Theorem cnpval 12992

Description: The set of all functions from topology J to topology K that are continuous at a point P. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnpval	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )

Distinct variable groups:   x, f, y, J   f, K, x, y   f, X, x, y   P, f, x, y   f, Y, x, y

Proof of Theorem cnpval

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpfval 12989	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) )
2	1	fveq1d 5498	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) )
4		eqid 2170	. . . 4 |- ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) = ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
5		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( v = P -> ( f ` v ) = ( f ` P ) )
6	5	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( v = P -> ( ( f ` v ) e. y <-> ( f ` P ) e. y ) )
7		eleq1 2233	. . . . . . . . 9 |- ( v = P -> ( v e. x <-> P e. x ) )
8	7	anbi1d 462	. . . . . . . 8 |- ( v = P -> ( ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) )
9	8	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( v = P -> ( E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) )
10	6, 9	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( v = P -> ( ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) )
11	10	ralbidv 2470	. . . . 5 |- ( v = P -> ( A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) )
12	11	rabbidv 2719	. . . 4 |- ( v = P -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
13		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> P e. X )
14		fnmap 6633	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
15		toponmax 12817	. . . . . . . 8 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
16	15	elexd 2743	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. _V )
17	16	ad2antlr 486	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> Y e. _V )
18		toponmax 12817	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
19	18	elexd 2743	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. _V )
20	19	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> X e. _V )
21		fnovex 5886	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ Y e. _V /\ X e. _V ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
22	14, 17, 20, 21	mp3an2i 1337	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
23		rabexg 4132	. . . . 5 |- ( ( Y ^m X ) e. _V -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } e. _V )
24	22, 23	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } e. _V )
25	4, 12, 13, 24	fvmptd3 5589	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
26	3, 25	eqtrd 2203	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
27	26	3impa 1189	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609   "cima 4614   Fn wfn 5193   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ^m cmap 6626  TopOnctopon 12802   CnP ccnp 12980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-top 12790  df-topon 12803  df-cnp 12983

This theorem is referenced by:  iscnp  12993