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Theorem bdtri 10850
Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
bdtri  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
) )

Proof of Theorem bdtri
StepHypRef Expression
1 simp1l 973 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2 simp2l 975 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
31, 2readdcld 7667 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
4 simp3 951 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR+ )
54rpred 9330 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
63, 5readdcld 7667 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  +  C
)  e.  RR )
71recnd 7666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
82recnd 7666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
97, 8addcld 7657 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
105recnd 7666 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
119, 10subcld 7944 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  e.  CC )
1211abscld 10793 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  RR )
136, 12resubcld 8010 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  e.  RR )
141, 5readdcld 7667 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  C
)  e.  RR )
157, 10subcld 7944 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  -  C
)  e.  CC )
1615abscld 10793 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  RR )
1714, 16resubcld 8010 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  e.  RR )
182, 5readdcld 7667 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  +  C
)  e.  RR )
198, 10subcld 7944 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  -  C
)  e.  CC )
2019abscld 10793 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  RR )
2118, 20resubcld 8010 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  e.  RR )
2217, 21readdcld 7667 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  +  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )  e.  RR )
23 2rp 9296 . . . 4  |-  2  e.  RR+
2423a1i 9 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2  e.  RR+ )
2512renegcld 8009 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> 
-u ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  RR )
2616, 20readdcld 7667 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  e.  RR )
275, 26resubcld 8010 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  e.  RR )
2816recnd 7666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  CC )
2920recnd 7666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  CC )
3028, 29addcld 7657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  e.  CC )
3112recnd 7666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  CC )
3230, 31, 30sub32d 7976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )
3330subidd 7932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )  =  0 )
3433oveq1d 5721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  -  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) )  =  ( 0  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )
3532, 34eqtrd 2132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  =  ( 0  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )
36 df-neg 7807 . . . . . . 7  |-  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) )  =  ( 0  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )
3735, 36syl6eqr 2150 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  =  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )
3826, 12resubcld 8010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) )  e.  RR )
39 bdtrilem 10849 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  <_ 
( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )
4026, 12, 5lesubaddd 8170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  <_  C  <->  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  <_  ( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) )
4139, 40mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) )  <_  C )
4238, 5, 26, 41lesub1dd 8189 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  <_  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) ) )
4337, 42eqbrtrrd 3897 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> 
-u ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  <_  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ) )
4425, 27, 6, 43leadd2dd 8188 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  <_  ( (
( A  +  B
)  +  C )  +  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) ) )
459, 10addcld 7657 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  +  C
)  e.  CC )
4645, 31negsubd 7950 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  =  ( ( ( A  +  B
)  +  C )  -  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) )
479, 10, 10addassd 7660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C
)  =  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  C ) ) )
487, 8, 10, 10add4d 7802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  C ) )  =  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) ) )
4947, 48eqtrd 2132 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C
)  =  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) ) )
5049oveq1d 5721 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5145, 10, 30addsubassd 7964 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  ( C  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) ) )
527, 10addcld 7657 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  C
)  e.  CC )
538, 10addcld 7657 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  +  C
)  e.  CC )
5452, 53, 28, 29addsub4d 7991 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C
) )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5550, 51, 543eqtr3d 2140 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5644, 46, 553brtr3d 3904 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  <_  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5713, 22, 24, 56lediv1dd 9389 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  /  2 )  <_  ( ( ( ( A  +  C
)  -  ( abs `  ( A  -  C
) ) )  +  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  /  2 ) )
58 minabs 10846 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  /  2 ) )
593, 5, 58syl2anc 406 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  /  2 ) )
60 minabs 10846 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( A  +  C
)  -  ( abs `  ( A  -  C
) ) )  / 
2 ) )
611, 5, 60syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( A  +  C
)  -  ( abs `  ( A  -  C
) ) )  / 
2 ) )
62 minabs 10846 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  / 
2 ) )
632, 5, 62syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  / 
2 ) )
6461, 63oveq12d 5724 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
)  =  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  /  2 )  +  ( ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  /  2 ) ) )
6552, 28subcld 7944 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  e.  CC )
6653, 29subcld 7944 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  e.  CC )
67 2cnd 8651 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
68 2ap0 8671 . . . . 5  |-  2 #  0
6968a1i 9 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2 #  0 )
7065, 66, 67, 69divdirapd 8450 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  /  2
)  +  ( ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  / 
2 ) ) )
7164, 70eqtr4d 2135 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
)  =  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  +  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  /  2
) )
7257, 59, 713brtr4d 3905 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448   {cpr 3475   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706  infcinf 6785   RRcr 7499   0cc0 7500    + caddc 7503    < clt 7672    <_ cle 7673    - cmin 7804   -ucneg 7805   # cap 8209    / cdiv 8293   2c2 8629   RR+crp 9291   abscabs 10609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611
This theorem is referenced by:  xrbdtri  10884
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