Theorem sinhalfpilem 13506

Description: Lemma for sinhalfpi 13511 and coshalfpi 13512. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	|- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 10569	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2		pire 13501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR
3	2	recni 7932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. CC
4		2cn 8949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
5		2ap0 8971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 # 0
6	3, 4, 5	divcanap2i 8672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. ( pi / 2 ) ) = pi
7	6	fveq2i 5499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( sin ` pi )
8	2	rehalfcli 9126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi / 2 ) e. RR
9	8	recni 7932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi / 2 ) e. CC
10		sin2t 11712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
12	7, 11	eqtr3i 2193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin ` pi ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
13		sinpi 13500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin ` pi ) = 0
14	12, 13	eqtr3i 2193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0
15		0cn 7912	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
16		sincl 11669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC
18		coscl 11670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
19	9, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC
20	17, 19	mulcli 7925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) e. CC
21	15, 4, 20, 5	divmulapi 8683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 / 2 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) <-> ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0 )
22	14, 21	mpbir 145	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 / 2 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) )
23	4, 5	div0api 8663	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 / 2 ) = 0
24	22, 23	eqtr3i 2193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0
25		resincl 11683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR )
26	8, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR
27		2re 8948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
28		pipos 13503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
29		2pos 8969	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
30	2, 27, 28, 29	divgt0ii 8835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < ( pi / 2 )
31		4re 8955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 e. RR
32		pigt2lt4 13499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
33	32	simpri 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi < 4
34	2, 31, 33	ltleii 8022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi <_ 4
35	27, 29	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
36		ledivmul 8793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) ) )
37	2, 27, 35, 36	mp3an 1332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) )
38		2t2e4 9032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 x. 2 ) = 4
39	38	breq2i 3997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi <_ ( 2 x. 2 ) <-> pi <_ 4 )
40	37, 39	bitr2i 184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi <_ 4 <-> ( pi / 2 ) <_ 2 )
41	34, 40	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi / 2 ) <_ 2
42		0xr 7966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
43		elioc2 9893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) ) )
44	42, 27, 43	mp2an 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) )
45	8, 30, 41, 44	mpbir3an 1174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 )
46		sin02gt0 11726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) )
48	26, 47	gt0ap0ii 8547	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) # 0
49	15, 17, 19, 48	divmulapi 8683	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 2 ) ) <-> ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0 )
50	24, 49	mpbir 145	. . . . . . . . 9 |- ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 2 ) )
51	17, 48	div0api 8663	. . . . . . . . 9 |- ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = 0
52	50, 51	eqtr3i 2193	. . . . . . . 8 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0
53	52	oveq1i 5863	. . . . . . 7 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 )
54		sq0 10566	. . . . . . 7 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
55	53, 54	eqtri 2191	. . . . . 6 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = 0
56	55	oveq2i 5864	. . . . 5 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 )
57		sincossq 11711	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
58	9, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1
59	56, 58	eqtr3i 2193	. . . 4 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = 1
60	17	sqcli 10556	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) e. CC
61	60	addid1i 8061	. . . 4 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 )
62	1, 59, 61	3eqtr2ri 2198	. . 3 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 )
63		0re 7920	. . . . 5 |- 0 e. RR
64	63, 26, 47	ltleii 8022	. . . 4 |- 0 <_ ( sin ` ( pi / 2 ) )
65		1re 7919	. . . 4 |- 1 e. RR
66		0le1 8400	. . . 4 |- 0 <_ 1
67		sq11 10548	. . . 4 |- ( ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) ) -> ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 ) )
68	26, 64, 65, 66, 67	mp4an 425	. . 3 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 )
69	62, 68	mpbi 144	. 2 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1
70	69, 52	pm3.2i 270	1 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   RR*cxr 7953   < clt 7954   <_ cle 7955   / cdiv 8589   2c2 8929   4c4 8931   (,]cioc 9846   ^cexp 10475   sincsin 11607   cosccos 11608   picpi 11610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-ioc 9850  df-ico 9851  df-icc 9852  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-sin 11613  df-cos 11614  df-pi 11616  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  13511  coshalfpi  13512