Theorem sincos4thpi 13812

Description: The sine and cosine of pi / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos4thpi	|- ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) /\ ( cos ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) )

Proof of Theorem sincos4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 9104	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
2		ax-1cn 7879	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
3		2halves 9119	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1
5		sincosq1eq 13811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 ) -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) )
6	1, 1, 4, 5	mp3an 1337	. . . . . . . . 9 |- ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) )
7	6	oveq2i 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) )
8	7	oveq2i 5876	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
9		2cn 8961	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
10		pire 13758	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR
11	10	recni 7944	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. CC
12		2ap0 8983	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
13	2, 9, 11, 9, 12, 12	divmuldivapi 8701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( 1 x. pi ) / ( 2 x. 2 ) )
14	11	mulid2i 7935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 x. pi ) = pi
15		2t2e4 9044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	14, 15	oveq12i 5877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 x. pi ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( pi / 4 )
17	13, 16	eqtri 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 4 )
18	17	fveq2i 5510	. . . . . . . . 9 |- ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( sin ` ( pi / 4 ) )
19	18, 18	oveq12i 5877	. . . . . . . 8 |- ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) )
20	19	oveq2i 5876	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) )
21	9, 12	recidapi 8672	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
22	21	oveq1i 5875	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 1 x. ( pi / 2 ) )
23		2re 8960	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
24	10, 23, 12	redivclapi 8708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi / 2 ) e. RR
25	24	recni 7944	. . . . . . . . . . 11 |- ( pi / 2 ) e. CC
26	9, 1, 25	mulassi 7941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) )
27	25	mulid2i 7935	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
28	22, 26, 27	3eqtr3i 2204	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 )
29	28	fveq2i 5510	. . . . . . . 8 |- ( sin ` ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` ( pi / 2 ) )
30	1, 25	mulcli 7937	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) e. CC
31		sin2t 11723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( sin ` ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
33		sinhalfpi 13768	. . . . . . . 8 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1
34	29, 32, 33	3eqtr3i 2204	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) ) = 1
35	8, 20, 34	3eqtr3i 2204	. . . . . 6 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) = 1
36	35	fveq2i 5510	. . . . 5 |- ( sqr ` ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) ) = ( sqr ` 1 )
37		4re 8967	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
38		4ap0 8989	. . . . . . . . 9 |- 4 # 0
39	10, 37, 38	redivclapi 8708	. . . . . . . 8 |- ( pi / 4 ) e. RR
40		resincl 11694	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 4 ) e. RR -> ( sin ` ( pi / 4 ) ) e. RR )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( sin ` ( pi / 4 ) ) e. RR
42	41, 41	remulcli 7946	. . . . . 6 |- ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) e. RR
43		0le2 8980	. . . . . 6 |- 0 <_ 2
44	41	msqge0i 8548	. . . . . 6 |- 0 <_ ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) )
45	23, 42, 43, 44	sqrtmulii 11109	. . . . 5 |- ( sqr ` ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) ) = ( ( sqr ` 2 ) x. ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) )
46		sqrt1 11021	. . . . 5 |- ( sqr ` 1 ) = 1
47	36, 45, 46	3eqtr3ri 2205	. . . 4 |- 1 = ( ( sqr ` 2 ) x. ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) )
48	42	sqrtcli 11095	. . . . . . 7 |- ( 0 <_ ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) -> ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) e. RR )
49	44, 48	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) e. RR
50	49	recni 7944	. . . . 5 |- ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) e. CC
51		sqrt2re 12128	. . . . . . 7 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
52	51	recni 7944	. . . . . 6 |- ( sqr ` 2 ) e. CC
