Theorem cnpval 14518

Description: The set of all functions from topology J to topology K that are continuous at a point P. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnpval	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )

Distinct variable groups:   x, f, y, J   f, K, x, y   f, X, x, y   P, f, x, y   f, Y, x, y

Proof of Theorem cnpval

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpfval 14515	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) )
2	1	fveq1d 5563	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) )
4		eqid 2196	. . . 4 |- ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) = ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
5		fveq2 5561	. . . . . . . 8 |- ( v = P -> ( f ` v ) = ( f ` P ) )
6	5	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( v = P -> ( ( f ` v ) e. y <-> ( f ` P ) e. y ) )
7		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 |- ( v = P -> ( v e. x <-> P e. x ) )
8	7	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( v = P -> ( ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) )
9	8	rexbidv 2498	. . . . . . 7 |- ( v = P -> ( E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) )
10	6, 9	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( v = P -> ( ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) )
11	10	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( v = P -> ( A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) )
12	11	rabbidv 2752	. . . 4 |- ( v = P -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> P e. X )
14		fnmap 6723	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
15		toponmax 14345	. . . . . . . 8 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
16	15	elexd 2776	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. _V )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> Y e. _V )
18		toponmax 14345	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
19	18	elexd 2776	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. _V )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> X e. _V )
21		fnovex 5958	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ Y e. _V /\ X e. _V ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
22	14, 17, 20, 21	mp3an2i 1353	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
23		rabexg 4177	. . . . 5 |- ( ( Y ^m X ) e. _V -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } e. _V )
24	22, 23	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } e. _V )
25	4, 12, 13, 24	fvmptd3 5658	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
26	3, 25	eqtrd 2229	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
27	26	3impa 1196	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   |-> cmpt 4095   X. cxp 4662   "cima 4667   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716  TopOnctopon 14330   CnP ccnp 14506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-top 14318  df-topon 14331  df-cnp 14509

This theorem is referenced by:  iscnp  14519