Theorem cnpval 13737

Description: The set of all functions from topology J to topology K that are continuous at a point P. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnpval	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )

Distinct variable groups:   x, f, y, J   f, K, x, y   f, X, x, y   P, f, x, y   f, Y, x, y

Proof of Theorem cnpval

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpfval 13734	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) )
2	1	fveq1d 5519	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) )
4		eqid 2177	. . . 4 |- ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) = ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
5		fveq2 5517	. . . . . . . 8 |- ( v = P -> ( f ` v ) = ( f ` P ) )
6	5	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( v = P -> ( ( f ` v ) e. y <-> ( f ` P ) e. y ) )
7		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 |- ( v = P -> ( v e. x <-> P e. x ) )
8	7	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( v = P -> ( ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) )
9	8	rexbidv 2478	. . . . . . 7 |- ( v = P -> ( E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) )
10	6, 9	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( v = P -> ( ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) )
11	10	ralbidv 2477	. . . . 5 |- ( v = P -> ( A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) )
12	11	rabbidv 2728	. . . 4 |- ( v = P -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> P e. X )
14		fnmap 6657	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
15		toponmax 13564	. . . . . . . 8 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
16	15	elexd 2752	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. _V )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> Y e. _V )
18		toponmax 13564	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
19	18	elexd 2752	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. _V )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> X e. _V )
21		fnovex 5910	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ Y e. _V /\ X e. _V ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
22	14, 17, 20, 21	mp3an2i 1342	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
23		rabexg 4148	. . . . 5 |- ( ( Y ^m X ) e. _V -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } e. _V )
24	22, 23	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } e. _V )
25	4, 12, 13, 24	fvmptd3 5611	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
26	3, 25	eqtrd 2210	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
27	26	3impa 1194	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626   "cima 4631   Fn wfn 5213   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   ^m cmap 6650  TopOnctopon 13549   CnP ccnp 13725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-top 13537  df-topon 13550  df-cnp 13728

This theorem is referenced by:  iscnp  13738