ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincos4thpi Unicode version

Theorem sincos4thpi 12943
Description: The sine and cosine of  pi  /  4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos4thpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )

Proof of Theorem sincos4thpi
StepHypRef Expression
1 halfcn 8946 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
2 ax-1cn 7725 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
3 2halves 8961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
5 sincosq1eq 12942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )  ->  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
61, 1, 4, 5mp3an 1315 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
76oveq2i 5785 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
87oveq2i 5785 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )
9 2cn 8803 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
10 pire 12889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
1110recni 7790 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
12 2ap0 8825 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
132, 9, 11, 9, 12, 12divmuldivapi 8544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  /  (
2  x.  2 ) )
1411mulid2i 7781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
15 2t2e4 8886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1614, 15oveq12i 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  pi )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( pi  /  4
)
1713, 16eqtri 2160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  4
)
1817fveq2i 5424 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  4 ) )
1918, 18oveq12i 5786 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) )
2019oveq2i 5785 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) ) )
219, 12recidapi 8515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
2221oveq1i 5784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 1  x.  (
pi  /  2 ) )
23 2re 8802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
2410, 23, 12redivclapi 8551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
2524recni 7790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
269, 1, 25mulassi 7787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
2725mulid2i 7781 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2822, 26, 273eqtr3i 2168 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
2928fveq2i 5424 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  2 ) )
301, 25mulcli 7783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
31 sin2t 11467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) ) ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
33 sinhalfpi 12899 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  1
3429, 32, 333eqtr3i 2168 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  1
358, 20, 343eqtr3i 2168 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) ) )  =  1
3635fveq2i 5424 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )  =  ( sqr `  1 )
37 4re 8809 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR
38 4ap0 8831 . . . . . . . . 9  |-  4 #  0
3910, 37, 38redivclapi 8551 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR
40 resincl 11438 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( pi  / 
4 ) )  e.  RR )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  e.  RR
4241, 41remulcli 7792 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )  e.  RR
43 0le2 8822 . . . . . 6  |-  0  <_  2
4441msqge0i 8391 . . . . . 6  |-  0  <_  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) )
4523, 42, 43, 44sqrtmulii 10918 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )
46 sqrt1 10830 . . . . 5  |-  ( sqr `  1 )  =  1
4736, 45, 463eqtr3ri 2169 . . . 4  |-  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )
4842sqrtcli 10904 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  RR )
4944, 48ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  RR
5049recni 7790 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  CC
51 sqrt2re 11852 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
5251recni 7790 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
53 2pos 8823 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
5423, 53sqrtgt0ii 10915 . . . . . . 7  |-  0  <  ( sqr `  2
)
5551, 54gt0ap0ii 8402 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 ) #  0
5652, 55pm3.2i 270 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 ) #  0 )
57 divmulap2 8448 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 ) #  0 ) )  ->  (
( 1  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  <->  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) ) ) )
582, 50, 56, 57mp3an 1315 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  <->  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) ) )
5947, 58mpbir 145 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )
60 0re 7778 . . . . 5  |-  0  e.  RR
61 pipos 12891 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
62 4pos 8829 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
6310, 37, 61, 62divgt0ii 8689 . . . . . . 7  |-  0  <  ( pi  /  4
)
64 1re 7777 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
65 pigt2lt4 12887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
6665simpri 112 . . . . . . . . . 10  |-  pi  <  4
6710, 37, 37, 62ltdiv1ii 8699 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
<  4  <->  ( pi  /  4 )  <  (
4  /  4 ) )
6866, 67mpbi 144 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  4 )  < 
( 4  /  4
)
6937recni 7790 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
7069, 38dividapi 8517 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  /  4 )  =  1
7168, 70breqtri 3953 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  4 )  <  1
7239, 64, 71ltleii 7878 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  4 )  <_ 
1
73 0xr 7824 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
74 elioc2 9731 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( pi  /  4
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  4
)  /\  ( pi  /  4 )  <_  1
) ) )
7573, 64, 74mp2an 422 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  4
)  /\  ( pi  /  4 )  <_  1
) )
7639, 63, 72, 75mpbir3an 1163 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  4 )  e.  ( 0 (,] 1
)
77 sin01gt0 11479 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
7960, 41, 78ltleii 7878 . . . 4  |-  0  <_  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8041sqrtmsqi 10906 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( sin `  (
pi  /  4 ) )  ->  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )
8179, 80ax-mp 5 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8259, 81eqtr2i 2161 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
8359, 81eqtri 2160 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =  ( sin `  ( pi 
/  4 ) )
8417fveq2i 5424 . . . 4  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )
856, 18, 843eqtr3i 2168 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )
8683, 85eqtr2i 2161 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
8782, 86pm3.2i 270 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    x. cmul 7637   RR*cxr 7811    < clt 7812    <_ cle 7813   # cap 8355    / cdiv 8444   2c2 8783   4c4 8785   (,]cioc 9684   sqrcsqrt 10780   sincsin 11362   cosccos 11363   picpi 11365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752  ax-pre-suploc 7753  ax-addf 7754  ax-mulf 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-5 8794  df-6 8795  df-7 8796  df-8 8797  df-9 8798  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-ioo 9687  df-ioc 9688  df-ico 9689  df-icc 9690  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-fac 10484  df-bc 10506  df-ihash 10534  df-shft 10599  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135  df-ef 11366  df-sin 11368  df-cos 11369  df-pi 11371  df-rest 12136  df-topgen 12155  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-met 12172  df-bl 12173  df-mopn 12174  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224  df-ntr 12279  df-cn 12371  df-cnp 12372  df-tx 12436  df-cncf 12741  df-limced 12808  df-dvap 12809
This theorem is referenced by:  tan4thpi  12944
  Copyright terms: Public domain W3C validator