Theorem climconst 11231

Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climconst.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climconst.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climconst.3	|- ( ph -> F e. V )
climconst.4	|- ( ph -> A e. CC )
climconst.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )

Assertion

Ref	Expression
climconst	|- ( ph -> F ~~> A )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, Z

Allowed substitution hints:   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climconst

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climconst.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		uzid 9480	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
4		climconst.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	3, 4	eleqtrrdi 2260	. . . . 5 |- ( ph -> M e. Z )
6	5	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> M e. Z )
7		climconst.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
8	7	subidd 8197	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A - A ) = 0 )
9	8	fveq2d 5490	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( A - A ) ) = ( abs ` 0 ) )
10		abs0 11000	. . . . . . . 8 |- ( abs ` 0 ) = 0
11	9, 10	eqtrdi 2215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( A - A ) ) = 0 )
12	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - A ) ) = 0 )
13		rpgt0 9601	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> 0 < x )
14	13	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 < x )
15	12, 14	eqbrtrd 4004	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - A ) ) < x )
16	15	ralrimivw 2540	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> A. k e. Z ( abs ` ( A - A ) ) < x )
17		fveq2 5486	. . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` M ) )
18	17, 4	eqtr4di 2217	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = Z )
19	18	raleqdv 2667	. . . . 5 |- ( j = M -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A - A ) ) < x <-> A. k e. Z ( abs ` ( A - A ) ) < x ) )
20	19	rspcev 2830	. . . 4 |- ( ( M e. Z /\ A. k e. Z ( abs ` ( A - A ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A - A ) ) < x )
21	6, 16, 20	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A - A ) ) < x )
22	21	ralrimiva 2539	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A - A ) ) < x )
23		climconst.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
24		climconst.5	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
25	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
26	4, 1, 23, 24, 7, 25	clim2c 11225	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A - A ) ) < x ) )
27	22, 26	mpbird 166	1 |- ( ph -> F ~~> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   < clt 7933   - cmin 8069   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   abscabs 10939   ~~> cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220

This theorem is referenced by:  climconst2  11232  fsum3cvg  11319  fproddccvg  11513  fprodntrivap  11525