ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  div13ap Unicode version

Theorem div13ap 8467
Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
div13ap  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  /  B )  x.  C
)  =  ( ( C  /  B )  x.  A ) )

Proof of Theorem div13ap
StepHypRef Expression
1 mulcom 7763 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
21oveq1d 5789 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  C )  /  B
)  =  ( ( C  x.  A )  /  B ) )
323adant2 1000 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  C )  /  B
)  =  ( ( C  x.  A )  /  B ) )
4 div23ap 8465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  -> 
( ( A  x.  C )  /  B
)  =  ( ( A  /  B )  x.  C ) )
543com23 1187 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  C )  /  B
)  =  ( ( A  /  B )  x.  C ) )
6 div23ap 8465 . . 3  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  -> 
( ( C  x.  A )  /  B
)  =  ( ( C  /  B )  x.  A ) )
763coml 1188 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( C  x.  A )  /  B
)  =  ( ( C  /  B )  x.  A ) )
83, 5, 73eqtr3d 2180 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  /  B )  x.  C
)  =  ( ( C  /  B )  x.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7632   0cc0 7634    x. cmul 7639   # cap 8357    / cdiv 8446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447
This theorem is referenced by:  div12ap  8468  div13apd  8589
  Copyright terms: Public domain W3C validator