Theorem bdtri 11196

Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bdtri	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )

Proof of Theorem bdtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1016	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> A e. RR )
2		simp2l 1018	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> B e. RR )
3	1, 2	readdcld 7942	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + B ) e. RR )
4		simp3 994	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. RR+ )
5	4	rpred 9646	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. RR )
6	3, 5	readdcld 7942	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + C ) e. RR )
7	1	recnd 7941	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> A e. CC )
8	2	recnd 7941	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> B e. CC )
9	7, 8	addcld 7932	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + B ) e. CC )
10	5	recnd 7941	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. CC )
11	9, 10	subcld 8223	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) - C ) e. CC )
12	11	abscld 11138	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. RR )
13	6, 12	resubcld 8293	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) e. RR )
14	1, 5	readdcld 7942	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + C ) e. RR )
15	7, 10	subcld 8223	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A - C ) e. CC )
16	15	abscld 11138	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - C ) ) e. RR )
17	14, 16	resubcld 8293	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) e. RR )
18	2, 5	readdcld 7942	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B + C ) e. RR )
19	8, 10	subcld 8223	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B - C ) e. CC )
20	19	abscld 11138	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( B - C ) ) e. RR )
21	18, 20	resubcld 8293	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) e. RR )
22	17, 21	readdcld 7942	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) e. RR )
23		2rp 9608	. . . 4 |- 2 e. RR+
24	23	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 e. RR+ )
25	12	renegcld 8292	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. RR )
26	16, 20	readdcld 7942	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) e. RR )
27	5, 26	resubcld 8293	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) e. RR )
28	16	recnd 7941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - C ) ) e. CC )
29	20	recnd 7941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( B - C ) ) e. CC )
30	28, 29	addcld 7932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) e. CC )
31	12	recnd 7941	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. CC )
32	30, 31, 30	sub32d 8255	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
33	30	subidd 8211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = 0 )
34	33	oveq1d 5866	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
35	32, 34	eqtrd 2203	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
36		df-neg 8086	. . . . . . 7 |- -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) )
37	35, 36	eqtr4di 2221	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) )
38	26, 12	resubcld 8293	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) e. RR )
39		bdtrilem 11195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) <_ ( C + ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
40	26, 12, 5	lesubaddd 8454	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ C <-> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) <_ ( C + ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) ) )
41	39, 40	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ C )
42	38, 5, 26, 41	lesub1dd 8473	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) <_ ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
43	37, 42	eqbrtrrd 4011	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) <_ ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
44	25, 27, 6, 43	leadd2dd 8472	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) )
45	9, 10	addcld 7932	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + C ) e. CC )
46	45, 31	negsubd 8229	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) = ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
47	9, 10, 10	addassd 7935	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + C ) = ( ( A + B ) + ( C + C ) ) )
48	7, 8, 10, 10	add4d 8081	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + ( C + C ) ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
49	47, 48	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + C ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
50	49	oveq1d 5866	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) + C ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) + ( B + C ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
51	45, 10, 30	addsubassd 8243	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) + C ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) )
52	7, 10	addcld 7932	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + C ) e. CC )
53	8, 10	addcld 7932	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B + C ) e. CC )
54	52, 53, 28, 29	addsub4d 8270	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + C ) + ( B + C ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
55	50, 51, 54	3eqtr3d 2211	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
56	44, 46, 55	3brtr3d 4018	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
57	13, 22, 24, 56	lediv1dd 9705	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) <_ ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) )
58		minabs 11192	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) = ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) )
59	3, 5, 58	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) = ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) )
60		minabs 11192	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) )
61	1, 5, 60	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) )
62		minabs 11192	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) )
63	2, 5, 62	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) )
64	61, 63	oveq12d 5869	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) + ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) ) )
65	52, 28	subcld 8223	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) e. CC )
66	53, 29	subcld 8223	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) e. CC )
67		2cnd 8944	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 e. CC )
68		2ap0 8964	. . . . 5 |- 2 # 0
69	68	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 # 0 )
70	65, 66, 67, 69	divdirapd 8739	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) + ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) ) )
71	64, 70	eqtr4d 2206	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) )
72	57, 59, 71	3brtr4d 4019	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cpr 3582   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851  infcinf 6958   RRcr 7766   0cc0 7767   + caddc 7770   < clt 7947   <_ cle 7948   - cmin 8083   -ucneg 8084   # cap 8493   / cdiv 8582   2c2 8922   RR+crp 9603   abscabs 10954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-sup 6959  df-inf 6960  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-rp 9604  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11232