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Theorem 4sqlem17 12442
Description: Lemma for 4sq 12445. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem11.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  = inf ( T ,  RR ,  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem17  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    n, N    P, i, n, w, x, y, z    S, i, n    T, i    ph, i, n    R, i    C, n    D, n    A, n    B, n    n, E    n, F    n, G    n, H    n, M
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w, i)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem17
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sqlem11.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
2 4sq.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 4sq.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4 4sq.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
5 4sq.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
6 4sq.6 . . . . . . 7  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
7 4sq.7 . . . . . . 7  |-  M  = inf ( T ,  RR ,  <  )
8 4sq.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9 4sq.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
10 4sq.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
11 4sq.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
12 4sq.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
13 4sq.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
14 4sq.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
15 4sq.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
16 4sq.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
17 4sq.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
18 4sq.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem16 12441 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  <_  M  /\  ( ( R  =  0  \/  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) ) )
2019simpld 112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  <_  M )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 74sqlem13m 12438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. j  j  e.  T  /\  M  <  P ) )
2221simpld 112 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. j  j  e.  T )
23 1zzd 9311 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  T )  ->  1  e.  ZZ )
24 nnuz 9595 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2524rabeqi 2745 . . . . . . . . 9  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  =  { i  e.  (
ZZ>= `  1 )  |  ( i  x.  P
)  e.  S }
266, 25eqtri 2210 . . . . . . . 8  |-  T  =  { i  e.  (
ZZ>= `  1 )  |  ( i  x.  P
)  e.  S }
276ssrab3 3256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  C_  NN
28 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  T )  ->  j  e.  T )
29 elfznn 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( 1 ... j )  ->  i  e.  NN )
3029adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... j
) )  ->  i  e.  NN )
31 prmnn 12145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
324, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... j
) )  ->  P  e.  NN )
3430, 33nnmulcld 8999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
i  x.  P )  e.  NN )
3534nnnn0d 9260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
i  x.  P )  e.  NN0 )
3614sqlemsdc 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  x.  P )  e.  NN0  -> DECID  ( i  x.  P
)  e.  S )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... j
) )  -> DECID  ( i  x.  P
)  e.  S )
3823, 26, 28, 37infssuzcldc 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  T )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  T )
3922, 38exlimddv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  T
)
407, 39eqeltrid 2276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
4127, 40sselid 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4241nnred 8963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4321simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  <  P )
4442, 43ltned 8102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  =/=  P )
4541nncnd 8964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
4645sqvald 10685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
4746breq1d 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )  <->  ( M  x.  M ) 
||  ( M  x.  P ) ) )
4841nnzd 9405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
49 prmz 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
504, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
5141nnne0d 8995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
52 dvdscmulr 11862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  x.  M )  ||  ( M  x.  P )  <->  M 
||  P ) )
5348, 50, 48, 51, 52syl112anc 1253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  M )  ||  ( M  x.  P )  <->  M 
||  P ) )
54 dvdsprm 12172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( M  ||  P  <->  M  =  P ) )
558, 4, 54syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  ||  P  <->  M  =  P ) )
5647, 53, 553bitrd 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )  <->  M  =  P ) )
5756necon3bbid 2400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( -.  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
)  <->  M  =/=  P
) )
5844, 57mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )
)
59 orc 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  =  0  ->  ( R  =  0  \/  R  =  M )
)
6019simprd 114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( R  =  0  \/  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) )
6159, 60syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  =  0  ->  ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )
) )
6258, 61mtod 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  R  =  0 )
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem14 12439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
64 elnn0 9209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  NN0  <->  ( R  e.  NN  \/  R  =  0 ) )
6563, 64sylib 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  e.  NN  \/  R  =  0
) )
6662, 65ecased 1360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
67 gzreim 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
689, 10, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
69 gzcn 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
7068, 69syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
7170absvalsq2d 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) ) )
729zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
7310zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7472, 73crred 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  A )
7574oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
7672, 73crimd 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  B )
7776oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
