ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincos4thpi Unicode version

Theorem sincos4thpi 13812
Description: The sine and cosine of  pi  /  4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos4thpi  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )

Proof of Theorem sincos4thpi
StepHypRef Expression
1 halfcn 9104 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
2 ax-1cn 7879 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
3 2halves 9119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
5 sincosq1eq 13811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )  ->  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
61, 1, 4, 5mp3an 1337 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )
76oveq2i 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )
87oveq2i 5876 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )
9 2cn 8961 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
10 pire 13758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
1110recni 7944 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
12 2ap0 8983 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
132, 9, 11, 9, 12, 12divmuldivapi 8701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  /  (
2  x.  2 ) )
1411mulid2i 7935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
15 2t2e4 9044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1614, 15oveq12i 5877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  pi )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( pi  /  4
)
1713, 16eqtri 2196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  4
)
1817fveq2i 5510 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  4 ) )
1918, 18oveq12i 5877 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) )
2019oveq2i 5876 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) ) )
219, 12recidapi 8672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
2221oveq1i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 1  x.  (
pi  /  2 ) )
23 2re 8960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
2410, 23, 12redivclapi 8708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
2524recni 7944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
269, 1, 25mulassi 7941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
2725mulid2i 7935 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2822, 26, 273eqtr3i 2204 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
2928fveq2i 5510 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( sin `  ( pi 
/  2 ) )
301, 25mulcli 7937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
31 sin2t 11723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) ) ) ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( 2  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
33 sinhalfpi 13768 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  1
3429, 32, 333eqtr3i 2204 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )  =  1
358, 20, 343eqtr3i 2204 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) ) )  =  1
3635fveq2i 5510 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )  =  ( sqr `  1 )
37 4re 8967 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR
38 4ap0 8989 . . . . . . . . 9  |-  4 #  0
3910, 37, 38redivclapi 8708 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR
40 resincl 11694 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( pi  / 
4 ) )  e.  RR )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  e.  RR
4241, 41remulcli 7946 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )  e.  RR
43 0le2 8980 . . . . . 6  |-  0  <_  2
4441msqge0i 8548 . . . . . 6  |-  0  <_  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) )
4523, 42, 43, 44sqrtmulii 11109 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( 2  x.  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )
46 sqrt1 11021 . . . . 5  |-  ( sqr `  1 )  =  1
4736, 45, 463eqtr3ri 2205 . . . 4  |-  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) )
4842sqrtcli 11095 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( ( sin `  ( pi  /  4
) )  x.  ( sin `  ( pi  / 
4 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  RR )
4944, 48ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  RR
5049recni 7944 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  e.  CC
51 sqrt2re 12128 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
5251recni 7944 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
53 2pos 8981 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
5423, 53sqrtgt0ii 11106 . . . . . . 7  |-  0  <  ( sqr `  2
)
5551, 54gt0ap0ii 8559 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 ) #  0
5652, 55pm3.2i 272 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 ) #  0 )
57 divmulap2 8605 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 ) #  0 ) )  ->  (
( 1  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  <->  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) ) ) )
582, 50, 56, 57mp3an 1337 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  <->  1  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) ) ) )
5947, 58mpbir 146 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =  ( sqr `  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  x.  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) ) )
60 0re 7932 . . . . 5  |-  0  e.  RR
61 pipos 13760 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
62 4pos 8987 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
6310, 37, 61, 62divgt0ii 8847 . . . . . . 7  |-  0  <  ( pi  /  4
)
64 1re 7931 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
65 pigt2lt4 13756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
6665simpri 113 . . . . . . . . . 10  |-  pi  <  4
6710, 37, 37, 62ltdiv1ii 8857 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
<  4  <->  ( pi  /  4 )  <  (
4  /  4 ) )
6866, 67mpbi 145 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  4 )  < 
( 4  /  4
)
6937recni 7944 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
7069, 38dividapi 8674 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  /  4 )  =  1
7168, 70breqtri 4023 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  4 )  <  1
7239, 64, 71ltleii 8034 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  4 )  <_ 
1
73 0xr 7978 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
74 elioc2 9905 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( pi  /  4
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  4
)  /\  ( pi  /  4 )  <_  1
) ) )
7573, 64, 74mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( (
pi  /  4 )  e.  RR  /\  0  <  ( pi  /  4
)  /\  ( pi  /  4 )  <_  1
) )
7639, 63, 72, 75mpbir3an 1179 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  4 )  e.  ( 0 (,] 1
)
77 sin01gt0 11735 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  4 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
7960, 41, 78ltleii 8034 . . . 4  |-  0  <_  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8041sqrtmsqi 11097 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( sin `  (
pi  /  4 ) )  ->  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  4 ) ) )
8179, 80ax-mp 5 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  x.  ( sin `  ( pi  /  4
) ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  4 ) )
8259, 81eqtr2i 2197 . 2  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
8359, 81eqtri 2196 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =  ( sin `  ( pi 
/  4 ) )
8417fveq2i 5510 . . . 4  |-  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )
856, 18, 843eqtr3i 2204 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )
8683, 85eqtr2i 2197 . 2  |-  ( cos `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
8782, 86pm3.2i 272 1  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787    + caddc 7789    x. cmul 7791   RR*cxr 7965    < clt 7966    <_ cle 7967   # cap 8512    / cdiv 8601   2c2 8941   4c4 8943   (,]cioc 9858   sqrcsqrt 10971   sincsin 11618   cosccos 11619   picpi 11621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907  ax-addf 7908  ax-mulf 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-disj 3976  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-of 6073  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-map 6640  df-pm 6641  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-9 8956  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-xneg 9741  df-xadd 9742  df-ioo 9861  df-ioc 9862  df-ico 9863  df-icc 9864  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-fac 10672  df-bc 10694  df-ihash 10722  df-shft 10790  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-sumdc 11328  df-ef 11622  df-sin 11624  df-cos 11625  df-pi 11627  df-rest 12610  df-topgen 12629  df-psmet 13038  df-xmet 13039  df-met 13040  df-bl 13041  df-mopn 13042  df-top 13047  df-topon 13060  df-bases 13092  df-ntr 13147  df-cn 13239  df-cnp 13240  df-tx 13304  df-cncf 13609  df-limced 13676  df-dvap 13677
This theorem is referenced by:  tan4thpi  13813
  Copyright terms: Public domain W3C validator