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Theorem pcqmul 12956

Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcqmul	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem pcqmul Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1050	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		elq 9917	. . 3
3	1, 2	sylib 122	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp3l 1052	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		elq 9917	. . 3
6	4, 5	sylib 122	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		reeanv 2704	. . 3 $/\$ $/\$
8		reeanv 2704	. . . . 5 $/\$ $/\$
9		simp2r 1051	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simp3r 1053	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		simp1 1024	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	14	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
17	15, 16	div0apd 9026	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . 13
19	18	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12
20	17, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	necon3d 2447	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	22	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	22	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
25	23, 24	div0apd 9026	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12
28	25, 27	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	necon3d 2447	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	31, 32	zmulcld 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	31	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	32	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		simprrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		0zd 9552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		zapne 9615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ #
39	31, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
40	36, 39	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
41		simprrr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		zapne 9615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ #
43	32, 37, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
44	41, 43	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
45	34, 35, 40, 44	mulap0d 8897	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
46		zapne 9615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ #
47	33, 37, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
48	45, 47	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	14	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	22	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	49, 50	nnmulcld 9251	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		pcdiv 12955	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
53	30, 33, 48, 51, 52	syl121anc 1279	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		pcmul 12954	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	30, 31, 36, 32, 41, 54	syl122anc 1283	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	49	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	14	nnne0d 9247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	50	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	22	nnne0d 9247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		pcmul 12954	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	30, 56, 58, 59, 61, 62	syl122anc 1283	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	55, 63	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		pczcl 12951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
66	30, 31, 36, 65	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	nn0cnd 9518	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		pczcl 12951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
69	30, 32, 41, 68	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	69	nn0cnd 9518	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	30, 49	pccld 12953	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	nn0cnd 9518	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	30, 50	pccld 12953	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	nn0cnd 9518	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	67, 70, 72, 74	addsub4d 8596	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	53, 64, 75	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	15	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	23	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	16	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
80	24	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
81	34, 77, 35, 78, 79, 80	divmuldivapd 9071	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	81	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		pcdiv 12955	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
84	30, 31, 36, 49, 83	syl121anc 1279	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		pcdiv 12955	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
86	30, 32, 41, 50, 85	syl121anc 1279	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	84, 86	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	76, 82, 87	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	88	expr 375	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	21, 29, 89	syl2and 295	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		neeq1 2416	. . . . . . . . . . 11
92		neeq1 2416	. . . . . . . . . . 11
93	91, 92	bi2anan9 610	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
94		oveq12 6037	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
95	94	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 $/\$
96		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . 12
97		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . 12
98	96, 97	oveqan12d 6047	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	95, 98	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . 10 $/\$
100	93, 99	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
101	90, 100	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	13, 101	sylanl1 402	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 102	mpid 42	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	rexlimdvva 2659	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	8, 104	biimtrrid 153	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	rexlimdvva 2659	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	7, 106	biimtrrid 153	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	3, 6, 107	mp2and 433	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202

wne 2403

wrex 2512 class class class wbr 4093 (class class class)co 6028

cc 8090

cc0 8092

caddc 8095

cmul 8097

cmin 8409 # cap 8820

cdiv 8911

cn 9202

cn0 9461

cz 9540

cq 9914

cprime 12759

cpc 12937

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8183 ax-resscn 8184 ax-1cn 8185 ax-1re 8186 ax-icn 8187 ax-addcl 8188 ax-addrcl 8189 ax-mulcl 8190 ax-mulrcl 8191 ax-addcom 8192 ax-mulcom 8193 ax-addass 8194 ax-mulass 8195 ax-distr 8196 ax-i2m1 8197 ax-0lt1 8198 ax-1rid 8199 ax-0id 8200 ax-rnegex 8201 ax-precex 8202 ax-cnre 8203 ax-pre-ltirr 8204 ax-pre-ltwlin 8205 ax-pre-lttrn 8206 ax-pre-apti 8207 ax-pre-ltadd 8208 ax-pre-mulgt0 8209 ax-pre-mulext 8210 ax-arch 8211 ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-isom 5342 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-1o 6625 df-2o 6626 df-er 6745 df-en 6953 df-sup 7243 df-inf 7244 df-pnf 8275 df-mnf 8276 df-xr 8277 df-ltxr 8278 df-le 8279 df-sub 8411 df-neg 8412 df-reap 8814 df-ap 8821 df-div 8912 df-inn 9203 df-2 9261 df-3 9262 df-4 9263 df-n0 9462 df-z 9541 df-uz 9817 df-q 9915 df-rp 9950 df-fz 10306 df-fzo 10440 df-fl 10593 df-mod 10648 df-seqfrec 10773 df-exp 10864 df-cj 11482 df-re 11483 df-im 11484 df-rsqrt 11638 df-abs 11639 df-dvds 12429 df-gcd 12605 df-prm 12760 df-pc 12938

This theorem is referenced by: pcqdiv 12960 pcexp 12962 pcaddlem 12992

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