
177		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( _i e. CC /\ H e. CC ) -> ( _i x. H ) e. CC )
178	144, 176, 177	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( _i x. H ) e. CC )
179	171, 174, 175, 178	addsub4d 8384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) ) )
180	153, 172, 176	subdid 8440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( _i x. ( D - H ) ) = ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) )
181	180	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) ) )
182	179, 181	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) )
183	182	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) / M ) )
184	171, 175	subcld 8337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C - G ) e. CC )
185	172, 176	subcld 8337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( D - H ) e. CC )
186		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ ( D - H ) e. CC ) -> ( _i x. ( D - H ) ) e. CC )
187	144, 185, 186	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. ( D - H ) ) e. CC )
188	184, 187, 45, 97	divdirapd 8856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) ) )
189	153, 185, 45, 97	divassapd 8853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) = ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) )
190	189	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) )
191	183, 188, 190	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) )
192	117	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C - G ) / M ) e. ZZ )
193	119	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( D - H ) / M ) e. ZZ )
194		gzreim 12548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C - G ) / M ) e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
195	192, 193, 194	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
196	191, 195	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) e. ZZ[_i] )
197	32	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN0 )
198	99, 197	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) e. NN0 )
199	1, 68, 81, 105, 122, 141, 142, 41, 170, 196, 198	mul4sqlem 12562	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) e. S )
200	140, 199	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R x. P ) e. S )
201		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = R -> ( i x. P ) = ( R x. P ) )
202	201	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = R -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( R x. P ) e. S ) )
203	202, 6	elrab2 2923	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. T <-> ( R e. NN /\ ( R x. P ) e. S ) )
204	66, 200, 203	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. T )
205	204	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> R e. T )
206		elfznn 10129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 1 ... R ) -> i e. NN )
207	206	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... R ) ) -> i e. NN )
208	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... R ) ) -> P e. NN )
209	207, 208	nnmulcld 9039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... R ) ) -> ( i x. P ) e. NN )
210	209	nnnn0d 9302	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... R ) ) -> ( i x. P ) e. NN0 )
211	210, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... R ) ) -> DECID ( i x. P ) e. S )
212	23, 26, 205, 211	infssuzledc 10324	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ R )
213	22, 212	exlimddv 1913	. . . . . 6 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) <_ R )
214	7, 213	eqbrtrid 4068	. . . . 5 |- ( ph -> M <_ R )
215	66	nnred 9003	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR )
216	215, 42	letri3d 8142	. . . . 5 |- ( ph -> ( R = M <-> ( R <_ M /\ M <_ R ) ) )
217	20, 214, 216	mpbir2and 946	. . . 4 |- ( ph -> R = M )
218	217	olcd 735	. . 3 |- ( ph -> ( R = 0 \/ R = M ) )
219	218, 60	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) )
220	219, 58	pm2.65i 640	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   =/= wne 2367   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922  infcinf 7049   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   _ici 7881   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   mod cmo 10414   ^cexp 10630   Recre 11005   Imcim 11006   abscabs 11162   || cdvds 11952   Primecprime 12275   ZZ[_i]cgz 12538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276  df-gz 12539

This theorem is referenced by:  4sqlem18  12577