ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divadddivapi Unicode version

Theorem divadddivapi 8557
Description: Addition of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divclz.1  |-  A  e.  CC
divclz.2  |-  B  e.  CC
divmulz.3  |-  C  e.  CC
divmuldivap.4  |-  D  e.  CC
divmuldivap.5  |-  B #  0
divmuldivap.6  |-  D #  0
Assertion
Ref Expression
divadddivapi  |-  ( ( A  /  B )  +  ( C  /  D ) )  =  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) )  /  ( B  x.  D )
)

Proof of Theorem divadddivapi
StepHypRef Expression
1 divclz.1 . 2  |-  A  e.  CC
2 divmulz.3 . 2  |-  C  e.  CC
3 divclz.2 . . 3  |-  B  e.  CC
4 divmuldivap.5 . . 3  |-  B #  0
53, 4pm3.2i 270 . 2  |-  ( B  e.  CC  /\  B #  0 )
6 divmuldivap.4 . . 3  |-  D  e.  CC
7 divmuldivap.6 . . 3  |-  D #  0
86, 7pm3.2i 270 . 2  |-  ( D  e.  CC  /\  D #  0 )
9 divadddivap 8510 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  /\  ( D  e.  CC  /\  D #  0 ) ) )  ->  ( ( A  /  B )  +  ( C  /  D
) )  =  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  /  ( B  x.  D ) ) )
101, 2, 5, 8, 9mp4an 424 1  |-  ( ( A  /  B )  +  ( C  /  D ) )  =  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) )  /  ( B  x.  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   CCcc 7641   0cc0 7643    + caddc 7646    x. cmul 7648   # cap 8366    / cdiv 8455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator