Theorem bdtri 12025

Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bdtri	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )

Proof of Theorem bdtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1052	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> A e. RR )
2		simp2l 1054	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> B e. RR )
3	1, 2	readdcld 8356	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + B ) e. RR )
4		simp3 1030	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. RR+ )
5	4	rpred 10108	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. RR )
6	3, 5	readdcld 8356	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + C ) e. RR )
7	1	recnd 8355	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> A e. CC )
8	2	recnd 8355	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> B e. CC )
9	7, 8	addcld 8346	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + B ) e. CC )
10	5	recnd 8355	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. CC )
11	9, 10	subcld 8639	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) - C ) e. CC )
12	11	abscld 11964	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. RR )
13	6, 12	resubcld 8710	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) e. RR )
14	1, 5	readdcld 8356	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + C ) e. RR )
15	7, 10	subcld 8639	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A - C ) e. CC )
16	15	abscld 11964	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - C ) ) e. RR )
17	14, 16	resubcld 8710	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) e. RR )
18	2, 5	readdcld 8356	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B + C ) e. RR )
19	8, 10	subcld 8639	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B - C ) e. CC )
20	19	abscld 11964	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( B - C ) ) e. RR )
21	18, 20	resubcld 8710	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) e. RR )
22	17, 21	readdcld 8356	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) e. RR )
23		2rp 10070	. . . 4 |- 2 e. RR+
24	23	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 e. RR+ )
25	12	renegcld 8709	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. RR )
26	16, 20	readdcld 8356	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) e. RR )
27	5, 26	resubcld 8710	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) e. RR )
28	16	recnd 8355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - C ) ) e. CC )
29	20	recnd 8355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( B - C ) ) e. CC )
30	28, 29	addcld 8346	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) e. CC )
31	12	recnd 8355	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. CC )
32	30, 31, 30	sub32d 8671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
33	30	subidd 8627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = 0 )
34	33	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
35	32, 34	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
36		df-neg 8502	. . . . . . 7 |- -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) )
37	35, 36	eqtr4di 2289	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) )
38	26, 12	resubcld 8710	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) e. RR )
39		bdtrilem 12024	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) <_ ( C + ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
40	26, 12, 5	lesubaddd 8872	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ C <-> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) <_ ( C + ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) ) )
41	39, 40	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ C )
42	38, 5, 26, 41	lesub1dd 8891	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) <_ ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
43	37, 42	eqbrtrrd 4154	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) <_ ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
44	25, 27, 6, 43	leadd2dd 8890	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) )
45	9, 10	addcld 8346	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + C ) e. CC )
46	45, 31	negsubd 8645	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) = ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
47	9, 10, 10	addassd 8349	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + C ) = ( ( A + B ) + ( C + C ) ) )
48	7, 8, 10, 10	add4d 8497	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + ( C + C ) ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
49	47, 48	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + C ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
50	49	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) + C ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) + ( B + C ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
51	45, 10, 30	addsubassd 8659	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) + C ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) )
52	7, 10	addcld 8346	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + C ) e. CC )
53	8, 10	addcld 8346	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B + C ) e. CC )
54	52, 53, 28, 29	addsub4d 8686	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + C ) + ( B + C ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
55	50, 51, 54	3eqtr3d 2279	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
56	44, 46, 55	3brtr3d 4161	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
57	13, 22, 24, 56	lediv1dd 10167	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) <_ ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) )
58		minabs 12020	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) = ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) )
59	3, 5, 58	syl2anc 415	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) = ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) )
60		minabs 12020	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) )
61	1, 5, 60	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) )
62		minabs 12020	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) )
63	2, 5, 62	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) )
64	61, 63	oveq12d 6103	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) + ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) ) )
65	52, 28	subcld 8639	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) e. CC )
66	53, 29	subcld 8639	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) e. CC )
67		2cnd 9380	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 e. CC )
68		2ap0 9400	. . . . 5 |- 2 # 0
69	68	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 # 0 )
70	65, 66, 67, 69	divdirapd 9162	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) + ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) ) )
71	64, 70	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) )
72	57, 59, 71	3brtr4d 4162	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cpr 3710   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085  infcinf 7324   RRcr 8179   0cc0 8180   + caddc 8183   < clt 8361   <_ cle 8362   - cmin 8499   -ucneg 8500   # cap 8912   / cdiv 9005   2c2 9358   RR+crp 10065   abscabs 11779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781

This theorem is used by:  xrbdtri  12061