ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  difinfinf GIF version

Theorem difinfinf 6989
Description: An infinite set minus a finite subset is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
difinfinf (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) → ω ≼ (𝐴𝐵))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem difinfinf
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3188 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∖ ∅))
21breq2d 3944 . 2 (𝑤 = ∅ → (ω ≼ (𝐴𝑤) ↔ ω ≼ (𝐴 ∖ ∅)))
3 difeq2 3188 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝑢))
43breq2d 3944 . 2 (𝑤 = 𝑢 → (ω ≼ (𝐴𝑤) ↔ ω ≼ (𝐴𝑢)))
5 difeq2 3188 . . 3 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∖ (𝑢 ∪ {𝑣})))
65breq2d 3944 . 2 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (ω ≼ (𝐴𝑤) ↔ ω ≼ (𝐴 ∖ (𝑢 ∪ {𝑣}))))
7 difeq2 3188 . . 3 (𝑤 = 𝐵 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝐵))
87breq2d 3944 . 2 (𝑤 = 𝐵 → (ω ≼ (𝐴𝑤) ↔ ω ≼ (𝐴𝐵)))
9 simplr 519 . . 3 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) → ω ≼ 𝐴)
10 dif0 3433 . . 3 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
119, 10breqtrrdi 3973 . 2 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) → ω ≼ (𝐴 ∖ ∅))
12 difss 3202 . . . . . . 7 (𝐴𝑢) ⊆ 𝐴
13 ssralv 3161 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑢) ⊆ 𝐴 → (∀𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑢)DECID 𝑥 = 𝑦))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑢)DECID 𝑥 = 𝑦)
1514ralimi 2495 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴𝑢)DECID 𝑥 = 𝑦)
16 ssralv 3161 . . . . . . 7 ((𝐴𝑢) ⊆ 𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴𝑢)DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝑢)∀𝑦 ∈ (𝐴𝑢)DECID 𝑥 = 𝑦))
1712, 15, 16mpsyl 65 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝑢)∀𝑦 ∈ (𝐴𝑢)DECID 𝑥 = 𝑦)
1817ad5antr 487 . . . . 5 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐵𝑣 ∈ (𝐵𝑢))) ∧ ω ≼ (𝐴𝑢)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝑢)∀𝑦 ∈ (𝐴𝑢)DECID 𝑥 = 𝑦)
19 simpr 109 . . . . 5 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐵𝑣 ∈ (𝐵𝑢))) ∧ ω ≼ (𝐴𝑢)) → ω ≼ (𝐴𝑢))
20 simprl 520 . . . . . . 7 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) → 𝐵𝐴)
2120ad3antrrr 483 . . . . . 6 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐵𝑣 ∈ (𝐵𝑢))) ∧ ω ≼ (𝐴𝑢)) → 𝐵𝐴)
22 simplrr 525 . . . . . 6 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐵𝑣 ∈ (𝐵𝑢))) ∧ ω ≼ (𝐴𝑢)) → 𝑣 ∈ (𝐵𝑢))
23 ssdif 3211 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (𝐵𝑢) ⊆ (𝐴𝑢))
2423sseld 3096 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝑣 ∈ (𝐵𝑢) → 𝑣 ∈ (𝐴𝑢)))
2521, 22, 24sylc 62 . . . . 5 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐵𝑣 ∈ (𝐵𝑢))) ∧ ω ≼ (𝐴𝑢)) → 𝑣 ∈ (𝐴𝑢))
26 difinfsn 6988 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ (𝐴𝑢)∀𝑦 ∈ (𝐴𝑢)DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ (𝐴𝑢) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴𝑢)) → ω ≼ ((𝐴𝑢) ∖ {𝑣}))
2718, 19, 25, 26syl3anc 1216 . . . 4 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐵𝑣 ∈ (𝐵𝑢))) ∧ ω ≼ (𝐴𝑢)) → ω ≼ ((𝐴𝑢) ∖ {𝑣}))
28 difun1 3336 . . . 4 (𝐴 ∖ (𝑢 ∪ {𝑣})) = ((𝐴𝑢) ∖ {𝑣})
2927, 28breqtrrdi 3973 . . 3 ((((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐵𝑣 ∈ (𝐵𝑢))) ∧ ω ≼ (𝐴𝑢)) → ω ≼ (𝐴 ∖ (𝑢 ∪ {𝑣})))
3029ex 114 . 2 (((((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐵𝑣 ∈ (𝐵𝑢))) → (ω ≼ (𝐴𝑢) → ω ≼ (𝐴 ∖ (𝑢 ∪ {𝑣}))))
31 simprr 521 . 2 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) → 𝐵 ∈ Fin)
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6789 1 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) → ω ≼ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  DECID wdc 819   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  cdif 3068  cun 3069  wss 3071  c0 3363  {csn 3527   class class class wbr 3932  ωcom 4507  cdom 6636  Fincfn 6637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-iord 4291  df-on 4293  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-1o 6316  df-er 6432  df-en 6638  df-dom 6639  df-fin 6640  df-dju 6926  df-inl 6935  df-inr 6936  df-case 6972
This theorem is referenced by:  inffinp1  11965
  Copyright terms: Public domain W3C validator