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Theorem pcqmul 12231

Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcqmul	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem pcqmul Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1013	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		elq 9556	. . 3
3	1, 2	sylib 121	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp3l 1015	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		elq 9556	. . 3
6	4, 5	sylib 121	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		reeanv 2634	. . 3 $/\$ $/\$
8		reeanv 2634	. . . . 5 $/\$ $/\$
9		simp2r 1014	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simp3r 1016	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	jca 304	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	ad2antrr 480	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		simp1 987	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	nncnd 8867	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	14	nnap0d 8899	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
17	15, 16	div0apd 8679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq1 5848	. . . . . . . . . . . . 13
19	18	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . 12
20	17, 19	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	necon3d 2379	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	22	nncnd 8867	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	22	nnap0d 8899	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
25	23, 24	div0apd 8679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		oveq1 5848	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . 12
28	25, 27	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	necon3d 2379	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	31, 32	zmulcld 9315	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	31	zcnd 9310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	32	zcnd 9310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		simprrl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		0zd 9199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		zapne 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ #
39	31, 37, 38	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
40	36, 39	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
41		simprrr 530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		zapne 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ #
43	32, 37, 42	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
44	41, 43	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
45	34, 35, 40, 44	mulap0d 8551	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
46		zapne 9261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ #
47	33, 37, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
48	45, 47	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	14	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	22	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	49, 50	nnmulcld 8902	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		pcdiv 12230	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
53	30, 33, 48, 51, 52	syl121anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		pcmul 12229	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	30, 31, 36, 32, 41, 54	syl122anc 1237	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	49	nnzd 9308	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	14	nnne0d 8898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	50	nnzd 9308	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	22	nnne0d 8898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		pcmul 12229	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	30, 56, 58, 59, 61, 62	syl122anc 1237	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	55, 63	oveq12d 5859	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		pczcl 12226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
66	30, 31, 36, 65	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	nn0cnd 9165	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		pczcl 12226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
69	30, 32, 41, 68	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	69	nn0cnd 9165	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	30, 49	pccld 12228	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	nn0cnd 9165	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	30, 50	pccld 12228	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	nn0cnd 9165	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	67, 70, 72, 74	addsub4d 8252	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	53, 64, 75	3eqtrd 2202	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	15	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	23	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	16	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
80	24	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
81	34, 77, 35, 78, 79, 80	divmuldivapd 8724	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	81	oveq2d 5857	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		pcdiv 12230	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
84	30, 31, 36, 49, 83	syl121anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		pcdiv 12230	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
86	30, 32, 41, 50, 85	syl121anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	84, 86	oveq12d 5859	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	76, 82, 87	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	88	expr 373	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	21, 29, 89	syl2and 293	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		neeq1 2348	. . . . . . . . . . 11
92		neeq1 2348	. . . . . . . . . . 11
93	91, 92	bi2anan9 596	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
94		oveq12 5850	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
95	94	oveq2d 5857	. . . . . . . . . . 11 $/\$
96		oveq2 5849	. . . . . . . . . . . 12
97		oveq2 5849	. . . . . . . . . . . 12
98	96, 97	oveqan12d 5860	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	95, 98	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . 10 $/\$
100	93, 99	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
101	90, 100	syl5ibrcom 156	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	13, 101	sylanl1 400	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 102	mpid 42	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	rexlimdvva 2590	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	8, 104	syl5bir 152	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	rexlimdvva 2590	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	7, 106	syl5bir 152	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	3, 6, 107	mp2and 430	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136

wne 2335

wrex 2444 class class class wbr 3981 (class class class)co 5841

cc 7747

cc0 7749

caddc 7752

cmul 7754

cmin 8065 # cap 8475

cdiv 8564

cn 8853

cn0 9110

cz 9187

cq 9553

cprime 12035

cpc 12212

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4096 ax-sep 4099 ax-nul 4107 ax-pow 4152 ax-pr 4186 ax-un 4410 ax-setind 4513 ax-iinf 4564 ax-cnex 7840 ax-resscn 7841 ax-1cn 7842 ax-1re 7843 ax-icn 7844 ax-addcl 7845 ax-addrcl 7846 ax-mulcl 7847 ax-mulrcl 7848 ax-addcom 7849 ax-mulcom 7850 ax-addass 7851 ax-mulass 7852 ax-distr 7853 ax-i2m1 7854 ax-0lt1 7855 ax-1rid 7856 ax-0id 7857 ax-rnegex 7858 ax-precex 7859 ax-cnre 7860 ax-pre-ltirr 7861 ax-pre-ltwlin 7862 ax-pre-lttrn 7863 ax-pre-apti 7864 ax-pre-ltadd 7865 ax-pre-mulgt0 7866 ax-pre-mulext 7867 ax-arch 7868 ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2296 df-ne 2336 df-nel 2431 df-ral 2448 df-rex 2449 df-reu 2450 df-rmo 2451 df-rab 2452 df-v 2727 df-sbc 2951 df-csb 3045 df-dif 3117 df-un 3119 df-in 3121 df-ss 3128 df-nul 3409 df-if 3520 df-pw 3560 df-sn 3581 df-pr 3582 df-op 3584 df-uni 3789 df-int 3824 df-iun 3867 df-br 3982 df-opab 4043 df-mpt 4044 df-tr 4080 df-id 4270 df-po 4273 df-iso 4274 df-iord 4343 df-on 4345 df-ilim 4346 df-suc 4348 df-iom 4567 df-xp 4609 df-rel 4610 df-cnv 4611 df-co 4612 df-dm 4613 df-rn 4614 df-res 4615 df-ima 4616 df-iota 5152 df-fun 5189 df-fn 5190 df-f 5191 df-f1 5192 df-fo 5193 df-f1o 5194 df-fv 5195 df-isom 5196 df-riota 5797 df-ov 5844 df-oprab 5845 df-mpo 5846 df-1st 6105 df-2nd 6106 df-recs 6269 df-frec 6355 df-1o 6380 df-2o 6381 df-er 6497 df-en 6703 df-sup 6945 df-inf 6946 df-pnf 7931 df-mnf 7932 df-xr 7933 df-ltxr 7934 df-le 7935 df-sub 8067 df-neg 8068 df-reap 8469 df-ap 8476 df-div 8565 df-inn 8854 df-2 8912 df-3 8913 df-4 8914 df-n0 9111 df-z 9188 df-uz 9463 df-q 9554 df-rp 9586 df-fz 9941 df-fzo 10074 df-fl 10201 df-mod 10254 df-seqfrec 10377 df-exp 10451 df-cj 10780 df-re 10781 df-im 10782 df-rsqrt 10936 df-abs 10937 df-dvds 11724 df-gcd 11872 df-prm 12036 df-pc 12213

This theorem is referenced by: pcqdiv 12235 pcexp 12237 pcaddlem 12266

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