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Theorem cnpval 12294
Description: The set of all functions from topology  J to topology  K that are continuous at a point  P. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnpval  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
Distinct variable groups:    x, f, y, J    f, K, x, y    f, X, x, y    P, f, x, y   
f, Y, x, y

Proof of Theorem cnpval
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpfval 12291 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } ) )
21fveq1d 5391 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  ( ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } ) `  P
) )
32adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  P  e.  X )  ->  (
( J  CnP  K
) `  P )  =  ( ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  v
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } ) `  P ) )
4 eqid 2117 . . . 4  |-  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  v
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )  =  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } )
5 fveq2 5389 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  P  ->  (
f `  v )  =  ( f `  P ) )
65eleq1d 2186 . . . . . . 7  |-  ( v  =  P  ->  (
( f `  v
)  e.  y  <->  ( f `  P )  e.  y ) )
7 eleq1 2180 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  P  ->  (
v  e.  x  <->  P  e.  x ) )
87anbi1d 460 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  P  ->  (
( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) )
98rexbidv 2415 . . . . . . 7  |-  ( v  =  P  ->  ( E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) )
106, 9imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( v  =  P  ->  (
( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) ) )
1110ralbidv 2414 . . . . 5  |-  ( v  =  P  ->  ( A. y  e.  K  ( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) ) )
1211rabbidv 2649 . . . 4  |-  ( v  =  P  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  v
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) }  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
13 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
14 fnmap 6517 . . . . . 6  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
15 toponmax 12119 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
1615elexd 2673 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  _V )
1716ad2antlr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  P  e.  X )  ->  Y  e.  _V )
18 toponmax 12119 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
1918elexd 2673 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  _V )
2019ad2antrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  P  e.  X )  ->  X  e.  _V )
21 fnovex 5772 . . . . . 6  |-  ( (  ^m  Fn  ( _V 
X.  _V )  /\  Y  e.  _V  /\  X  e. 
_V )  ->  ( Y  ^m  X )  e. 
_V )
2214, 17, 20, 21mp3an2i 1305 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  P  e.  X )  ->  ( Y  ^m  X )  e. 
_V )
23 rabexg 4041 . . . . 5  |-  ( ( Y  ^m  X )  e.  _V  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) }  e.  _V )
2422, 23syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  P  e.  X )  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) }  e.  _V )
254, 12, 13, 24fvmptd3 5482 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  P  e.  X )  ->  (
( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } ) `  P
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
263, 25eqtrd 2150 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  P  e.  X )  ->  (
( J  CnP  K
) `  P )  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } )
27263impa 1161 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   {crab 2397   _Vcvv 2660    C_ wss 3041    |-> cmpt 3959    X. cxp 4507   "cima 4512    Fn wfn 5088   ` cfv 5093  (class class class)co 5742    ^m cmap 6510  TopOnctopon 12104    CnP ccnp 12282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-map 6512  df-top 12092  df-topon 12105  df-cnp 12285
This theorem is referenced by:  iscnp  12295
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