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Theorem pcqmul 12194

Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcqmul	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem pcqmul Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1008	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		elq 9538	. . 3
3	1, 2	sylib 121	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp3l 1010	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		elq 9538	. . 3
6	4, 5	sylib 121	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		reeanv 2626	. . 3 $/\$ $/\$
8		reeanv 2626	. . . . 5 $/\$ $/\$
9		simp2r 1009	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simp3r 1011	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	jca 304	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	ad2antrr 480	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		simp1 982	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	nncnd 8853	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	14	nnap0d 8885	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
17	15, 16	div0apd 8665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq1 5834	. . . . . . . . . . . . 13
19	18	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . 12
20	17, 19	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	necon3d 2371	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	22	nncnd 8853	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	22	nnap0d 8885	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
25	23, 24	div0apd 8665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		oveq1 5834	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . 12
28	25, 27	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	necon3d 2371	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	31, 32	zmulcld 9298	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	31	zcnd 9293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	32	zcnd 9293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		simprrl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		0zd 9185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		zapne 9244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ #
39	31, 37, 38	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
40	36, 39	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
41		simprrr 530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		zapne 9244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ #
43	32, 37, 42	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
44	41, 43	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
45	34, 35, 40, 44	mulap0d 8537	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
46		zapne 9244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ #
47	33, 37, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
48	45, 47	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	14	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	22	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	49, 50	nnmulcld 8888	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		pcdiv 12193	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
53	30, 33, 48, 51, 52	syl121anc 1225	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		pcmul 12192	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	30, 31, 36, 32, 41, 54	syl122anc 1229	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	49	nnzd 9291	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	14	nnne0d 8884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	50	nnzd 9291	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	22	nnne0d 8884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		pcmul 12192	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	30, 56, 58, 59, 61, 62	syl122anc 1229	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	55, 63	oveq12d 5845	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		pczcl 12189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
66	30, 31, 36, 65	syl12anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	nn0cnd 9151	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		pczcl 12189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
69	30, 32, 41, 68	syl12anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	69	nn0cnd 9151	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	30, 49	pccld 12191	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	nn0cnd 9151	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	30, 50	pccld 12191	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	nn0cnd 9151	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	67, 70, 72, 74	addsub4d 8238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	53, 64, 75	3eqtrd 2194	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	15	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	23	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	16	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
80	24	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
81	34, 77, 35, 78, 79, 80	divmuldivapd 8710	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	81	oveq2d 5843	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		pcdiv 12193	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
84	30, 31, 36, 49, 83	syl121anc 1225	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		pcdiv 12193	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
86	30, 32, 41, 50, 85	syl121anc 1225	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	84, 86	oveq12d 5845	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	76, 82, 87	3eqtr4d 2200	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	88	expr 373	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	21, 29, 89	syl2and 293	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		neeq1 2340	. . . . . . . . . . 11
92		neeq1 2340	. . . . . . . . . . 11
93	91, 92	bi2anan9 596	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
94		oveq12 5836	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
95	94	oveq2d 5843	. . . . . . . . . . 11 $/\$
96		oveq2 5835	. . . . . . . . . . . 12
97		oveq2 5835	. . . . . . . . . . . 12
98	96, 97	oveqan12d 5846	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	95, 98	eqeq12d 2172	. . . . . . . . . 10 $/\$
100	93, 99	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
101	90, 100	syl5ibrcom 156	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	13, 101	sylanl1 400	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 102	mpid 42	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	rexlimdvva 2582	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	8, 104	syl5bir 152	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	rexlimdvva 2582	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	7, 106	syl5bir 152	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	3, 6, 107	mp2and 430	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 963

wceq 1335

wcel 2128

wne 2327

wrex 2436 class class class wbr 3967 (class class class)co 5827

cc 7733

cc0 7735

caddc 7738

cmul 7740

cmin 8051 # cap 8461

cdiv 8550

cn 8839

cn0 9096

cz 9173

cq 9535

cprime 12000

cpc 12175

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4082 ax-sep 4085 ax-nul 4093 ax-pow 4138 ax-pr 4172 ax-un 4396 ax-setind 4499 ax-iinf 4550 ax-cnex 7826 ax-resscn 7827 ax-1cn 7828 ax-1re 7829 ax-icn 7830 ax-addcl 7831 ax-addrcl 7832 ax-mulcl 7833 ax-mulrcl 7834 ax-addcom 7835 ax-mulcom 7836 ax-addass 7837 ax-mulass 7838 ax-distr 7839 ax-i2m1 7840 ax-0lt1 7841 ax-1rid 7842 ax-0id 7843 ax-rnegex 7844 ax-precex 7845 ax-cnre 7846 ax-pre-ltirr 7847 ax-pre-ltwlin 7848 ax-pre-lttrn 7849 ax-pre-apti 7850 ax-pre-ltadd 7851 ax-pre-mulgt0 7852 ax-pre-mulext 7853 ax-arch 7854 ax-caucvg 7855

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3396 df-if 3507 df-pw 3546 df-sn 3567 df-pr 3568 df-op 3570 df-uni 3775 df-int 3810 df-iun 3853 df-br 3968 df-opab 4029 df-mpt 4030 df-tr 4066 df-id 4256 df-po 4259 df-iso 4260 df-iord 4329 df-on 4331 df-ilim 4332 df-suc 4334 df-iom 4553 df-xp 4595 df-rel 4596 df-cnv 4597 df-co 4598 df-dm 4599 df-rn 4600 df-res 4601 df-ima 4602 df-iota 5138 df-fun 5175 df-fn 5176 df-f 5177 df-f1 5178 df-fo 5179 df-f1o 5180 df-fv 5181 df-isom 5182 df-riota 5783 df-ov 5830 df-oprab 5831 df-mpo 5832 df-1st 6091 df-2nd 6092 df-recs 6255 df-frec 6341 df-1o 6366 df-2o 6367 df-er 6483 df-en 6689 df-sup 6931 df-inf 6932 df-pnf 7917 df-mnf 7918 df-xr 7919 df-ltxr 7920 df-le 7921 df-sub 8053 df-neg 8054 df-reap 8455 df-ap 8462 df-div 8551 df-inn 8840 df-2 8898 df-3 8899 df-4 8900 df-n0 9097 df-z 9174 df-uz 9446 df-q 9536 df-rp 9568 df-fz 9920 df-fzo 10052 df-fl 10179 df-mod 10232 df-seqfrec 10355 df-exp 10429 df-cj 10754 df-re 10755 df-im 10756 df-rsqrt 10910 df-abs 10911 df-dvds 11696 df-gcd 11843 df-prm 12001 df-pc 12176

This theorem is referenced by: pcqdiv 12198 pcexp 12200

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