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Theorem pcqmul 12244

Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcqmul	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem pcqmul Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1018	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		elq 9568	. . 3
3	1, 2	sylib 121	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp3l 1020	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		elq 9568	. . 3
6	4, 5	sylib 121	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		reeanv 2639	. . 3 $/\$ $/\$
8		reeanv 2639	. . . . 5 $/\$ $/\$
9		simp2r 1019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simp3r 1021	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	jca 304	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	ad2antrr 485	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		simp1 992	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	nncnd 8879	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	14	nnap0d 8911	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
17	15, 16	div0apd 8691	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq1 5857	. . . . . . . . . . . . 13
19	18	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . 12
20	17, 19	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	necon3d 2384	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	22	nncnd 8879	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	22	nnap0d 8911	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
25	23, 24	div0apd 8691	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		oveq1 5857	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . 12
28	25, 27	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	necon3d 2384	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simplrl 530	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		simplrr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	31, 32	zmulcld 9327	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	31	zcnd 9322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	32	zcnd 9322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		simprrl 534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		0zd 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		zapne 9273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ #
39	31, 37, 38	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
40	36, 39	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
41		simprrr 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		zapne 9273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ #
43	32, 37, 42	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
44	41, 43	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
45	34, 35, 40, 44	mulap0d 8563	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
46		zapne 9273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ #
47	33, 37, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
48	45, 47	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	14	adantrr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	22	adantrr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	49, 50	nnmulcld 8914	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		pcdiv 12243	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
53	30, 33, 48, 51, 52	syl121anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		pcmul 12242	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	30, 31, 36, 32, 41, 54	syl122anc 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	49	nnzd 9320	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	14	nnne0d 8910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantrr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	50	nnzd 9320	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	22	nnne0d 8910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	adantrr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		pcmul 12242	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	30, 56, 58, 59, 61, 62	syl122anc 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	55, 63	oveq12d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		pczcl 12239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
66	30, 31, 36, 65	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	nn0cnd 9177	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		pczcl 12239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
69	30, 32, 41, 68	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	69	nn0cnd 9177	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	30, 49	pccld 12241	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	nn0cnd 9177	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	30, 50	pccld 12241	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	nn0cnd 9177	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	67, 70, 72, 74	addsub4d 8264	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	53, 64, 75	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	15	adantrr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	23	adantrr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	16	adantrr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
80	24	adantrr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
81	34, 77, 35, 78, 79, 80	divmuldivapd 8736	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	81	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		pcdiv 12243	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
84	30, 31, 36, 49, 83	syl121anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		pcdiv 12243	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
86	30, 32, 41, 50, 85	syl121anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	84, 86	oveq12d 5868	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	76, 82, 87	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	88	expr 373	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	21, 29, 89	syl2and 293	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		neeq1 2353	. . . . . . . . . . 11
92		neeq1 2353	. . . . . . . . . . 11
93	91, 92	bi2anan9 601	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
94		oveq12 5859	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
95	94	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . 11 $/\$
96		oveq2 5858	. . . . . . . . . . . 12
97		oveq2 5858	. . . . . . . . . . . 12
98	96, 97	oveqan12d 5869	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	95, 98	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . 10 $/\$
100	93, 99	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
101	90, 100	syl5ibrcom 156	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	13, 101	sylanl1 400	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 102	mpid 42	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	rexlimdvva 2595	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	8, 104	syl5bir 152	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	rexlimdvva 2595	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	7, 106	syl5bir 152	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	3, 6, 107	mp2and 431	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 973

wceq 1348

wcel 2141

wne 2340

wrex 2449 class class class wbr 3987 (class class class)co 5850

cc 7759

cc0 7761

caddc 7764

cmul 7766

cmin 8077 # cap 8487

cdiv 8576

cn 8865

cn0 9122

cz 9199

cq 9565

cprime 12048

cpc 12225

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4102 ax-sep 4105 ax-nul 4113 ax-pow 4158 ax-pr 4192 ax-un 4416 ax-setind 4519 ax-iinf 4570 ax-cnex 7852 ax-resscn 7853 ax-1cn 7854 ax-1re 7855 ax-icn 7856 ax-addcl 7857 ax-addrcl 7858 ax-mulcl 7859 ax-mulrcl 7860 ax-addcom 7861 ax-mulcom 7862 ax-addass 7863 ax-mulass 7864 ax-distr 7865 ax-i2m1 7866 ax-0lt1 7867 ax-1rid 7868 ax-0id 7869 ax-rnegex 7870 ax-precex 7871 ax-cnre 7872 ax-pre-ltirr 7873 ax-pre-ltwlin 7874 ax-pre-lttrn 7875 ax-pre-apti 7876 ax-pre-ltadd 7877 ax-pre-mulgt0 7878 ax-pre-mulext 7879 ax-arch 7880 ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3526 df-pw 3566 df-sn 3587 df-pr 3588 df-op 3590 df-uni 3795 df-int 3830 df-iun 3873 df-br 3988 df-opab 4049 df-mpt 4050 df-tr 4086 df-id 4276 df-po 4279 df-iso 4280 df-iord 4349 df-on 4351 df-ilim 4352 df-suc 4354 df-iom 4573 df-xp 4615 df-rel 4616 df-cnv 4617 df-co 4618 df-dm 4619 df-rn 4620 df-res 4621 df-ima 4622 df-iota 5158 df-fun 5198 df-fn 5199 df-f 5200 df-f1 5201 df-fo 5202 df-f1o 5203 df-fv 5204 df-isom 5205 df-riota 5806 df-ov 5853 df-oprab 5854 df-mpo 5855 df-1st 6116 df-2nd 6117 df-recs 6281 df-frec 6367 df-1o 6392 df-2o 6393 df-er 6509 df-en 6715 df-sup 6957 df-inf 6958 df-pnf 7943 df-mnf 7944 df-xr 7945 df-ltxr 7946 df-le 7947 df-sub 8079 df-neg 8080 df-reap 8481 df-ap 8488 df-div 8577 df-inn 8866 df-2 8924 df-3 8925 df-4 8926 df-n0 9123 df-z 9200 df-uz 9475 df-q 9566 df-rp 9598 df-fz 9953 df-fzo 10086 df-fl 10213 df-mod 10266 df-seqfrec 10389 df-exp 10463 df-cj 10793 df-re 10794 df-im 10795 df-rsqrt 10949 df-abs 10950 df-dvds 11737 df-gcd 11885 df-prm 12049 df-pc 12226

This theorem is referenced by: pcqdiv 12248 pcexp 12250 pcaddlem 12279

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