Theorem divgt0ii 8862

Description: The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	|- A e. RR
prodgt0.2	|- B e. RR
ltreci.3	|- 0 < A
ltreci.4	|- 0 < B

Assertion

Ref	Expression
divgt0ii	|- 0 < ( A / B )

Proof of Theorem divgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltreci.3	. 2 |- 0 < A
2		ltplus1.1	. . 3 |- A e. RR
3		prodgt0.2	. . 3 |- B e. RR
4		ltreci.4	. . 3 |- 0 < B
5	2, 3, 4	divgt0i2i 8860	. 2 |- ( 0 < A -> 0 < ( A / B ) )
6	1, 5	ax-mp 5	1 |- 0 < ( A / B )

Syntax hints:   e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7798   0cc0 7799   < clt 7979   / cdiv 8615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616

This theorem is referenced by:  0.999...  11510  sinhalfpilem  13872  sincos4thpi  13921  sincos6thpi  13923  pigt3  13925