53		2pos 8981	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
54	23, 53	sqrtgt0ii 11106	. . . . . . 7 |- 0 < ( sqr ` 2 )
55	51, 54	gt0ap0ii 8559	. . . . . 6 |- ( sqr ` 2 ) # 0
56	52, 55	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( ( sqr ` 2 ) e. CC /\ ( sqr ` 2 ) # 0 )
57		divmulap2 8605	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( sqr ` 2 ) e. CC /\ ( sqr ` 2 ) # 0 ) ) -> ( ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) = ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) <-> 1 = ( ( sqr ` 2 ) x. ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) ) ) )
58	2, 50, 56, 57	mp3an 1337	. . . 4 |- ( ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) = ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) <-> 1 = ( ( sqr ` 2 ) x. ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) ) )
59	47, 58	mpbir 146	. . 3 |- ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) = ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) )
60		0re 7932	. . . . 5 |- 0 e. RR
61		pipos 13760	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
62		4pos 8987	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
63	10, 37, 61, 62	divgt0ii 8847	. . . . . . 7 |- 0 < ( pi / 4 )
64		1re 7931	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
65		pigt2lt4 13756	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
66	65	simpri 113	. . . . . . . . . 10 |- pi < 4
67	10, 37, 37, 62	ltdiv1ii 8857	. . . . . . . . . 10 |- ( pi < 4 <-> ( pi / 4 ) < ( 4 / 4 ) )
68	66, 67	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- ( pi / 4 ) < ( 4 / 4 )
69	37	recni 7944	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. CC
70	69, 38	dividapi 8674	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 4 ) = 1
71	68, 70	breqtri 4023	. . . . . . . 8 |- ( pi / 4 ) < 1
72	39, 64, 71	ltleii 8034	. . . . . . 7 |- ( pi / 4 ) <_ 1
73		0xr 7978	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
74		elioc2 9905	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( pi / 4 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 4 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 4 ) /\ ( pi / 4 ) <_ 1 ) ) )
75	73, 64, 74	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 4 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 4 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 4 ) /\ ( pi / 4 ) <_ 1 ) )
76	39, 63, 72, 75	mpbir3an 1179	. . . . . 6 |- ( pi / 4 ) e. ( 0 (,] 1 )
77		sin01gt0 11735	. . . . . 6 |- ( ( pi / 4 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < ( sin ` ( pi / 4 ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 < ( sin ` ( pi / 4 ) )
79	60, 41, 78	ltleii 8034	. . . 4 |- 0 <_ ( sin ` ( pi / 4 ) )
80	41	sqrtmsqi 11097	. . . 4 |- ( 0 <_ ( sin ` ( pi / 4 ) ) -> ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) = ( sin ` ( pi / 4 ) ) )
81	79, 80	ax-mp 5	. . 3 |- ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) = ( sin ` ( pi / 4 ) )
82	59, 81	eqtr2i 2197	. 2 |- ( sin ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) )
83	59, 81	eqtri 2196	. . 3 |- ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) = ( sin ` ( pi / 4 ) )
84	17	fveq2i 5510	. . . 4 |- ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 4 ) )
85	6, 18, 84	3eqtr3i 2204	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 4 ) ) = ( cos ` ( pi / 4 ) )
86	83, 85	eqtr2i 2197	. 2 |- ( cos ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) )
87	82, 86	pm3.2i 272	1 |- ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) /\ ( cos ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   x. cmul 7791   RR*cxr 7965   < clt 7966   <_ cle 7967   # cap 8512   / cdiv 8601   2c2 8941   4c4 8943   (,]cioc 9858   sqrcsqrt 10971   sincsin 11618   cosccos 11619   picpi 11621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907  ax-addf 7908  ax-mulf 7909

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-disj 3976  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-of 6073  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-map 6640  df-pm 6641  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-9 8956  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-xneg 9741  df-xadd 9742  df-ioo 9861  df-ioc 9862  df-ico 9863  df-icc 9864  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-fac 10672  df-bc 10694  df-ihash 10722  df-shft 10790  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-sumdc 11328  df-ef 11622  df-sin 11624  df-cos 11625  df-pi 11627  df-rest 12610  df-topgen 12629  df-psmet 13038  df-xmet 13039  df-met 13040  df-bl 13041  df-mopn 13042  df-top 13047  df-topon 13060  df-bases 13092  df-ntr 13147  df-cn 13239  df-cnp 13240  df-tx 13304  df-cncf 13609  df-limced 13676  df-dvap 13677

This theorem is referenced by:  tan4thpi  13813