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Theorem bdtri 11035
Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
bdtri  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
) )

Proof of Theorem bdtri
StepHypRef Expression
1 simp1l 1005 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2 simp2l 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
31, 2readdcld 7814 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
4 simp3 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR+ )
54rpred 9506 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
63, 5readdcld 7814 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  +  C
)  e.  RR )
71recnd 7813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
82recnd 7813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
97, 8addcld 7804 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
105recnd 7813 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
119, 10subcld 8092 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  e.  CC )
1211abscld 10977 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  RR )
136, 12resubcld 8162 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  e.  RR )
141, 5readdcld 7814 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  C
)  e.  RR )
157, 10subcld 8092 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  -  C
)  e.  CC )
1615abscld 10977 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  RR )
1714, 16resubcld 8162 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  e.  RR )
182, 5readdcld 7814 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  +  C
)  e.  RR )
198, 10subcld 8092 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  -  C
)  e.  CC )
2019abscld 10977 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  RR )
2118, 20resubcld 8162 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  e.  RR )
2217, 21readdcld 7814 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  +  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )  e.  RR )
23 2rp 9468 . . . 4  |-  2  e.  RR+
2423a1i 9 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2  e.  RR+ )
2512renegcld 8161 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> 
-u ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  RR )
2616, 20readdcld 7814 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  e.  RR )
275, 26resubcld 8162 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  e.  RR )
2816recnd 7813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  CC )
2920recnd 7813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  CC )
3028, 29addcld 7804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  e.  CC )
3112recnd 7813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  CC )
3230, 31, 30sub32d 8124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )
3330subidd 8080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )  =  0 )
3433oveq1d 5792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  -  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) )  =  ( 0  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )
3532, 34eqtrd 2172 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  =  ( 0  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )
36 df-neg 7955 . . . . . . 7  |-  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) )  =  ( 0  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )
3735, 36eqtr4di 2190 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  =  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )
3826, 12resubcld 8162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) )  e.  RR )
39 bdtrilem 11034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  <_ 
( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )
4026, 12, 5lesubaddd 8323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  <_  C  <->  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  <_  ( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) )
4139, 40mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) )  <_  C )
4238, 5, 26, 41lesub1dd 8342 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  <_  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) ) )
4337, 42eqbrtrrd 3955 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> 
-u ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  <_  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ) )
4425, 27, 6, 43leadd2dd 8341 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  <_  ( (
( A  +  B
)  +  C )  +  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) ) )
459, 10addcld 7804 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  +  C
)  e.  CC )
4645, 31negsubd 8098 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  -u ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  =  ( ( ( A  +  B
)  +  C )  -  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) )
479, 10, 10addassd 7807 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C
)  =  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  C ) ) )
487, 8, 10, 10add4d 7950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  C ) )  =  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) ) )
4947, 48eqtrd 2172 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C
)  =  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) ) )
5049oveq1d 5792 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5145, 10, 30addsubassd 8112 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  C )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  ( C  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) ) )
527, 10addcld 7804 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  C
)  e.  CC )
538, 10addcld 7804 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  +  C
)  e.  CC )
5452, 53, 28, 29addsub4d 8139 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  C )  +  ( B  +  C
) )  -  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5550, 51, 543eqtr3d 2180 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  +  ( C  -  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) ) )  =  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5644, 46, 553brtr3d 3962 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  <_  ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
5713, 22, 24, 56lediv1dd 9565 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  /  2 )  <_  ( ( ( ( A  +  C
)  -  ( abs `  ( A  -  C
) ) )  +  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  /  2 ) )
58 minabs 11031 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  /  2 ) )
593, 5, 58syl2anc 408 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  /  2 ) )
60 minabs 11031 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( A  +  C
)  -  ( abs `  ( A  -  C
) ) )  / 
2 ) )
611, 5, 60syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( A  +  C
)  -  ( abs `  ( A  -  C
) ) )  / 
2 ) )
62 minabs 11031 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  / 
2 ) )
632, 5, 62syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  =  ( ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  / 
2 ) )
6461, 63oveq12d 5795 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
)  =  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  /  2 )  +  ( ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  /  2 ) ) )
6552, 28subcld 8092 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  e.  CC )
6653, 29subcld 8092 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  e.  CC )
67 2cnd 8812 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
68 2ap0 8832 . . . . 5  |-  2 #  0
6968a1i 9 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2 #  0 )
7065, 66, 67, 69divdirapd 8608 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  +  ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C )
) )  /  2
)  +  ( ( ( B  +  C
)  -  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  / 
2 ) ) )
7164, 70eqtr4d 2175 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
)  =  ( ( ( ( A  +  C )  -  ( abs `  ( A  -  C ) ) )  +  ( ( B  +  C )  -  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )  /  2
) )
7257, 59, 713brtr4d 3963 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   {cpr 3528   class class class wbr 3932   ` cfv 5126  (class class class)co 5777  infcinf 6873   RRcr 7638   0cc0 7639    + caddc 7642    < clt 7819    <_ cle 7820    - cmin 7952   -ucneg 7953   # cap 8362    / cdiv 8451   2c2 8790   RR+crp 9463   abscabs 10793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-isom 5135  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-sup 6874  df-inf 6875  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-rp 9464  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795
This theorem is referenced by:  xrbdtri  11069
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