Theorem sinhalfpilem 15378

Description: Lemma for sinhalfpi 15383 and coshalfpi 15384. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	|- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 10815	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2		pire 15373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR
3	2	recni 8119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. CC
4		2cn 9142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
5		2ap0 9164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 # 0
6	3, 4, 5	divcanap2i 8863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. ( pi / 2 ) ) = pi
7	6	fveq2i 5602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( sin ` pi )
8	2	rehalfcli 9321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi / 2 ) e. RR
9	8	recni 8119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi / 2 ) e. CC
10		sin2t 12175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
12	7, 11	eqtr3i 2230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin ` pi ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
13		sinpi 15372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin ` pi ) = 0
14	12, 13	eqtr3i 2230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0
15		0cn 8099	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
16		sincl 12132	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC
18		coscl 12133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
19	9, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC
20	17, 19	mulcli 8112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) e. CC
21	15, 4, 20, 5	divmulapi 8874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 / 2 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) <-> ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0 )
22	14, 21	mpbir 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 / 2 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) )
23	4, 5	div0api 8854	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 / 2 ) = 0
24	22, 23	eqtr3i 2230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0
25		resincl 12146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR )
26	8, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR
27		2re 9141	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
28		pipos 15375	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
29		2pos 9162	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
30	2, 27, 28, 29	divgt0ii 9027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < ( pi / 2 )
31		4re 9148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 e. RR
32		pigt2lt4 15371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
33	32	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi < 4
34	2, 31, 33	ltleii 8210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi <_ 4
35	27, 29	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
36		ledivmul 8985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) ) )
37	2, 27, 35, 36	mp3an 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) )
38		2t2e4 9226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 x. 2 ) = 4
39	38	breq2i 4067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi <_ ( 2 x. 2 ) <-> pi <_ 4 )
40	37, 39	bitr2i 185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi <_ 4 <-> ( pi / 2 ) <_ 2 )
41	34, 40	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi / 2 ) <_ 2
42		0xr 8154	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
43		elioc2 10093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) ) )
44	42, 27, 43	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) )
45	8, 30, 41, 44	mpbir3an 1182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 )
46		sin02gt0 12190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) )
48	26, 47	gt0ap0ii 8736	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) # 0
49	15, 17, 19, 48	divmulapi 8874	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 2 ) ) <-> ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0 )
50	24, 49	mpbir 146	. . . . . . . . 9 |- ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 2 ) )
51	17, 48	div0api 8854	. . . . . . . . 9 |- ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = 0
52	50, 51	eqtr3i 2230	. . . . . . . 8 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0
53	52	oveq1i 5977	. . . . . . 7 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 )
54		sq0 10812	. . . . . . 7 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
55	53, 54	eqtri 2228	. . . . . 6 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = 0
56	55	oveq2i 5978	. . . . 5 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 )
57		sincossq 12174	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
58	9, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1
59	56, 58	eqtr3i 2230	. . . 4 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = 1
60	17	sqcli 10802	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) e. CC
61	60	addridi 8249	. . . 4 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 )
62	1, 59, 61	3eqtr2ri 2235	. . 3 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 )
63		0re 8107	. . . . 5 |- 0 e. RR
64	63, 26, 47	ltleii 8210	. . . 4 |- 0 <_ ( sin ` ( pi / 2 ) )
65		1re 8106	. . . 4 |- 1 e. RR
66		0le1 8589	. . . 4 |- 0 <_ 1
67		sq11 10794	. . . 4 |- ( ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) ) -> ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 ) )
68	26, 64, 65, 66, 67	mp4an 427	. . 3 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 )
69	62, 68	mpbi 145	. 2 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1
70	69, 52	pm3.2i 272	1 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   RR*cxr 8141   < clt 8142   <_ cle 8143   / cdiv 8780   2c2 9122   4c4 9124   (,]cioc 10046   ^cexp 10720   sincsin 12070   cosccos 12071   picpi 12073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080  ax-pre-suploc 8081  ax-addf 8082  ax-mulf 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-disj 4036  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-map 6760  df-pm 6761  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-ioo 10049  df-ioc 10050  df-ico 10051  df-icc 10052  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-fac 10908  df-bc 10930  df-ihash 10958  df-shft 11241  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780  df-ef 12074  df-sin 12076  df-cos 12077  df-pi 12079  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-ntr 14683  df-cn 14775  df-cnp 14776  df-tx 14840  df-cncf 15158  df-limced 15243  df-dvap 15244

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  15383  coshalfpi  15384