Theorem climconst 11091

Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climconst.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climconst.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climconst.3	|- ( ph -> F e. V )
climconst.4	|- ( ph -> A e. CC )
climconst.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )

Assertion

Ref	Expression
climconst	|- ( ph -> F ~~> A )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, Z

Allowed substitution hints:   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climconst

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climconst.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		uzid 9364	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
4		climconst.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	3, 4	eleqtrrdi 2234	. . . . 5 |- ( ph -> M e. Z )
6	5	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> M e. Z )
7		climconst.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
8	7	subidd 8085	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A - A ) = 0 )
9	8	fveq2d 5433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( A - A ) ) = ( abs ` 0 ) )
10		abs0 10862	. . . . . . . 8 |- ( abs ` 0 ) = 0
11	9, 10	eqtrdi 2189	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( A - A ) ) = 0 )
12	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - A ) ) = 0 )
13		rpgt0 9482	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> 0 < x )
14	13	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 < x )
15	12, 14	eqbrtrd 3958	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - A ) ) < x )
16	15	ralrimivw 2509	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> A. k e. Z ( abs ` ( A - A ) ) < x )
17		fveq2 5429	. . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` M ) )
18	17, 4	eqtr4di 2191	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = Z )
19	18	raleqdv 2635	. . . . 5 |- ( j = M -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A - A ) ) < x <-> A. k e. Z ( abs ` ( A - A ) ) < x ) )
20	19	rspcev 2793	. . . 4 |- ( ( M e. Z /\ A. k e. Z ( abs ` ( A - A ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A - A ) ) < x )
21	6, 16, 20	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A - A ) ) < x )
22	21	ralrimiva 2508	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A - A ) ) < x )
23		climconst.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
24		climconst.5	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
25	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
26	4, 1, 23, 24, 7, 25	clim2c 11085	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A - A ) ) < x ) )
27	22, 26	mpbird 166	1 |- ( ph -> F ~~> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   < clt 7824   - cmin 7957   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   RR+crp 9470   abscabs 10801   ~~> cli 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080

This theorem is referenced by:  climconst2  11092  fsum3cvg  11179  fproddccvg  11373