Theorem sinhalfpilem 15582

Description: Lemma for sinhalfpi 15587 and coshalfpi 15588. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	|- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 10939	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2		pire 15577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR
3	2	recni 8234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. CC
4		2cn 9257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
5		2ap0 9279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 # 0
6	3, 4, 5	divcanap2i 8978	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. ( pi / 2 ) ) = pi
7	6	fveq2i 5651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( sin ` pi )
8	2	rehalfcli 9436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi / 2 ) e. RR
9	8	recni 8234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi / 2 ) e. CC
10		sin2t 12371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
12	7, 11	eqtr3i 2254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin ` pi ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
13		sinpi 15576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin ` pi ) = 0
14	12, 13	eqtr3i 2254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0
15		0cn 8214	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
16		sincl 12328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC
18		coscl 12329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
19	9, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC
20	17, 19	mulcli 8227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) e. CC
21	15, 4, 20, 5	divmulapi 8989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 / 2 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) <-> ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0 )
22	14, 21	mpbir 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 / 2 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) )
23	4, 5	div0api 8969	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 / 2 ) = 0
24	22, 23	eqtr3i 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0
25		resincl 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR )
26	8, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR
27		2re 9256	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
28		pipos 15579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
29		2pos 9277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
30	2, 27, 28, 29	divgt0ii 9142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < ( pi / 2 )
31		4re 9263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 e. RR
32		pigt2lt4 15575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
33	32	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi < 4
34	2, 31, 33	ltleii 8325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi <_ 4
35	27, 29	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
36		ledivmul 9100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) ) )
37	2, 27, 35, 36	mp3an 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) )
38		2t2e4 9341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 x. 2 ) = 4
39	38	breq2i 4101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi <_ ( 2 x. 2 ) <-> pi <_ 4 )
40	37, 39	bitr2i 185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi <_ 4 <-> ( pi / 2 ) <_ 2 )
41	34, 40	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi / 2 ) <_ 2
42		0xr 8269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
43		elioc2 10214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) ) )
44	42, 27, 43	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) )
45	8, 30, 41, 44	mpbir3an 1206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 )
46		sin02gt0 12386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) )
48	26, 47	gt0ap0ii 8851	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) # 0
49	15, 17, 19, 48	divmulapi 8989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 2 ) ) <-> ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0 )
50	24, 49	mpbir 146	. . . . . . . . 9 |- ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 2 ) )
51	17, 48	div0api 8969	. . . . . . . . 9 |- ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = 0
52	50, 51	eqtr3i 2254	. . . . . . . 8 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0
53	52	oveq1i 6038	. . . . . . 7 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 )
54		sq0 10936	. . . . . . 7 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
55	53, 54	eqtri 2252	. . . . . 6 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = 0
56	55	oveq2i 6039	. . . . 5 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 )
57		sincossq 12370	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
58	9, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1
59	56, 58	eqtr3i 2254	. . . 4 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = 1
60	17	sqcli 10926	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) e. CC
61	60	addridi 8364	. . . 4 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 )
62	1, 59, 61	3eqtr2ri 2259	. . 3 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 )
63		0re 8222	. . . . 5 |- 0 e. RR
64	63, 26, 47	ltleii 8325	. . . 4 |- 0 <_ ( sin ` ( pi / 2 ) )
65		1re 8221	. . . 4 |- 1 e. RR
66		0le1 8704	. . . 4 |- 0 <_ 1
67		sq11 10918	. . . 4 |- ( ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) ) -> ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 ) )
68	26, 64, 65, 66, 67	mp4an 427	. . 3 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 )
69	62, 68	mpbi 145	. 2 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1
70	69, 52	pm3.2i 272	1 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   RR*cxr 8256   < clt 8257   <_ cle 8258   / cdiv 8895   2c2 9237   4c4 9239   (,]cioc 10167   ^cexp 10844   sincsin 12266   cosccos 12267   picpi 12269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xneg 10050  df-xadd 10051  df-ioo 10170  df-ioc 10171  df-ico 10172  df-icc 10173  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-fac 11032  df-bc 11054  df-ihash 11082  df-shft 11436  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-ef 12270  df-sin 12272  df-cos 12273  df-pi 12275  df-rest 13385  df-topgen 13404  df-psmet 14619  df-xmet 14620  df-met 14621  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-top 14789  df-topon 14802  df-bases 14834  df-ntr 14887  df-cn 14979  df-cnp 14980  df-tx 15044  df-cncf 15362  df-limced 15447  df-dvap 15448

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  15587  coshalfpi  15588