Theorem climi2 11255

Description: Convergence of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 11-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climi.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climi.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climi.3	|- ( ph -> C e. RR+ )
climi.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
climi.5	|- ( ph -> F ~~> A )

Assertion

Ref	Expression
climi2	|- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - A ) ) < C )

Distinct variable groups:   j, k, A   C, j, k   j, F, k   ph, j, k   j, Z, k   j, M

Allowed substitution hints:   B( j, k)   M( k)

Proof of Theorem climi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climi.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climi.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climi.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
4		climi.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
5		climi.5	. . 3 |- ( ph -> F ~~> A )
6	1, 2, 3, 4, 5	climi 11254	. 2 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < C ) )
7		simpr 109	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < C ) -> ( abs ` ( B - A ) ) < C )
8	7	ralimi 2534	. . 3 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < C ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - A ) ) < C )
9	8	reximi 2568	. 2 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < C ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - A ) ) < C )
10	6, 9	syl 14	1 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - A ) ) < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1349   e. wcel 2142   A.wral 2449   E.wrex 2450   class class class wbr 3990   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   CCcc 7776   < clt 7958   - cmin 8094   ZZcz 9216   ZZ>=cuz 9491   RR+crp 9614   abscabs 10965   ~~> cli 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-addcom 7878  ax-addass 7880  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-inn 8883  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-clim 11246

This theorem is referenced by:  climcn1  11275  climcn2  11276  climge0  11292  climsqz  11302  climsqz2  11303  mertenslem2  11503