ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divdivdivapi Unicode version

Theorem divdivdivapi 8495
Description: Division of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divclz.1  |-  A  e.  CC
divclz.2  |-  B  e.  CC
divmulz.3  |-  C  e.  CC
divmuldivap.4  |-  D  e.  CC
divmuldivap.5  |-  B #  0
divmuldivap.6  |-  D #  0
divdivdivap.7  |-  C #  0
Assertion
Ref Expression
divdivdivapi  |-  ( ( A  /  B )  /  ( C  /  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  /  ( B  x.  C )
)

Proof of Theorem divdivdivapi
StepHypRef Expression
1 divclz.1 . 2  |-  A  e.  CC
2 divclz.2 . . 3  |-  B  e.  CC
3 divmuldivap.5 . . 3  |-  B #  0
42, 3pm3.2i 268 . 2  |-  ( B  e.  CC  /\  B #  0 )
5 divmulz.3 . . 3  |-  C  e.  CC
6 divdivdivap.7 . . 3  |-  C #  0
75, 6pm3.2i 268 . 2  |-  ( C  e.  CC  /\  C #  0 )
8 divmuldivap.4 . . 3  |-  D  e.  CC
9 divmuldivap.6 . . 3  |-  D #  0
108, 9pm3.2i 268 . 2  |-  ( D  e.  CC  /\  D #  0 )
11 divdivdivap 8433 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  /\  ( ( C  e.  CC  /\  C #  0 )  /\  ( D  e.  CC  /\  D #  0 ) ) )  ->  ( ( A  /  B )  / 
( C  /  D
) )  =  ( ( A  x.  D
)  /  ( B  x.  C ) ) )
121, 4, 7, 10, 11mp4an 421 1  |-  ( ( A  /  B )  /  ( C  /  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  /  ( B  x.  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   CCcc 7582   0cc0 7584    x. cmul 7589   # cap 8306    / cdiv 8392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator