Theorem sincos4thpi 14738

Description: The sine and cosine of pi / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos4thpi	|- ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) /\ ( cos ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) )

Proof of Theorem sincos4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 9164	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
2		ax-1cn 7935	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
3		2halves 9179	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1
5		sincosq1eq 14737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 ) -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) )
6	1, 1, 4, 5	mp3an 1348	. . . . . . . . 9 |- ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) )
7	6	oveq2i 5908	. . . . . . . 8 |- ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) )
8	7	oveq2i 5908	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
9		2cn 9021	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
10		pire 14684	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR
11	10	recni 8000	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. CC
12		2ap0 9043	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
13	2, 9, 11, 9, 12, 12	divmuldivapi 8760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( 1 x. pi ) / ( 2 x. 2 ) )
14	11	mullidi 7991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 x. pi ) = pi
15		2t2e4 9104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	14, 15	oveq12i 5909	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 x. pi ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( pi / 4 )
17	13, 16	eqtri 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 4 )
18	17	fveq2i 5537	. . . . . . . . 9 |- ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( sin ` ( pi / 4 ) )
19	18, 18	oveq12i 5909	. . . . . . . 8 |- ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) )
20	19	oveq2i 5908	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) )
21	9, 12	recidapi 8731	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
22	21	oveq1i 5907	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 1 x. ( pi / 2 ) )
23		2re 9020	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
24	10, 23, 12	redivclapi 8767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi / 2 ) e. RR
25	24	recni 8000	. . . . . . . . . . 11 |- ( pi / 2 ) e. CC
26	9, 1, 25	mulassi 7997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) )
27	25	mullidi 7991	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
28	22, 26, 27	3eqtr3i 2218	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 )
29	28	fveq2i 5537	. . . . . . . 8 |- ( sin ` ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` ( pi / 2 ) )
30	1, 25	mulcli 7993	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) e. CC
31		sin2t 11792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( sin ` ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
33		sinhalfpi 14694	. . . . . . . 8 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1
34	29, 32, 33	3eqtr3i 2218	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) ) ) = 1
35	8, 20, 34	3eqtr3i 2218	. . . . . 6 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) = 1
36	35	fveq2i 5537	. . . . 5 |- ( sqr ` ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) ) = ( sqr ` 1 )
37		4re 9027	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
38		4ap0 9049	. . . . . . . . 9 |- 4 # 0
39	10, 37, 38	redivclapi 8767	. . . . . . . 8 |- ( pi / 4 ) e. RR
40		resincl 11763	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 4 ) e. RR -> ( sin ` ( pi / 4 ) ) e. RR )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( sin ` ( pi / 4 ) ) e. RR
42	41, 41	remulcli 8002	. . . . . 6 |- ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) e. RR
43		0le2 9040	. . . . . 6 |- 0 <_ 2
44	41	msqge0i 8605	. . . . . 6 |- 0 <_ ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) )
45	23, 42, 43, 44	sqrtmulii 11178	. . . . 5 |- ( sqr ` ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) ) = ( ( sqr ` 2 ) x. ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) )
46		sqrt1 11090	. . . . 5 |- ( sqr ` 1 ) = 1
47	36, 45, 46	3eqtr3ri 2219	. . . 4 |- 1 = ( ( sqr ` 2 ) x. ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) )
48	42	sqrtcli 11164	. . . . . . 7 |- ( 0 <_ ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) -> ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) e. RR )
49	44, 48	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) e. RR
50	49	recni 8000	. . . . 5 |- ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) e. CC
51		sqrt2re 12198	. . . . . . 7 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
52	51	recni 8000	. . . . . 6 |- ( sqr ` 2 ) e. CC
