Theorem sinhalfpilem 15481

Description: Lemma for sinhalfpi 15486 and coshalfpi 15487. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	|- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 10867	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2		pire 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR
3	2	recni 8169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. CC
4		2cn 9192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
5		2ap0 9214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 # 0
6	3, 4, 5	divcanap2i 8913	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. ( pi / 2 ) ) = pi
7	6	fveq2i 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( sin ` pi )
8	2	rehalfcli 9371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi / 2 ) e. RR
9	8	recni 8169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi / 2 ) e. CC
10		sin2t 12276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
12	7, 11	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin ` pi ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
13		sinpi 15475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin ` pi ) = 0
14	12, 13	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0
15		0cn 8149	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
16		sincl 12233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC
18		coscl 12234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
19	9, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC
20	17, 19	mulcli 8162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) e. CC
21	15, 4, 20, 5	divmulapi 8924	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 / 2 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) <-> ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0 )
22	14, 21	mpbir 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 / 2 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) )
23	4, 5	div0api 8904	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 / 2 ) = 0
24	22, 23	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0
25		resincl 12247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR )
26	8, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR
27		2re 9191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
28		pipos 15478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
29		2pos 9212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
30	2, 27, 28, 29	divgt0ii 9077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < ( pi / 2 )
31		4re 9198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 e. RR
32		pigt2lt4 15474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
33	32	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi < 4
34	2, 31, 33	ltleii 8260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi <_ 4
35	27, 29	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
36		ledivmul 9035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) ) )
37	2, 27, 35, 36	mp3an 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) )
38		2t2e4 9276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 x. 2 ) = 4
39	38	breq2i 4091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi <_ ( 2 x. 2 ) <-> pi <_ 4 )
40	37, 39	bitr2i 185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi <_ 4 <-> ( pi / 2 ) <_ 2 )
41	34, 40	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi / 2 ) <_ 2
42		0xr 8204	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
43		elioc2 10144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) ) )
44	42, 27, 43	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) )
45	8, 30, 41, 44	mpbir3an 1203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 )
46		sin02gt0 12291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) )
48	26, 47	gt0ap0ii 8786	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) # 0
49	15, 17, 19, 48	divmulapi 8924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 2 ) ) <-> ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0 )
50	24, 49	mpbir 146	. . . . . . . . 9 |- ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 2 ) )
51	17, 48	div0api 8904	. . . . . . . . 9 |- ( 0 / ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) = 0
52	50, 51	eqtr3i 2252	. . . . . . . 8 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0
53	52	oveq1i 6017	. . . . . . 7 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 )
54		sq0 10864	. . . . . . 7 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
55	53, 54	eqtri 2250	. . . . . 6 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = 0
56	55	oveq2i 6018	. . . . 5 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 )
57		sincossq 12275	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
58	9, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1
59	56, 58	eqtr3i 2252	. . . 4 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = 1
60	17	sqcli 10854	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) e. CC
61	60	addridi 8299	. . . 4 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 )
62	1, 59, 61	3eqtr2ri 2257	. . 3 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 )
63		0re 8157	. . . . 5 |- 0 e. RR
64	63, 26, 47	ltleii 8260	. . . 4 |- 0 <_ ( sin ` ( pi / 2 ) )
65		1re 8156	. . . 4 |- 1 e. RR
66		0le1 8639	. . . 4 |- 0 <_ 1
67		sq11 10846	. . . 4 |- ( ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sin ` ( pi / 2 ) ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) ) -> ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 ) )
68	26, 64, 65, 66, 67	mp4an 427	. . 3 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 )
69	62, 68	mpbi 145	. 2 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1
70	69, 52	pm3.2i 272	1 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   x. cmul 8015   RR*cxr 8191   < clt 8192   <_ cle 8193   / cdiv 8830   2c2 9172   4c4 9174   (,]cioc 10097   ^cexp 10772   sincsin 12171   cosccos 12172   picpi 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130  ax-pre-suploc 8131  ax-addf 8132  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-ioo 10100  df-ioc 10101  df-ico 10102  df-icc 10103  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-bc 10982  df-ihash 11010  df-shft 11342  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-clim 11806  df-sumdc 11881  df-ef 12175  df-sin 12177  df-cos 12178  df-pi 12180  df-rest 13290  df-topgen 13309  df-psmet 14523  df-xmet 14524  df-met 14525  df-bl 14526  df-mopn 14527  df-top 14688  df-topon 14701  df-bases 14733  df-ntr 14786  df-cn 14878  df-cnp 14879  df-tx 14943  df-cncf 15261  df-limced 15346  df-dvap 15347

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  15486  coshalfpi  15487