7875, 77oveq12d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
7971, 78eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
80 gzreim 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
8111, 12, 80syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
82 gzcn 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
8483absvalsq2d 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
8511zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
8612zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
8785, 86crred 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  C )
8887oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
8985, 86crimd 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  D )
9089oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
9188, 90oveq12d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
9284, 91eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
9379, 92oveq12d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
9418, 93eqtr4d 2225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
9594oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  /  M
)  =  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )
9632nncnd 8964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
9741nnap0d 8996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M #  0 )
9896, 45, 97divcanap3d 8783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  /  M
)  =  P )
9995, 98eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  P )
1009, 41, 134sqlem5 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
101100simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
10210, 41, 144sqlem5 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
103102simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
104 gzreim 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ[_i] )
105101, 103, 104syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ[_i] )
106 gzcn 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  CC )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  CC )
108107absvalsq2d 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( E  +  ( _i  x.  F
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 ) ) )
109101zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
110103zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  F  e.  RR )
111109, 110crred 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  E )
112111oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( E  +  (
_i  x.  F )
) ) ^ 2 )  =  ( E ^ 2 ) )
113109, 110crimd 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  F )
114113oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( E  +  (
_i  x.  F )
) ) ^ 2 )  =  ( F ^ 2 ) )
115112, 114oveq12d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( E  +  ( _i  x.  F
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
116108, 115eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
11711, 41, 154sqlem5 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
118117simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
11912, 41, 164sqlem5 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
120119simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
121 gzreim 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ )  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ[_i] )
122118, 120, 121syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ[_i] )
123 gzcn 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  CC )
124122, 123syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  CC )
125124absvalsq2d 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( G  +  ( _i  x.  H
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) ) )
126118zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
127120zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  H  e.  RR )
128126, 127crred 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  G )
129128oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( G  +  (
_i  x.  H )
) ) ^ 2 )  =  ( G ^ 2 ) )
130126, 127crimd 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  H )
131130oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( G  +  (
_i  x.  H )
) ) ^ 2 )  =  ( H ^ 2 ) )
132129, 131oveq12d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( G  +  ( _i  x.  H
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )
133125, 132eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )
134116, 133oveq12d 5915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
135134oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
) )
136135, 17eqtr4di 2240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  R )
13799, 136oveq12d 5915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( P  x.  R ) )
13866nncnd 8964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
13996, 138mulcomd 8010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  R
)  =  ( R  x.  P ) )
140137, 139eqtrd 2222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( R  x.  P ) )
141 eqid 2189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )
142 eqid 2189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )
1439zcnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
144 ax-icn 7937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  e.  CC
14510zcnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
146 mulcl 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
147144, 145, 146sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
148101zcnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
149103zcnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
150 mulcl 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( _i  x.  F
)  e.  CC )
151144, 149, 150sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  F
)  e.  CC )
152143, 147, 148, 151addsub4d 8346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  -  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( ( _i  x.  B )  -  (
_i  x.  F )
) ) )
153144a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
154153, 145, 149subdid 8402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( B  -  F )
)  =  ( ( _i  x.  B )  -  ( _i  x.  F ) ) )
155154oveq2d 5913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( ( _i  x.  B )  -  ( _i  x.  F
) ) ) )
156152, 155eqtr4d 2225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  -  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F )
) ) )
157156oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  +  ( _i  x.  ( B  -  F ) ) )  /  M ) )
158143, 148subcld 8299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  E
)  e.  CC )
159145, 149subcld 8299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  -  F
)  e.  CC )
160 mulcl 7969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( B  -  F
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( B  -  F
) )  e.  CC )
161144, 159, 160sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( B  -  F )
