Theorem divdivdivapi 8538

Description: Division of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
divmuldivap.4	⊢ 𝐷 ∈ ℂ
divmuldivap.5	⊢ 𝐵 # 0
divmuldivap.6	⊢ 𝐷 # 0
divdivdivap.7	⊢ 𝐶 # 0

Assertion

Ref	Expression
divdivdivapi	⊢ ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem divdivdivapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclz.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		divmuldivap.5	. . 3 ⊢ 𝐵 # 0
4	2, 3	pm3.2i 270	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)
5		divmulz.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
6		divdivdivap.7	. . 3 ⊢ 𝐶 # 0
7	5, 6	pm3.2i 270	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)
8		divmuldivap.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
9		divmuldivap.6	. . 3 ⊢ 𝐷 # 0
10	8, 9	pm3.2i 270	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)
11		divdivdivap 8476	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
12	1, 4, 7, 10, 11	mp4an 423	1 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7621  0cc0 7623   · cmul 7628   # cap 8346   / cdiv 8435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436

This theorem is referenced by: (None)