Theorem caofinvl 6328

Description: Transfer a left inverse law to the function operation. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofref.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
caofref.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
caofinv.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
caofinv.4	⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
caofinv.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))))
caofinvl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
caofinvl	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝐴 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹,𝑥   𝑥,𝑁,𝑣   𝑣,𝑆   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑣)   𝑅(𝑣)   𝐺(𝑣)   𝑉(𝑥, 𝑣)   𝑊(𝑥, 𝑣)

Proof of Theorem caofinvl

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caofref.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		caofinv.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
3	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
4		caofref.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
5	4	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
6	3, 5	ffvelcdmd 5844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) ∈ 𝑆)
7		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))
8	6, 7	fmptd 5862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))):𝐴⟶𝑆)
9		caofinv.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))))
10	9	feq1d 5520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴⟶𝑆 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))):𝐴⟶𝑆))
11	8, 10	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝑆)
12	11	ffvelcdmda 5843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) ∈ 𝑆)
13	4	ffvelcdmda 5843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑆)
14	6	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) ∈ 𝑆)
15	7	fnmpt 5510	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) ∈ 𝑆 → (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) Fn 𝐴)
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) Fn 𝐴)
17	9	fneq1d 5471	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn 𝐴 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) Fn 𝐴))
18	16, 17	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
19		dffn5im 5748	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑤)))
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑤)))
21	4	feqmptd 5756	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑤)))
22	1, 12, 13, 20, 21	offval2 6318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))))
23	9	fveq1d 5697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑤) = ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤))
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) = ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤))
25		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
26	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
27	26, 13	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑁‘(𝐹‘𝑤)) ∈ 𝑆)
28		fveq2 5695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑤))
29	28	fveq2d 5699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
30	29, 7	fvmptg 5781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(𝐹‘𝑤)) ∈ 𝑆) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
31	25, 27, 30	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
32	24, 31	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
33	32	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)))
34		fveq2 5695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → (𝑁‘𝑥) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
35		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → 𝑥 = (𝐹‘𝑤))
36	34, 35	oveq12d 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)))
37	36	eqeq1d 2247	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → (((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵 ↔ ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)) = 𝐵))
38		caofinvl.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)
39	38	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)
40	39	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)
41	37, 40, 13	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)) = 𝐵)
42	33, 41	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)) = 𝐵)
43	42	mpteq2dva 4221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
44	22, 43	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
45		fconstmpt 4822	. 2 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
46	44, 45	eqtr4di 2289	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝐴 × {𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {csn 3709   ↦ cmpt 4192   × cxp 4772   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∘_𝑓 cof 6300

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302

This theorem is used by: (None)