)  e.  CC )
162158, 161, 45, 97divdirapd 8817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( B  -  F ) )  /  M ) ) )
163153, 159, 45, 97divassapd 8814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( B  -  F
) )  /  M
)  =  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M ) ) )
164163oveq2d 5913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( B  -  F )
)  /  M ) )  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M
) ) ) )
165157, 162, 1643eqtrd 2226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M
) ) ) )
166100simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ )
167102simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ )
168 gzreim 12414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( _i  x.  (
( B  -  F
)  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
169166, 167, 168syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
170165, 169eqeltrd 2266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
17111zcnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
17212zcnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
173 mulcl 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( _i  x.  D
)  e.  CC )
174144, 172, 173sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  D
)  e.  CC )
175118zcnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
176120zcnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e.  CC )
177 mulcl 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  H  e.  CC )  ->  ( _i  x.  H
)  e.  CC )
178144, 176, 177sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  H
)  e.  CC )
179171, 174, 175, 178addsub4d 8346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  ( _i  x.  D
) )  -  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( ( _i  x.  D )  -  (
_i  x.  H )
) ) )
180153, 172, 176subdid 8402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( D  -  H )
)  =  ( ( _i  x.  D )  -  ( _i  x.  H ) ) )
181180oveq2d 5913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( ( _i  x.  D )  -  ( _i  x.  H
) ) ) )
182179, 181eqtr4d 2225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  ( _i  x.  D
) )  -  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H )
) ) )
183182oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  +  ( _i  x.  ( D  -  H ) ) )  /  M ) )
184171, 175subcld 8299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  -  G
)  e.  CC )
185172, 176subcld 8299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D  -  H
)  e.  CC )
186 mulcl 7969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( D  -  H
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( D  -  H
) )  e.  CC )
187144, 185, 186sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( D  -  H )
)  e.  CC )
188184, 187, 45, 97divdirapd 8817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( D  -  H ) )  /  M ) ) )
189153, 185, 45, 97divassapd 8814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( D  -  H
) )  /  M
)  =  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M ) ) )
190189oveq2d 5913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( D  -  H )
)  /  M ) )  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M
) ) ) )
191183, 188, 1903eqtrd 2226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M
) ) ) )
192117simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ )
193119simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ )
194 gzreim 12414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( _i  x.  (
( D  -  H
)  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
195192, 193, 194syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
196191, 195eqeltrd 2266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
19732nnnn0d 9260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
19899, 197eqeltrd 2266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  e. 
NN0 )
1991, 68, 81, 105, 122, 141, 142, 41, 170, 196, 198mul4sqlem 12428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  e.  S )
200140, 199eqeltrrd 2267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  x.  P
)  e.  S )
201 oveq1 5904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  R  ->  (
i  x.  P )  =  ( R  x.  P ) )
202201eleq1d 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  R  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( R  x.  P )  e.  S
) )
203202, 6elrab2 2911 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  T  <->  ( R  e.  NN  /\  ( R  x.  P )  e.  S ) )
20466, 200, 203sylanbrc 417 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  T )
205204adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  T )  ->  R  e.  T )
206 elfznn 10086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... R )  ->  i  e.  NN )
207206adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... R
) )  ->  i  e.  NN )
20832ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... R
) )  ->  P  e.  NN )
209207, 208nnmulcld 8999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... R
) )  ->  (
i  x.  P )  e.  NN )
210209nnnn0d 9260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... R
) )  ->  (
i  x.  P )  e.  NN0 )
211210, 36syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... R
) )  -> DECID  ( i  x.  P
)  e.  S )
21223, 26, 205, 211infssuzledc 11986 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  T )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  R )
21322, 212exlimddv 1910 . . . . . 6  |-  ( ph  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  R
)
2147, 213eqbrtrid 4053 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <_  R )
21566nnred 8963 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
216215, 42letri3d 8104 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  =  M  <-> 
( R  <_  M  /\  M  <_  R ) ) )
21720, 214, 216mpbir2and 946 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  =  M )
218217olcd 735 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  =  0  \/  R  =  M ) )
219218, 60mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P ) )
220219, 58pm2.65i 640 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   {cab 2175    =/= wne 2360   E.wrex 2469   {crab 2472    C_ wss 3144   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897  infcinf 7013   CCcc 7840   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843   _ici 7844    + caddc 7845    x. cmul 7847    < clt 8023    <_ cle 8024    - cmin 8159    / cdiv 8660   NNcn 8950   2c2 9001   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ZZ>=cuz 9559   ...cfz 10040    mod cmo 10355   ^cexp 10553   Recre 10884   Imcim 10885   abscabs 11041    || cdvds 11829   Primecprime 12142   ZZ[_i]cgz 12404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-2o 6443  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-dvds 11830  df-gcd 11979  df-prm 12143  df-gz 12405
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