ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divadddivapi GIF version

Theorem divadddivapi 8554
Description: Addition of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divclz.1 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3 𝐶 ∈ ℂ
divmuldivap.4 𝐷 ∈ ℂ
divmuldivap.5 𝐵 # 0
divmuldivap.6 𝐷 # 0
Assertion
Ref Expression
divadddivapi ((𝐴 / 𝐵) + (𝐶 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem divadddivapi
StepHypRef Expression
1 divclz.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 divmulz.3 . 2 𝐶 ∈ ℂ
3 divclz.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
4 divmuldivap.5 . . 3 𝐵 # 0
53, 4pm3.2i 270 . 2 (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)
6 divmuldivap.4 . . 3 𝐷 ∈ ℂ
7 divmuldivap.6 . . 3 𝐷 # 0
86, 7pm3.2i 270 . 2 (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)
9 divadddivap 8507 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐵) + (𝐶 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐷)))
101, 2, 5, 8, 9mp4an 424 1 ((𝐴 / 𝐵) + (𝐶 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3933  (class class class)co 5778  cc 7638  0cc0 7640   + caddc 7643   · cmul 7645   # cap 8363   / cdiv 8452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364  df-div 8453
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator