pcqmul - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pcqmul		Unicode version

Theorem pcqmul 12303

Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcqmul	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem pcqmul Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1023	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		elq 9622	. . 3
3	1, 2	sylib 122	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp3l 1025	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		elq 9622	. . 3
6	4, 5	sylib 122	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		reeanv 2647	. . 3 $/\$ $/\$
8		reeanv 2647	. . . . 5 $/\$ $/\$
9		simp2r 1024	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simp3r 1026	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		simp1 997	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	nncnd 8933	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	14	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
17	15, 16	div0apd 8744	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . 13
19	18	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12
20	17, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	necon3d 2391	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	22	nncnd 8933	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	22	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
25	23, 24	div0apd 8744	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12
28	25, 27	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	necon3d 2391	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	31, 32	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	31	zcnd 9376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	32	zcnd 9376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		0zd 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		zapne 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ #
39	31, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
40	36, 39	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
41		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		zapne 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ #
43	32, 37, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
44	41, 43	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
45	34, 35, 40, 44	mulap0d 8615	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
46		zapne 9327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ #
47	33, 37, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
48	45, 47	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	14	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	22	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	49, 50	nnmulcld 8968	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		pcdiv 12302	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
53	30, 33, 48, 51, 52	syl121anc 1243	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		pcmul 12301	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	30, 31, 36, 32, 41, 54	syl122anc 1247	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	49	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	14	nnne0d 8964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	50	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	22	nnne0d 8964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		pcmul 12301	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	30, 56, 58, 59, 61, 62	syl122anc 1247	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	55, 63	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		pczcl 12298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
66	30, 31, 36, 65	syl12anc 1236	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		pczcl 12298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
69	30, 32, 41, 68	syl12anc 1236	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	69	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	30, 49	pccld 12300	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	30, 50	pccld 12300	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	67, 70, 72, 74	addsub4d 8315	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	53, 64, 75	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	15	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	23	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	16	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
80	24	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
81	34, 77, 35, 78, 79, 80	divmuldivapd 8789	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	81	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		pcdiv 12302	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
84	30, 31, 36, 49, 83	syl121anc 1243	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		pcdiv 12302	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
86	30, 32, 41, 50, 85	syl121anc 1243	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	84, 86	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	76, 82, 87	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	88	expr 375	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	21, 29, 89	syl2and 295	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		neeq1 2360	. . . . . . . . . . 11
92		neeq1 2360	. . . . . . . . . . 11
93	91, 92	bi2anan9 606	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
94		oveq12 5884	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
95	94	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 $/\$
96		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . 12
97		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . 12
98	96, 97	oveqan12d 5894	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	95, 98	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . 10 $/\$
100	93, 99	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
101	90, 100	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	13, 101	sylanl1 402	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 102	mpid 42	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	rexlimdvva 2602	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	8, 104	biimtrrid 153	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	rexlimdvva 2602	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	7, 106	biimtrrid 153	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	3, 6, 107	mp2and 433	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

wne 2347

wrex 2456 class class class wbr 4004 (class class class)co 5875

cc 7809

cc0 7811

caddc 7814

cmul 7816

cmin 8128 # cap 8538

cdiv 8629

cn 8919

cn0 9176

cz 9253

cq 9619

cprime 12107

cpc 12284

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-isom 5226 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-frec 6392 df-1o 6417 df-2o 6418 df-er 6535 df-en 6741 df-sup 6983 df-inf 6984 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-q 9620 df-rp 9654 df-fz 10009 df-fzo 10143 df-fl 10270 df-mod 10323 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008 df-dvds 11795 df-gcd 11944 df-prm 12108 df-pc 12285

This theorem is referenced by: pcqdiv 12307 pcexp 12309 pcaddlem 12338

W3C validator