Theorem sinhalfpilem 15782

Description: Lemma for sinhalfpi 15787 and coshalfpi 15788. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	|- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 11019	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2		pire 15777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR
3	2	recni 8302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. CC
4		2cn 9325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
5		2ap0 9347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 # 0
6	3, 4, 5	divcanap2i 9046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. ( pi / 2 ) ) = pi
7	6	fveq2i 5678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( sin ` pi )
8	2	rehalfcli 9504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi / 2 ) e. RR
9	8	recni 8302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi / 2 ) e. CC
10		sin2t 12460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
12	7, 11	eqtr3i 2257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin ` pi ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
13		sinpi 15776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin ` pi ) = 0
14	12, 13	eqtr3i 2257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0
15		0cn 8282	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
16		sincl 12417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC
18		coscl 12418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
19	9, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC
20	17, 19	mulcli 8295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) e. CC
21	15, 4, 20, 5	divmulapi 9057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 / 2 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) <-> ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0 )
22	14, 21	mpbir 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 / 2 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) )
23	4, 5	div0api 9037	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 / 2 ) = 0
24	22, 23	eqtr3i 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0
25		resincl 12431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR )
26	8, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR
27		2re 9324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
28		pipos 15779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
29		2pos 9345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
30	2, 27, 28, 29	divgt0ii 9210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < ( pi / 2 )
31		4re 9331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 e. RR
32		pigt2lt4 15775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
33	32	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi < 4
34	2, 31, 33	ltleii 8392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi <_ 4
35	27, 29	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
36		ledivmul 9168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) ) )
37	2, 27, 35, 36	mp3an 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) )
38		2t2e4 9409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 x. 2 ) = 4
39	38	breq2i 4122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi <_ ( 2 x. 2 ) <-> pi <_ 4 )
40	37, 39	bitr2i 185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi <_ 4 <-> ( pi / 2 ) <_ 2 )
41	34, 40	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi / 2 ) <_ 2
42		0xr 8336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
43		elioc2 10288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) ) )
44	42, 27, 43	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) )
45	8, 30, 41, 44	mpbir3an 1206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 )
46		sin02gt0 12475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) )
48	26, 47	gt0ap0ii 8919	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) # 0
49	15, 17, 19, 48	divmulapi 9057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 2 ) ) <-> ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0 )
50	24, 49	mpbir 146	. . . . . . . . 9 |- ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 2 ) )
51	17, 48	div0api 9037	. . . . . . . . 9 |- ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = 0
52	50, 51	eqtr3i 2257	. . . . . . . 8 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0
53	52	oveq1i 6068	. . . . . . 7 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 )
54		sq0 11016	. . . . . . 7 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
55	53, 54	eqtri 2255	. . . . . 6 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = 0
56	55	oveq2i 6069	. . . . 5 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 )
57		sincossq 12459	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
58	9, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1
59	56, 58	eqtr3i 2257	. . . 4 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = 1
60	17	sqcli 11006	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) e. CC
61	60	addridi 8431	. . . 4 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 )
62	1, 59, 61	3eqtr2ri 2262	. . 3 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 )
63		0re 8290	. . . . 5 |- 0 e. RR
64	63, 26, 47	ltleii 8392	. . . 4 |- 0 <_ ( sin ` ( pi / 2 ) )
65		1re 8289	. . . 4 |- 1 e. RR
66		0le1 8772	. . . 4 |- 0 <_ 1
67		sq11 10998	. . . 4 |- ( ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) ) -> ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 ) )
68	26, 64, 65, 66, 67	mp4an 427	. . 3 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 )
69	62, 68	mpbi 145	. 2 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1
70	69, 52	pm3.2i 272	1 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   RR*cxr 8323   < clt 8324   <_ cle 8325   / cdiv 8963   2c2 9305   4c4 9307   (,]cioc 10241   ^cexp 10924   sincsin 12355   cosccos 12356   picpi 12358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ioo 10244  df-ioc 10245  df-ico 10246  df-icc 10247  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-sin 12361  df-cos 12362  df-pi 12364  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-ntr 15087  df-cn 15179  df-cnp 15180  df-tx 15244  df-cncf 15562  df-limced 15647  df-dvap 15648

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  15787  coshalfpi  15788