Theorem cnpval 15063

Description: The set of all functions from topology J to topology K that are continuous at a point P. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnpval	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )

Distinct variable groups:   x, f, y, J   f, K, x, y   f, X, x, y   P, f, x, y   f, Y, x, y

Proof of Theorem cnpval

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpfval 15060	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) )
2	1	fveq1d 5672	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) )
4		eqid 2232	. . . 4 |- ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) = ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
5		fveq2 5670	. . . . . . . 8 |- ( v = P -> ( f ` v ) = ( f ` P ) )
6	5	eleq1d 2301	. . . . . . 7 |- ( v = P -> ( ( f ` v ) e. y <-> ( f ` P ) e. y ) )
7		eleq1 2295	. . . . . . . . 9 |- ( v = P -> ( v e. x <-> P e. x ) )
8	7	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( v = P -> ( ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) )
9	8	rexbidv 2543	. . . . . . 7 |- ( v = P -> ( E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) )
10	6, 9	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( v = P -> ( ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) )
11	10	ralbidv 2542	. . . . 5 |- ( v = P -> ( A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) )
12	11	rabbidv 2802	. . . 4 |- ( v = P -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> P e. X )
14		fnmap 6889	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
15		toponmax 14890	. . . . . . . 8 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
16	15	elexd 2827	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. _V )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> Y e. _V )
18		toponmax 14890	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
19	18	elexd 2827	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. _V )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> X e. _V )
21		fnovex 6083	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ Y e. _V /\ X e. _V ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
22	14, 17, 20, 21	mp3an2i 1379	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
23		rabexg 4255	. . . . 5 |- ( ( Y ^m X ) e. _V -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } e. _V )
24	22, 23	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } e. _V )
25	4, 12, 13, 24	fvmptd3 5771	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
26	3, 25	eqtrd 2265	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
27	26	3impa 1221	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   |-> cmpt 4171   X. cxp 4747   "cima 4752   Fn wfn 5347   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882  TopOnctopon 14875   CnP ccnp 15051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-top 14863  df-topon 14876  df-cnp 15054

This theorem is referenced by:  iscnp  15064