Theorem bdtri 11422

Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bdtri	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )

Proof of Theorem bdtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1023	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> A e. RR )
2		simp2l 1025	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> B e. RR )
3	1, 2	readdcld 8073	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + B ) e. RR )
4		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. RR+ )
5	4	rpred 9788	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. RR )
6	3, 5	readdcld 8073	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + C ) e. RR )
7	1	recnd 8072	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> A e. CC )
8	2	recnd 8072	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> B e. CC )
9	7, 8	addcld 8063	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + B ) e. CC )
10	5	recnd 8072	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. CC )
11	9, 10	subcld 8354	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) - C ) e. CC )
12	11	abscld 11363	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. RR )
13	6, 12	resubcld 8424	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) e. RR )
14	1, 5	readdcld 8073	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + C ) e. RR )
15	7, 10	subcld 8354	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A - C ) e. CC )
16	15	abscld 11363	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - C ) ) e. RR )
17	14, 16	resubcld 8424	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) e. RR )
18	2, 5	readdcld 8073	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B + C ) e. RR )
19	8, 10	subcld 8354	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B - C ) e. CC )
20	19	abscld 11363	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( B - C ) ) e. RR )
21	18, 20	resubcld 8424	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) e. RR )
22	17, 21	readdcld 8073	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) e. RR )
23		2rp 9750	. . . 4 |- 2 e. RR+
24	23	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 e. RR+ )
25	12	renegcld 8423	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. RR )
26	16, 20	readdcld 8073	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) e. RR )
27	5, 26	resubcld 8424	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) e. RR )
28	16	recnd 8072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - C ) ) e. CC )
29	20	recnd 8072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( B - C ) ) e. CC )
30	28, 29	addcld 8063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) e. CC )
31	12	recnd 8072	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. CC )
32	30, 31, 30	sub32d 8386	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
33	30	subidd 8342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = 0 )
34	33	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
35	32, 34	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
36		df-neg 8217	. . . . . . 7 |- -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) )
37	35, 36	eqtr4di 2247	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) )
38	26, 12	resubcld 8424	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) e. RR )
39		bdtrilem 11421	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) <_ ( C + ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
40	26, 12, 5	lesubaddd 8586	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ C <-> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) <_ ( C + ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) ) )
41	39, 40	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ C )
42	38, 5, 26, 41	lesub1dd 8605	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) <_ ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
43	37, 42	eqbrtrrd 4058	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) <_ ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
44	25, 27, 6, 43	leadd2dd 8604	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) )
45	9, 10	addcld 8063	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + C ) e. CC )
46	45, 31	negsubd 8360	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) = ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
47	9, 10, 10	addassd 8066	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + C ) = ( ( A + B ) + ( C + C ) ) )
48	7, 8, 10, 10	add4d 8212	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + ( C + C ) ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
49	47, 48	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + C ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
50	49	oveq1d 5940	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) + C ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) + ( B + C ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
51	45, 10, 30	addsubassd 8374	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) + C ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) )
52	7, 10	addcld 8063	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + C ) e. CC )
53	8, 10	addcld 8063	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B + C ) e. CC )
54	52, 53, 28, 29	addsub4d 8401	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + C ) + ( B + C ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
55	50, 51, 54	3eqtr3d 2237	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
56	44, 46, 55	3brtr3d 4065	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
57	13, 22, 24, 56	lediv1dd 9847	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) <_ ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) )
58		minabs 11418	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) = ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) )
59	3, 5, 58	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) = ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) )
60		minabs 11418	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) )
61	1, 5, 60	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) )
62		minabs 11418	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) )
63	2, 5, 62	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) )
64	61, 63	oveq12d 5943	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) + ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) ) )
65	52, 28	subcld 8354	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) e. CC )
66	53, 29	subcld 8354	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) e. CC )
67		2cnd 9080	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 e. CC )
68		2ap0 9100	. . . . 5 |- 2 # 0
69	68	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 # 0 )
70	65, 66, 67, 69	divdirapd 8873	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) + ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) ) )
71	64, 70	eqtr4d 2232	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) )
72	57, 59, 71	3brtr4d 4066	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cpr 3624   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925  infcinf 7058   RRcr 7895   0cc0 7896   + caddc 7899   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   -ucneg 8215   # cap 8625   / cdiv 8716   2c2 9058   RR+crp 9745   abscabs 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11458