Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divdivdivap Unicode version

Theorem divdivdivap 8466
 Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divdivdivap # # #

Proof of Theorem divdivdivap
StepHypRef Expression
1 simprrl 528 . . . . . . 7 # # #
2 simprll 526 . . . . . . 7 # # #
3 simprlr 527 . . . . . . 7 # # # #
4 divclap 8431 . . . . . . 7 #
51, 2, 3, 4syl3anc 1216 . . . . . 6 # # #
6 simpll 518 . . . . . . 7 # # #
7 simplrl 524 . . . . . . 7 # # #
8 simplrr 525 . . . . . . 7 # # # #
9 divclap 8431 . . . . . . 7 #
106, 7, 8, 9syl3anc 1216 . . . . . 6 # # #
115, 10mulcomd 7780 . . . . 5 # # #
12 simplr 519 . . . . . 6 # # # #
13 simprl 520 . . . . . 6 # # # #
14 divmuldivap 8465 . . . . . 6 # #
156, 1, 12, 13, 14syl22anc 1217 . . . . 5 # # #
1611, 15eqtrd 2170 . . . 4 # # #
1716oveq2d 5783 . . 3 # # #
18 simprr 521 . . . . . . 7 # # # #
19 divmuldivap 8465 . . . . . . 7 # #
202, 1, 18, 13, 19syl22anc 1217 . . . . . 6 # # #
212, 1mulcomd 7780 . . . . . . . 8 # # #
2221oveq1d 5782 . . . . . . 7 # # #
231, 2mulcld 7779 . . . . . . . 8 # # #
24 simprrr 529 . . . . . . . . 9 # # # #
251, 2, 24, 3mulap0d 8412 . . . . . . . 8 # # # #
26 dividap 8454 . . . . . . . 8 #
2723, 25, 26syl2anc 408 . . . . . . 7 # # #
2822, 27eqtrd 2170 . . . . . 6 # # #
2920, 28eqtrd 2170 . . . . 5 # # #
3029oveq1d 5782 . . . 4 # # #
31 divclap 8431 . . . . . 6 #
322, 1, 24, 31syl3anc 1216 . . . . 5 # # #
3332, 5, 10mulassd 7782 . . . 4 # # #
3410mulid2d 7777 . . . 4 # # #
3530, 33, 343eqtr3d 2178 . . 3 # # #
3617, 35eqtr3d 2172 . 2 # # #
376, 1mulcld 7779 . . . 4 # # #
387, 2mulcld 7779 . . . 4 # # #
39 mulap0 8408 . . . . 5 # # #
4039ad2ant2lr 501 . . . 4 # # # #
41 divclap 8431 . . . 4 #
4237, 38, 40, 41syl3anc 1216 . . 3 # # #
43 divap0 8437 . . . 4 # # #
4443adantl 275 . . 3 # # # #
45 divmulap 8428 . . 3 #
4610, 42, 32, 44, 45syl112anc 1220 . 2 # # #
4736, 46mpbird 166 1 # # #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1331   wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  cc 7611  cc0 7613  c1 7614   cmul 7618   # cap 8336   cdiv 8425 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426 This theorem is referenced by:  recdivap  8471  divcanap7  8474  divdivap1  8476  divdivap2  8477  divdivdivapi  8528  qreccl  9427
 Copyright terms: Public domain W3C validator