ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divrecap2 Unicode version

Theorem divrecap2 8635
Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divrecap2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( ( 1  /  B )  x.  A
) )

Proof of Theorem divrecap2
StepHypRef Expression
1 divrecap 8634 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
2 simp1 997 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  A  e.  CC )
3 recclap 8625 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
433adant1 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
52, 4mulcomd 7969 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  x.  ( 1  /  B ) )  =  ( ( 1  /  B )  x.  A ) )
61, 5eqtrd 2210 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( ( 1  /  B )  x.  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   CCcc 7800   0cc0 7802   1c1 7803    x. cmul 7807   # cap 8528    / cdiv 8618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619
This theorem is referenced by:  divrecap2d  8740  imre  10844  crim  10851  redivap  10867  imdivap  10874  divccncfap  13744  logsqrt  14010
  Copyright terms: Public domain W3C validator