53		2pos 9041	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
54	23, 53	sqrtgt0ii 11175	. . . . . . 7 |- 0 < ( sqr ` 2 )
55	51, 54	gt0ap0ii 8616	. . . . . 6 |- ( sqr ` 2 ) # 0
56	52, 55	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( ( sqr ` 2 ) e. CC /\ ( sqr ` 2 ) # 0 )
57		divmulap2 8664	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) e. CC /\ ( ( sqr ` 2 ) e. CC /\ ( sqr ` 2 ) # 0 ) ) -> ( ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) = ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) <-> 1 = ( ( sqr ` 2 ) x. ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) ) ) )
58	2, 50, 56, 57	mp3an 1348	. . . 4 |- ( ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) = ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) <-> 1 = ( ( sqr ` 2 ) x. ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) ) )
59	47, 58	mpbir 146	. . 3 |- ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) = ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) )
60		0re 7988	. . . . 5 |- 0 e. RR
61		pipos 14686	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
62		4pos 9047	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
63	10, 37, 61, 62	divgt0ii 8907	. . . . . . 7 |- 0 < ( pi / 4 )
64		1re 7987	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
65		pigt2lt4 14682	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
66	65	simpri 113	. . . . . . . . . 10 |- pi < 4
67	10, 37, 37, 62	ltdiv1ii 8917	. . . . . . . . . 10 |- ( pi < 4 <-> ( pi / 4 ) < ( 4 / 4 ) )
68	66, 67	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- ( pi / 4 ) < ( 4 / 4 )
69	37	recni 8000	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. CC
70	69, 38	dividapi 8733	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 4 ) = 1
71	68, 70	breqtri 4043	. . . . . . . 8 |- ( pi / 4 ) < 1
72	39, 64, 71	ltleii 8091	. . . . . . 7 |- ( pi / 4 ) <_ 1
73		0xr 8035	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
74		elioc2 9968	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( pi / 4 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 4 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 4 ) /\ ( pi / 4 ) <_ 1 ) ) )
75	73, 64, 74	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 4 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 4 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 4 ) /\ ( pi / 4 ) <_ 1 ) )
76	39, 63, 72, 75	mpbir3an 1181	. . . . . 6 |- ( pi / 4 ) e. ( 0 (,] 1 )
77		sin01gt0 11804	. . . . . 6 |- ( ( pi / 4 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < ( sin ` ( pi / 4 ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 < ( sin ` ( pi / 4 ) )
79	60, 41, 78	ltleii 8091	. . . 4 |- 0 <_ ( sin ` ( pi / 4 ) )
80	41	sqrtmsqi 11166	. . . 4 |- ( 0 <_ ( sin ` ( pi / 4 ) ) -> ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) = ( sin ` ( pi / 4 ) ) )
81	79, 80	ax-mp 5	. . 3 |- ( sqr ` ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) x. ( sin ` ( pi / 4 ) ) ) ) = ( sin ` ( pi / 4 ) )
82	59, 81	eqtr2i 2211	. 2 |- ( sin ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) )
83	59, 81	eqtri 2210	. . 3 |- ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) = ( sin ` ( pi / 4 ) )
84	17	fveq2i 5537	. . . 4 |- ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 4 ) )
85	6, 18, 84	3eqtr3i 2218	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 4 ) ) = ( cos ` ( pi / 4 ) )
86	83, 85	eqtr2i 2211	. 2 |- ( cos ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) )
87	82, 86	pm3.2i 272	1 |- ( ( sin ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) /\ ( cos ` ( pi / 4 ) ) = ( 1 / ( sqr ` 2 ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843   + caddc 7845   x. cmul 7847   RR*cxr 8022   < clt 8023   <_ cle 8024   # cap 8569   / cdiv 8660   2c2 9001   4c4 9003   (,]cioc 9921   sqrcsqrt 11040   sincsin 11687   cosccos 11688   picpi 11690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962  ax-pre-suploc 7963  ax-addf 7964  ax-mulf 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-of 6107  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-map 6677  df-pm 6678  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-xneg 9804  df-xadd 9805  df-ioo 9924  df-ioc 9925  df-ico 9926  df-icc 9927  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-fac 10741  df-bc 10763  df-ihash 10791  df-shft 10859  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397  df-ef 11691  df-sin 11693  df-cos 11694  df-pi 11696  df-rest 12749  df-topgen 12768  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-met 13875  df-bl 13876  df-mopn 13877  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-ntr 14073  df-cn 14165  df-cnp 14166  df-tx 14230  df-cncf 14535  df-limced 14602  df-dvap 14603

This theorem is referenced by:  tan4thpi  14739