Theorem divdivdivapi 8938

Description: Division of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	|- A e. CC
divclz.2	|- B e. CC
divmulz.3	|- C e. CC
divmuldivap.4	|- D e. CC
divmuldivap.5	|- B # 0
divmuldivap.6	|- D # 0
divdivdivap.7	|- C # 0

Assertion

Ref	Expression
divdivdivapi	|- ( ( A / B ) / ( C / D ) ) = ( ( A x. D ) / ( B x. C ) )

Proof of Theorem divdivdivapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclz.1	. 2 |- A e. CC
2		divclz.2	. . 3 |- B e. CC
3		divmuldivap.5	. . 3 |- B # 0
4	2, 3	pm3.2i 272	. 2 |- ( B e. CC /\ B # 0 )
5		divmulz.3	. . 3 |- C e. CC
6		divdivdivap.7	. . 3 |- C # 0
7	5, 6	pm3.2i 272	. 2 |- ( C e. CC /\ C # 0 )
8		divmuldivap.4	. . 3 |- D e. CC
9		divmuldivap.6	. . 3 |- D # 0
10	8, 9	pm3.2i 272	. 2 |- ( D e. CC /\ D # 0 )
11		divdivdivap 8876	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) /\ ( ( C e. CC /\ C # 0 ) /\ ( D e. CC /\ D # 0 ) ) ) -> ( ( A / B ) / ( C / D ) ) = ( ( A x. D ) / ( B x. C ) ) )
12	1, 4, 7, 10, 11	mp4an 427	1 |- ( ( A / B ) / ( C / D ) ) = ( ( A x. D ) / ( B x. C ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   CCcc 8013   0cc0 8015   x. cmul 8020   # cap 8744   / cdiv 8835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836

This theorem is referenced by: (None)