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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divdivdivap | Unicode version |
Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.) |
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1 | simprrl 507 |
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2 | simprll 505 |
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3 | simprlr 506 |
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4 | divclap 8199 |
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5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1175 |
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6 | simpll 497 |
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7 | simplrl 503 |
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8 | simplrr 504 |
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9 | divclap 8199 |
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10 | 6, 7, 8, 9 | syl3anc 1175 |
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11 | 5, 10 | mulcomd 7563 |
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12 | simplr 498 |
. . . . . 6
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13 | simprl 499 |
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14 | divmuldivap 8233 |
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15 | 6, 1, 12, 13, 14 | syl22anc 1176 |
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16 | 11, 15 | eqtrd 2121 |
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17 | 16 | oveq2d 5682 |
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18 | simprr 500 |
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19 | divmuldivap 8233 |
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20 | 2, 1, 18, 13, 19 | syl22anc 1176 |
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21 | 2, 1 | mulcomd 7563 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | oveq1d 5681 |
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23 | 1, 2 | mulcld 7562 |
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24 | simprrr 508 |
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25 | 1, 2, 24, 3 | mulap0d 8181 |
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26 | dividap 8222 |
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27 | 23, 25, 26 | syl2anc 404 |
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28 | 22, 27 | eqtrd 2121 |
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29 | 20, 28 | eqtrd 2121 |
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30 | 29 | oveq1d 5681 |
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31 | divclap 8199 |
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32 | 2, 1, 24, 31 | syl3anc 1175 |
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33 | 32, 5, 10 | mulassd 7565 |
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34 | 10 | mulid2d 7560 |
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35 | 30, 33, 34 | 3eqtr3d 2129 |
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36 | 17, 35 | eqtr3d 2123 |
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37 | 6, 1 | mulcld 7562 |
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38 | 7, 2 | mulcld 7562 |
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40 | 39 | ad2ant2lr 495 |
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41 | divclap 8199 |
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42 | 37, 38, 40, 41 | syl3anc 1175 |
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43 | divap0 8205 |
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44 | 43 | adantl 272 |
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45 | divmulap 8196 |
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46 | 10, 42, 32, 44, 45 | syl112anc 1179 |
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47 | 36, 46 | mpbird 166 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-sep 3963 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-cnex 7490 ax-resscn 7491 ax-1cn 7492 ax-1re 7493 ax-icn 7494 ax-addcl 7495 ax-addrcl 7496 ax-mulcl 7497 ax-mulrcl 7498 ax-addcom 7499 ax-mulcom 7500 ax-addass 7501 ax-mulass 7502 ax-distr 7503 ax-i2m1 7504 ax-0lt1 7505 ax-1rid 7506 ax-0id 7507 ax-rnegex 7508 ax-precex 7509 ax-cnre 7510 ax-pre-ltirr 7511 ax-pre-ltwlin 7512 ax-pre-lttrn 7513 ax-pre-apti 7514 ax-pre-ltadd 7515 ax-pre-mulgt0 7516 ax-pre-mulext 7517 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-br 3852 df-opab 3906 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-xp 4457 df-rel 4458 df-cnv 4459 df-co 4460 df-dm 4461 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fv 5036 df-riota 5622 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-pnf 7578 df-mnf 7579 df-xr 7580 df-ltxr 7581 df-le 7582 df-sub 7709 df-neg 7710 df-reap 8106 df-ap 8113 df-div 8194 |
This theorem is referenced by: recdivap 8239 divcanap7 8242 divdivap1 8244 divdivap2 8245 divdivdivapi 8296 qreccl 9181 |
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