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Theorem bdtri 11280
Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
bdtri  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
) )

Proof of Theorem bdtri
StepHypRef Expression
1 simp1l 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2 simp2l 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
31, 2readdcld 8017 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
4 simp3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR+ )
54rpred 9726 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
63, 5readdcld 8017 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  +  C
)  e.  RR )
71recnd 8016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
82recnd 8016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
97, 8addcld 8007 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
105recnd 8016 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
119, 10subcld 8298 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  e.  CC )
1211abscld 11222 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  RR )
136, 12resubcld 8368 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  e.  RR )
141, 5readdcld 8017 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  C
)  e.  RR )
157, 10subcld 8298 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  -  C
)  e.  CC )
1615abscld 11222 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  RR )
1714, 16resubcld 8368 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  e.  RR )
182, 5readdcld 8017 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  +  C
)  e.  RR )
198, 10subcld 8298 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  -  C
)  e.  CC )
2019abscld 11222 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  RR )
2118, 20resubcld 8368 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  e.  RR )
2217, 21readdcld 8017 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  +  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )  e.  RR )
23 2rp 9688 . . . 4  |-  2  e.  RR+
2423a1i 9 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2  e.  RR+ )
2512renegcld 8367 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> 
-u ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  RR )
2616, 20readdcld 8017 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  e.  RR )
275, 26resubcld 8368 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  e.  RR )
2816recnd 8016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  CC )
2920recnd 8016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  CC )
3028, 29addcld 8007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  e.  CC )
3112recnd 8016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  CC )
3230, 31, 30sub32d 8330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )
3330subidd 8286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )  =  0 )
3433oveq1d 5911 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  -  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) )  =  ( 0  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )
3532, 34eqtrd 2222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  =  ( 0  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )
36 df-neg 8161 . . . . . . 7  |-  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) )  =  ( 0  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )
3735, 36eqtr4di 2240 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  =  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )
3826, 12resubcld 8368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) )  e.  RR )
39 bdtrilem 11279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  <_ 
( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )
4026, 12, 5lesubaddd 8529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  <_  C  <->  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  <_  ( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) )
4139, 40mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) )  <_  C )
4238, 5, 26, 41lesub1dd 8548 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  <_  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) ) )
4337, 42eqbrtrrd 4042 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> 
-u ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  <_  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ) )
4425, 27, 6, 43leadd2dd 8547 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  <_  ( (
( A  +  B
)  +  C )  +  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) ) )
459, 10addcld 8007 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  +  C
)  e.  CC )
4645, 31negsubd 8304 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  =  ( ( ( A  +  B
)  +  C )  -  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) )
479, 10, 10addassd 8010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C
)  =  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  C ) ) )
487, 8, 10, 10add4d 8156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  C ) )  =  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) ) )
4947, 48eqtrd 2222 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C
)  =  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) ) )
5049oveq1d 5911 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5145, 10, 30addsubassd 8318 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  ( C  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) ) )
527, 10addcld 8007 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  C
)  e.  CC )
538, 10addcld 8007 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  +  C
)  e.  CC )
5452, 53, 28, 29addsub4d 8345 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C
) )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5550, 51, 543eqtr3d 2230 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5644, 46, 553brtr3d 4049 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  <_  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5713, 22, 24, 56lediv1dd 9785 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  /  2 )  <_  ( ( ( ( A  +  C
)  -  ( abs `  ( A  -  C
) ) )  +  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  /  2 ) )
58 minabs 11276 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  /  2 ) )
593, 5, 58syl2anc 411 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  /  2 ) )
60 minabs 11276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( A  +  C
)  -  ( abs `  ( A  -  C
) ) )  / 
2 ) )
611, 5, 60syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( A  +  C
)  -  ( abs `  ( A  -  C
) ) )  / 
2 ) )
62 minabs 11276 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  / 
2 ) )
632, 5, 62syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  / 
2 ) )
6461, 63oveq12d 5914 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
)  =  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  /  2 )  +  ( ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  /  2 ) ) )
6552, 28subcld 8298 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  e.  CC )
6653, 29subcld 8298 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  e.  CC )
67 2cnd 9022 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
68 2ap0 9042 . . . . 5  |-  2 #  0
6968a1i 9 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2 #  0 )
7065, 66, 67, 69divdirapd 8816 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  /  2
)  +  ( ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  / 
2 ) ) )
7164, 70eqtr4d 2225 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
)  =  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  +  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  /  2
) )
7257, 59, 713brtr4d 4050 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   {cpr 3608   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896  infcinf 7012   RRcr 7840   0cc0 7841    + caddc 7844    < clt 8022    <_ cle 8023    - cmin 8158   -ucneg 8159   # cap 8568    / cdiv 8659   2c2 9000   RR+crp 9683   abscabs 11038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040
This theorem is referenced by:  xrbdtri  11316
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