Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caofinvl Unicode version

Theorem caofinvl 5997
 Description: Transfer a left inverse law to the function operation. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1
caofref.2
caofinv.3
caofinv.4
caofinv.5
caofinvl.6
Assertion
Ref Expression
caofinvl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem caofinvl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caofref.1 . . . 4
2 caofinv.4 . . . . . . . . 9
32adantr 274 . . . . . . . 8
4 caofref.2 . . . . . . . . 9
54ffvelrnda 5548 . . . . . . . 8
63, 5ffvelrnd 5549 . . . . . . 7
7 eqid 2137 . . . . . . 7
86, 7fmptd 5567 . . . . . 6
9 caofinv.5 . . . . . . 7
109feq1d 5254 . . . . . 6
118, 10mpbird 166 . . . . 5
1211ffvelrnda 5548 . . . 4
134ffvelrnda 5548 . . . 4
146ralrimiva 2503 . . . . . . 7
157fnmpt 5244 . . . . . . 7
1614, 15syl 14 . . . . . 6
179fneq1d 5208 . . . . . 6
1816, 17mpbird 166 . . . . 5
19 dffn5im 5460 . . . . 5
2018, 19syl 14 . . . 4
214feqmptd 5467 . . . 4
221, 12, 13, 20, 21offval2 5990 . . 3
239fveq1d 5416 . . . . . . . 8
2423adantr 274 . . . . . . 7
25 simpr 109 . . . . . . . 8
262adantr 274 . . . . . . . . 9
2726, 13ffvelrnd 5549 . . . . . . . 8
28 fveq2 5414 . . . . . . . . . 10
2928fveq2d 5418 . . . . . . . . 9
3029, 7fvmptg 5490 . . . . . . . 8
3125, 27, 30syl2anc 408 . . . . . . 7
3224, 31eqtrd 2170 . . . . . 6
3332oveq1d 5782 . . . . 5
34 fveq2 5414 . . . . . . . 8
35 id 19 . . . . . . . 8
3634, 35oveq12d 5785 . . . . . . 7
3736eqeq1d 2146 . . . . . 6
38 caofinvl.6 . . . . . . . 8
3938ralrimiva 2503 . . . . . . 7
4039adantr 274 . . . . . 6
4137, 40, 13rspcdva 2789 . . . . 5
4233, 41eqtrd 2170 . . . 4
4342mpteq2dva 4013 . . 3
4422, 43eqtrd 2170 . 2
45 fconstmpt 4581 . 2
4644, 45syl6eqr 2188 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1331   wcel 1480  wral 2414  csn 3522   cmpt 3984   cxp 4532   wfn 5113  wf 5114  cfv 5118  (class class class)co 5767   cof 5973 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-of 5975 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator